2009年數(shù)學(xué)建模C題優(yōu)秀論文

2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽默認(rèn)分類(lèi)2009-09-2521:41:02閱讀208評(píng)論12

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我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。

我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：C題 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：貴州省畢節(jié)學(xué)院參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.陳文亭2.高顯國(guó)3.宋維指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：

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衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控模型摘要 本文建立衛(wèi)星或飛船全程跟蹤測(cè)控方案的模型，通過(guò)圖解法，分析法，利用天文知識(shí)，地理知識(shí)和物理知識(shí)對(duì)該模型進(jìn)行求解。要對(duì)衛(wèi)星和飛船的發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行跟蹤測(cè)控，就要分為兩種情況，一是不考慮地球自轉(zhuǎn)，二是考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，聯(lián)系實(shí)際情況，建立合理數(shù)學(xué)模型，最終計(jì)算出結(jié)果。對(duì)于問(wèn)題1，假設(shè)地球是靜止的，我們根據(jù)兩個(gè)測(cè)控站之間的地心角和正弦定理，計(jì)算出最少所需的測(cè)控站個(gè)數(shù)N=[360°/a]+1。對(duì)于問(wèn)題2，由于地球是自轉(zhuǎn)的，所以衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程相繼兩圈不能回到同一點(diǎn)，我們首先引入星下點(diǎn)軌跡，根據(jù)星下點(diǎn)軌道為“8”字形的封閉曲線，得出測(cè)控站也應(yīng)該建立在“8”字形的封閉曲線上，即是衛(wèi)星或飛船投影在地球上的軌跡，根據(jù)星下點(diǎn)軌跡的方程為：φ=arcsin[sini.sin(λ=Ω0+arctg[cosi.tg(ωst)]-ωst(2)，再結(jié)合天體運(yùn)動(dòng)知識(shí)，計(jì)算出至少需要個(gè)才能達(dá)到全程跟蹤的目的對(duì)于問(wèn)題3，我們收集的是我國(guó)的“神舟七號(hào)”飛船的資料，“神七”在全球一共有16個(gè)測(cè)控站，由11站和6船組成，我們從中選擇其中幾個(gè)測(cè)控站作為研究對(duì)象，最后結(jié)果結(jié)合第一，二問(wèn)的方程得出每個(gè)站的測(cè)控范圍。關(guān)鍵詞：分析法全球跟蹤測(cè)控星下點(diǎn)軌跡“8”

一、問(wèn)題重述要對(duì)衛(wèi)星和飛船發(fā)射及運(yùn)行過(guò)程中理想狀況下完全跟蹤與測(cè)控，由于測(cè)控設(shè)備只能觀測(cè)到該點(diǎn)所在切面上的空域，且與地面夾角在3度范圍內(nèi)測(cè)控效果不好，所以每個(gè)測(cè)控站是考慮與地面夾角3度以上的空域。一個(gè)衛(wèi)星或飛船在發(fā)射與運(yùn)行的過(guò)程中，往往需要多個(gè)測(cè)控站聯(lián)合完成任務(wù)，如神舟七號(hào)發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程中的測(cè)控站的位置。要研究的問(wèn)題：（1）在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控。（2）如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，至少該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的。（3）收集我國(guó)一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測(cè)控站點(diǎn)對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍。

二、模型的假設(shè)模型的假設(shè)（1）衛(wèi)星和飛船進(jìn)入太空作的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（2）兩個(gè)測(cè)控站測(cè)控的范圍的交界處至少有一個(gè)測(cè)控站能進(jìn)行完全測(cè)控。（3）不考慮外界環(huán)境的影響，測(cè)控期間每個(gè)測(cè)控站不會(huì)出現(xiàn)故障。（4）在地球表面上，每個(gè)測(cè)控站與衛(wèi)星或飛船運(yùn)行的軌道高度是相等的，且衛(wèi)星或飛船經(jīng)過(guò)每個(gè)測(cè)控站的弧長(zhǎng)近似等于該測(cè)控范圍圓的直徑。三、問(wèn)題的分析對(duì)于問(wèn)題1，要求所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下，分析至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)衛(wèi)星或飛船進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控，這是一種理想化的條件，因此我們?cè)诓豢紤]地球自轉(zhuǎn)的情況下，近似把地球看成是標(biāo)準(zhǔn)的球體，把衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道看成是圓周，況且假設(shè)它們都是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)假定兩相鄰兩測(cè)控站的分析及題設(shè)條件，運(yùn)用正弦定理和相關(guān)的物理知識(shí)，便可求出兩個(gè)測(cè)控站在地心的等效地心角a,從而就能求得至少所需的測(cè)站點(diǎn)N=[360°/a]+1。對(duì)于問(wèn)題2，由于要考慮到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩圈的經(jīng)度的變化，對(duì)此我們首先從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，先假設(shè)地球不自轉(zhuǎn)時(shí)，求出衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)在地球上的星下點(diǎn)軌跡，分析其圖象，并再次考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行情況，進(jìn)而求出衛(wèi)星和飛船在地球上的星下點(diǎn)軌跡，其方程為：φ=arcsin[sini.sin(ωst)]

λ=Ω0+arctg[cosi.tg(ωst)]-ωst(2)其中i為軌道傾角;ωs為衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度;t為時(shí)間,從升節(jié)點(diǎn)開(kāi)始算起;λ、φ為衛(wèi)星星下點(diǎn)的經(jīng)度和緯度;Ω0為升節(jié)點(diǎn)位置，從而用幾何、物理、地理知識(shí)得出衛(wèi)星或飛船在地球上的軌跡圖從整個(gè)地球表面看是一個(gè)“8”對(duì)于問(wèn)題3，它要求我們收集中國(guó)的一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測(cè)控站點(diǎn)對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍，對(duì)此我們收集了“神七”衛(wèi)星的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，查出了衛(wèi)星發(fā)射時(shí)各個(gè)測(cè)控點(diǎn)經(jīng)度和緯度的數(shù)值，根據(jù)測(cè)控點(diǎn)的坐標(biāo)為：X=Rcosφcosλ，Y=Rcosφsinλ，Z=Rsinφ就可以算出各個(gè)測(cè)控點(diǎn)測(cè)控的范圍。 四、模型建立與求解問(wèn)題1由于監(jiān)控站數(shù)目跟衛(wèi)星距離地點(diǎn)的高度，監(jiān)控站的有效視角，地球半徑等因素有關(guān)。共面時(shí)，有效監(jiān)控應(yīng)保證衛(wèi)星或飛船在兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的有效監(jiān)控視角的交點(diǎn)上，不妨設(shè)：B、C表示兩個(gè)相鄰的監(jiān)控點(diǎn)，a表示兩個(gè)測(cè)控點(diǎn)的地心角，R表示地球半徑、H表示衛(wèi)星高度，G為萬(wàn)有引力常量，M、m分別為地球和衛(wèi)星或飛船的質(zhì)量。此時(shí)，每個(gè)監(jiān)控站有效監(jiān)控視角180°－6°=174°,角度用角度制表示，如下圖：圖1由圖得∠ABO=90°+3°=93°∠BAO=180°-∠ABO-由正弦定理= 即所以87°－=a=------------------------⑴萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)所需的向心力：得：---------------------------------⑵至少所需測(cè)控站數(shù)：N=----------------------------------⑶要使得衛(wèi)星或飛船繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)需要測(cè)控站數(shù)最少，即達(dá)到最大高度H，但是如果高度H超過(guò)第二宇宙速度（v=11.2km/s）時(shí)的高度，衛(wèi)星或飛船就不能?chē)@地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即高度剛好等于第二宇宙速度時(shí)的高度，需要的測(cè)控站最少。解得：N=3

問(wèn)題2地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，這樣就使得衛(wèi)星在地球上的投影軌跡不停的移動(dòng)，畫(huà)出了一條軌跡，就叫星下點(diǎn)軌跡，所以最基本的是對(duì)星下點(diǎn)軌跡的確定，無(wú)旋地球上的星下點(diǎn)軌跡為球面上的閉合曲線,即每圈重復(fù)相同的星下點(diǎn)軌跡。其公式為:φ=arcsin[sini.sinu]

λ=Ω0+arctg[cosi.tgu](1)其中i及u為軌道傾角及相位角;λ、φ為衛(wèi)星星下點(diǎn)的經(jīng)度和緯度;Ω0為升節(jié)點(diǎn)位置。在慣性空間中觀測(cè)衛(wèi)星與地球運(yùn)動(dòng)時(shí)可知,衛(wèi)星軌道面保持不變,衛(wèi)星在軌道上以絕對(duì)角速度旋轉(zhuǎn),其方向與衛(wèi)星的動(dòng)量矩矢量方向一致,而地球繞自轉(zhuǎn)軸以角速度旋轉(zhuǎn)。因此,根據(jù)衛(wèi)星相對(duì)于旋轉(zhuǎn)地球的角速度,經(jīng)過(guò)積分計(jì)算可得衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)地球上的星下點(diǎn)軌跡方程為:φ=arcsin[sini.sin(ωst)]

λ=Ω0+arctg[cosi.tg(ωst)]-ωst(2)圖1衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡(H=10354.3km)其中i為軌道傾角;ωs為衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度;t為時(shí)間,從升節(jié)點(diǎn)開(kāi)始算起;λ、φ為衛(wèi)星星下點(diǎn)的經(jīng)度和緯度;Ω0為升節(jié)點(diǎn)位置。利用上面的公式計(jì)算軌道高度為10354.3km,軌道傾角為40.77892°的衛(wèi)星軌道星下點(diǎn)軌跡如圖1所示。 根據(jù)上圖，8字形的封閉曲線，現(xiàn)只考慮該8字封閉曲線的1/4,：可以轉(zhuǎn)化成下圖來(lái)求解 設(shè)衛(wèi)星或飛船速度為V,周期為T(mén)，地球自轉(zhuǎn)速度為v1,M、m分別為地球和衛(wèi)星或飛船的質(zhì)量，地球上重力加速度為g,R為地球半徑，G為萬(wàn)有引力常量，衛(wèi)星或飛船距地面的高度為H，所以-------------------------------------⑴由公式：-------------------------------------⑵ -----------------------⑶由（1）（2）（3）解得：又由：得：在圖3中CB的長(zhǎng)為：CB=H×tan87°,AB=2×CB衛(wèi)星或飛船近似看成是通過(guò)圓ACB的圓心，所以衛(wèi)星或飛船通過(guò)的路程可以看成是圓ABC的直徑，即路程L=AB.AB=2H×tan87° 衛(wèi)星或飛船通過(guò)該路程所需要的時(shí)間為通過(guò)90度圓心角的時(shí)間為：1/4×T所以需要的測(cè)控站；當(dāng)衛(wèi)星或飛船高度為第二宇宙速度V=11.2Km/s時(shí)的高度：代人數(shù)據(jù)解得：N=9問(wèn)題3我們收集了神舟七號(hào)的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站的分布信息。神舟七號(hào)軌道高度h約：335km 神舟七號(hào)線速度v約：7.7km/s

由于地球的平均半徑r為6371.004千米

根據(jù)t=2π（r+h）/v可知繞地球一圈需90分鐘左右。神舟七號(hào)在天飛行總時(shí)間為68小時(shí)27分35秒，共繞地球飛行45圈。神發(fā)射時(shí)測(cè)控站的分布負(fù)責(zé)火箭和飛船升上天時(shí)的航道測(cè)量，測(cè)控網(wǎng)絡(luò)覆蓋率可以達(dá)到100%，發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的位置分別在：

·第一個(gè)是新疆的喀什

·第二個(gè)是渭南站，在西安附近?！さ谌齻€(gè)是青島站，在青島

·第四個(gè)在西邊第一個(gè)是東風(fēng)站，就是在發(fā)射場(chǎng)

·第五個(gè)是廈門(mén)站，在廈門(mén)要分析發(fā)射時(shí)這些測(cè)控點(diǎn)對(duì)衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍。根據(jù)第（2）問(wèn)可知，在慣性空間中觀測(cè)衛(wèi)星與地球運(yùn)動(dòng)時(shí)可知,衛(wèi)星軌道面保持不變,衛(wèi)星在軌道上以絕對(duì)角速度旋轉(zhuǎn),其方向與衛(wèi)星的動(dòng)量矩矢量方向一致,而地球繞自轉(zhuǎn)軸以角速度旋轉(zhuǎn)。因此,根據(jù)衛(wèi)星相對(duì)于旋轉(zhuǎn)地球的角速度,經(jīng)過(guò)積分計(jì)算可得衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)地球上的星下點(diǎn)軌跡方程為:φ=arcsin[sini.sin(ωst)]

λ=Ω0+arctg[cosi.tg(ωst)]-ωst(1)由以上星下點(diǎn)軌跡方程,可以知道任意時(shí)刻已知星座中任意衛(wèi)星所在位置,然后計(jì)算測(cè)控站可視大圓在地球表面的投影,進(jìn)一步通過(guò)方程X=Rcosφcosλ

Y=Rcosφsinλ

Z=Rsinφ

(2)(式中X、Y、Z分別為地球圓球面的坐標(biāo),λ、φ為衛(wèi)星星下點(diǎn)的經(jīng)度和緯度)可以計(jì)算出星下點(diǎn)軌跡與可視大圓在地面投影的笛卡耳坐標(biāo),分別計(jì)算他們到測(cè)控站之間的弦長(zhǎng),如果星下點(diǎn)軌跡的弦長(zhǎng)等于可視大圓在地面投影的弦長(zhǎng),則說(shuō)明衛(wèi)星剛好在測(cè)控站可視最大范圍內(nèi)。根據(jù)問(wèn)題（1）解得：a=設(shè)b為星下點(diǎn)軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)：b=R×sin(a/2)根據(jù)問(wèn)題（2）解得：∠AOB=v1×L/R×V可視大圓在地面投影的弦長(zhǎng)為:c=R×cot(a/2)即根據(jù)測(cè)控點(diǎn)的經(jīng)度和緯度坐標(biāo)，可計(jì)算出弦長(zhǎng)b和c的長(zhǎng)度，此時(shí)，若：b>c,則可視角為a,若c≥b,可視角為∠AOB，此時(shí)可視角就是可視范圍。五、模型評(píng)價(jià)