3.1.1橢圓及其標準方程學生版

橢圓的方程橢圓的方程要點一、橢圓的定義1.橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點尸到兩個定點工、F,的距離之和等于常數(shù)(|P6\+PF2卜2。>歸閭)，這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.若(|「月\+\PF2卜歸建［)，P的軌跡為線段尸建2；若(P月|+|p/\|<|^2|),P的軌跡無圖形第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e的動點M的軌跡叫橢圓橢圓的范圍橢圓上所有.的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|&,|y|<b.橢圓的對稱性Y"\廠橢圓r+廠=1是以X軸、V軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這CTb- '個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓二十==1(a>b>0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1(-a,0),crb-Az(a,0),Bi(0,—b),B：(0,b)o③線段AiA?,BiB?分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AiA?|=2a,|B正』=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。要點二、橢圓的標準方程橢圓的標準方程:.當焦點在X軸上時，橢圓的標準方程：二+《其中小=標一〃；crb-.當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程：=+[=1(4>/?>0),其中。2=合一〃；crtr要點詮釋：L橢圓上一點到焦點的最小距離為：a-c,最大距離為：a+c；.橢圓的焦點總在長軸上，當焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0),(-c,0)：當焦點在y軸上時,橢圓的焦點坐標為(0,c)，(0,-c)；.在兩種標準方程中，???屋>9,???可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.要點三、求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以卜.幾種方法：(1)待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a,b,即：“先定型，再定量”②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論：有時也可設其方程的一般式：+ny2=1(/??,n>。且m豐n).(2)定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量L利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.【典型例題】類型一：橢圓的定義例L若一個動點P(x,y)到兩個定點A(-1,0)、*(1,0)的距離的和為定值m(m>0),試求P點的軌跡方程。舉一反三:【變式1】設橢圓1+1=l(a>b>0)的左、右焦點分別為B,Fz,上頂點為若|BB|=|BK|=2,crb-TOC\o"1-5"\h\z則該橢圓的方程是( )廠，,C.—廠，,C.—十）廣=1

2吟+-1A.——+—=14 3【變式2】已知B(-2,0),C(2,0),A為動點，的周長為10,則動點A的滿足的方程為( )廣1B. F--=1廣1B. F--=19 5C.=1D.=1【變式3】設動圓尸與圓M:(x—3)2+)3=4外切，與N:(1+3尸+y?=100內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程.類型二：橢圓的標準方程例2.橢圓工+二=1的焦距是 ,焦點坐標是 ;若AB為過橢圓的一個焦點B的一10036條弦，B為另一個焦點，則aAB尼的周長是.舉一反三:25-m16+m【變式1】方程25-m16+mcr25【變式2］已知橢圓的標準方程是二十二=1（介5）,它的兩焦點分別是尸rB,且FiE=8,弦A8過點Acr25【變式3】已知曲線C的方程為上+J=l,則＜a＞b"是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的（ ）abA.充分必要條件 B,充分不必要條件C.必要不充分條件 D,既不充分也不必要條件例3.當3V左＜9時，指出方程工+工=1所表示的曲線.9—kk—3舉一反三：【變式I】如果方程/+62=2（%＞（））表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是類型三：求橢圓標準方程例4.求適合卜.列條件的橢圓的標準方程:（1）兩個焦點的坐標分別是（-4,0）、（4,0）,橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10：35（2）兩個焦點的坐標是（0,—2）、（0,2）,并且橢圓經(jīng)過點（一了5）舉一反三：【變式1］己知橢圓的焦點是為（0，—1）、B（（M）,尸是橢圓上一點，并且PF1+PA=2BA,則橢圓的標準方程是 .例5.求經(jīng)過點P（-3,0）、Q（0,2）的橢圓的標準方程。舉一反三:【變式1］已知橢圓的中心在原點，經(jīng)過點P（3,0）且a=3b,求橢圓的標準方程。類型四：橢圓的綜合問題例6.設入、A是橢圓1+L=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PB：PR=2：1,9 4則4PF.Fi的面積等于舉一反三:【變式1】已知P為橢圓Q卷=1上的一點，月，總是兩個焦點，/4/"=60”,求的面積.類型五：坐標法的應用4例7.△ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和C(0,-6),另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-一,9求頂點A的軌跡方程。舉一反三：4【變式1］已知A、B兩點的坐標分別為(0,-5)和(0,5),直線MA與MB的斜率之積為-一,9TOC\o"1-5"\h\z則M的軌跡方程是( )x"y". x"y- 八'?行+?=1 B.行+礪=1("±5)~9~ ~9~C,工+或=1 D.￡+E=l("0)22〉25 22525丁 丁【變式2】如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2,從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP,求線段PP中點M的軌跡【鞏固練習】一、選擇題.如果方程二十—匚=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是（）a+6A.a>3 B.a<—2C.a>3或av—2 D?。>3或一6〈?！匆?2.若橢圓的對稱軸在坐標軸上,2.若橢圓的對稱軸在坐標軸上,距離為JJ,則這個橢圓的方程為（ ）A.廠V-—+—A.廠V-—+—129廠廠1—+—=1912一廠廠…廠廣1—+--=1或 F--=1129 9 12D.以上都不對3.直線,，=履+1與橢圓工+上=1總有公共點，則m的取值范圍是（）5mA.〃7>1 b.C.tn>1|-[m5d.Ov，"5且/.設P是橢圓營+看=1上的點，若月，乙是橢圓的兩個焦點，則|對+「乃|等于（）A.4B.5C.8D.10A.4B.5C.8D.10.“ab>0"是“方程ax2+by2=l表示橢圓的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.若橢圓的面?+62=1的一個焦點為（0,-4）,則k的值為（）A.—B.-C.8D.3232 8二、填空題.設B,B分別是橢圓E：x?+二=l（0VbVl）的左、右焦點，過點B的直線交橢圓E于A、B兩點,lr若|AFi|=3|F】B|,AF?_Lx軸，則橢圓E的方程為..已知橢圓。：=+1=1（。>08>0）的左、右焦點分別為B，R,點P為橢圓在y軸上的一個頂crb-點，若2b,|航2a成等差數(shù)列，且△PBF?的面積為12,則橢圓C的方程為..已知橢圓亮十三=1的左、右焦點分別為吊、B,P是橢圓上的一點，。是尸人的中點，若0。=1,則PF產(chǎn)..橢圓二+L=i(陽<〃vo)的焦點坐標是一〃7-n三、解答題.AA5c的底邊5C=