南通市海安高級中學2019-2020學年高二下學期3月線上考試數學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高二下學期3月線上考試數學試題含解析高二數學試卷一、選擇題:本題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1.若集合，，則（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】化簡集合，按交集定義即可求解。【詳解】，。故選：D.【點睛】本題考查交集的運算,以及不等式的解法，屬于基礎題.2.已知復數滿足，則的共軛復數是（）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據復數的除法運算法則和共軛復數的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以．故選：B【點睛】本題考查了復數的除法的運算法則，考查了復數的共軛復數的定義,屬于基礎題。3.命題“”的否定是()A. B.C. D.【答案】B【解析】試題分析：特稱命題的否定是全稱命題，存在改為任意，并將結論加以否定，因此命題“"的否定是考點：全稱命題與特稱命題4.已知拋物線C：(p＞0）的焦點為F，對稱軸與準線的交點為T，P為C上任意一點，若，則∠PTF＝（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】過點做拋物線準線的垂線，垂直為，根據拋物線的定義，結合條件，可求出，而=，即可求解.【詳解】過點做拋物線準線垂線,垂足為,，在中，,.故選：A?！军c睛】本題考查拋物線定義的應用，正確理解拋物線的點到準線和到焦點的距離相等，是解題的關鍵，屬于基礎題.5。已知，，則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由輔助角公式將所求的角化為與已知同角,再利用同角間的三角函數關系，即可求解.【詳解】，，，。故選:C?！军c睛】本題考查三角恒等變換、同角間的三角函數關系求值,應用平方關系要注意角的范圍判斷，屬于中檔題.6.某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數據分別為，，,，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（)A。8年 B。9年 C。10年 D。11年【答案】D【解析】【分析】根據樣本中心點在回歸直線上，求出，求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元。故選：D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.7。公比為2的等比數列中存在兩項，，滿足,則的最小值為()A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據已知條件和等比數列的通項公式，求出關系，即可求解.【詳解】，當時，,當時，,當時，，當時，,當時，，當時，，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數列通項公式，注意為正整數，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.8.函數在內有且只有一個零點,則a的值為（）A.3 B。－3 C.2 D。－2【答案】A【解析】【分析】求出，對分類討論，求出單調區(qū)間和極值點，結合三次函數的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調遞增,且，在不存在零點；若，，在內有且只有一個零點，.故選：A.【點睛】本題考查函數的零點、導數的應用，考查分類討論思想,熟練掌握函數圖像和性質是解題的關鍵,屬于中檔題.9。設，分別為雙曲線(a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】設過點作圓的切線的切點為，根據切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得,得出為中點,則有,得到，即可求解?！驹斀狻吭O過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，,，。故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題。10.已知正三棱錐的側棱長為,底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的表面積是（）A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，在正三棱錐中，求得，進而得到三棱錐的高，再在直角三角形中,利用勾股定理列出方程，求得球的半徑，最后利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示，因為正三棱錐的側棱長為，底面邊長為6，則,所以三棱錐的高,又由球心到四個頂點的距離相等，在直角三角形中，,又由，即,解得，所以球表面積為，故選D.【點睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的計算，以及組合體的性質的應用，其中在直角三角形中，利用勾股定理列出方程求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。二、多項選擇題：本題共3小題,每小題4分，共12分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得4分，兩個都選對但不全的得2分，有選錯或只選一個或不選的不得分。11.已知均為實數,則下列命題正確的是（)A.若，則B。若，則C。若則D。若則【答案】BC【解析】【分析】根據不等式的性質判斷即可．【詳解】解：若,，則，故A錯；若，，則，化簡得,故B對；若，則，又，則，故C對;若,,,,則，，，故D錯；故選:BC．【點睛】本題主要考查不等式的基本性質，常結合特值法解題，屬于基礎題．12。如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F為AE中點,則（）A.B。CD?！敬鸢浮緼BC【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則、數乘運算及平面向量基本定理進行解題．【詳解】解：∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對；∵，∴，∴,又F為AE的中點，∴,B對；∴，C對；∴，D錯；故選：ABC．【點睛】本題主要考查向量加法的三角形法則、數乘運算，考查平面向量基本定理，屬于基礎題．13.已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則下列命題正確的是（）A。當時，B。函數有3個零點C。的解集為D.，都有【答案】BCD【解析】【分析】設，則，則由題意得，根據奇函數即可求出解析式，即可判斷A選項，再根據解析式分類討論即可判斷B、C兩個選項，對函數求導，得單調性，從而求出值域，進而判斷D選項．【詳解】解：（1）當時，，則由題意得，∵函數是奇函數，∴,且時，，A錯；∴，（2）當時，由得，當時,由得，∴函數有3個零點，B對；（3）當時，由得，當時，由得，∴的解集為,C對;(4）當時，由得，由得，由得，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數在上有最小值，且,又∵當時，時，函數在上只有一個零點，∴當時,函數的值域為，由奇函數的圖象關于原點對稱得函數在的值域為，∴對，都有,D對；故選:BCD．【點睛】本題主要考查奇函數的性質,考查已知奇函數一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上解析式的方法，考查函數零點的定義及求法，以及根據導數符號判斷函數單調性和求函數最值、求函數值域的方法，屬于較難題．三、填空題:本題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡中的橫線上.14.記為等比數列的前n項和,已知，，則_______.【答案】【解析】【分析】設等比數列的公比為,將已知條件等式轉化為關系式，求解即可?！驹斀狻吭O等比數列的公比為，，.故答案：。【點睛】本題考查等比數列通項的基本量運算，屬于基礎題.15。在△ABC中，若,，則_______?！敬鸢浮?【解析】【分析】利用正弦定理將化為角,得到關系，再由，求出，進而求出,即可求出結論。【詳解】，,，由正弦定理得，。故答案為：4?！军c睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查同角間的三角函數關系求值，屬于中檔題.16.已知拋物線的焦點為F（4，0)，過F作直線l交拋物線于M,N兩點，則p=_______,的最小值為______．【答案】（1).(2)。【解析】【分析】利用拋物線的定義可得，設直線的方程為,聯立直線與拋物線方程消元，根據韋達定理和拋物線的的定義可得，代入到，再根據基本不等式求最值．【詳解】解:∵拋物線的焦點為F(4,0)，∴,∴拋物線的方程為，設直線的方程為，設,，由得，∴，，由拋物線的定義得，∴，當且僅當即時，等號成立，故答案為:．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系,考查拋物線定義的應用，屬于中檔題．17.在△ABC中，∠BAC＝，AD為∠BAC的角平分線，且，若AB＝2，則BC＝_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑?，求出長度關系，利用角平分線以及面積關系,求出邊，再由余弦定理,即可求解.【詳解】，，，，.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計算求解能力，屬于中檔題。四、解答題：本題共6小題，共82分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18。在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b,c,.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC邊上的點,且△ACD的面積為，求sin∠ADB.【答案】（1）；（2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?)根據誘導公式和二倍角公式，將已知等式化為角關系式，求出，再由二倍角余弦公式,即可求解；（2）在中，根據面積公式求出長，根據余弦定理求出，由正弦定理求出,即可求出結論?！驹斀狻?1），，；（2）在中，由（1）得，,由余弦定理得，，在中，，.【點睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計算求解能力，屬于中檔題。19.已知等差數列的前n項和為．（1)求的通項公式；(2)數列滿足為數列的前n項和，是否存在正整數m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）(2）存在，【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為d，由等差數列的通項公式與前項和公式得，解得，從而求出；（2）由(1)得,由，利用裂項相消法得，若，則,整理得，由得,從而可求出答案．【詳解】解：（1）設等差數列的公差為d，由得，解得,；（2)，，，若,則，整理得,又，，整理得，解得，又，,,∴存在滿足題意．【點睛】本題主要考查等差數列的性質與求和，考查裂項相消法求和,屬于中檔題．20.已知（且m為常數）.（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都存在，使得（其中e為自然對數的底數），求實數k的取值范圍.【答案】(1）當時,遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1)求出,對分類討論，求出的解，就可得出結論；（2）設，所求的問題轉化為,通過求導數法，求出取最大值時自變量與的關系，而對任意的都成立,將用表示，構造新函數，再求導求出新函數的最小值，即可求出結論.【詳解】（1)的定義域為，，當時,恒成立，當時，，綜上，當時,遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間，當時,遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；(2）設，依題意,，令，恒成立，在是減函數,即在是減函數，，，存在唯一，使得，當，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是,取得極大值，也是最大值為,，對于對任意的恒成立，其中，，即，對于對任意的恒成立,設，,時，，，當，時，取得極小值,也是最小值，即。【點睛】本題考查導數的綜合應用,涉及到函數的單調性、極值最值、零點、存在成立、恒成立，解題的關鍵要不斷構造函數，考查計算求解能力和邏輯推理能力，是一道難題。21.已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.（1)求橢圓C的標準方程;（2)過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程。【答案】（1）；（2)或.【解析】【分析】(1）由拋物線的準線方程求出的值,確定左焦點坐標，再由點F到直線l:的距離為4，求出即可；（2）設直線方程，與橢圓方程聯立，運用根與系數關系和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式，即可得到所求直線的方程?！驹斀狻?1）拋物線的準線方程為，，直線，點F到直線l的距離為，,所以橢圓的標準方程為；（2）依題意斜率不為0,又過點，設方程為，聯立，消去得，，，設，,,，線段AB的中垂線交直線l于點Q,所以橫坐標為3，,，，平方整理得，解得或(舍去），,所求的直線方程為或.【點睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系，要熟練應用根與系數關系、相交弦長公式,合理運用兩點間的距離公式,考查計算求解能力,屬于中檔題。22。在以ABCDEF為頂點的五面體中,底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD。(1）證明:BD⊥EG;（2）若三棱錐,求菱形ABCD的邊長.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點,連,可得,結合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面,即可證明結論；（2）設底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF,，求出體積，建立的方程，即可求出結論.【詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形,，,平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面,底面ABCD為菱形，，為中點，，平面，平面平面,;（2）設菱形ABCD的邊長為，則,，,,,所以菱形ABC