插值計算與插值多項式

插值計算與插值多項式第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五插值問題描述設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導數(shù)值。第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五y=f(x)y=p(x)簡單的說，插值的目的就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，尋找一個解析形式的函數(shù)p(x)，近似代替f(x)第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五

6.1插值法的數(shù)學描述設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),是[a,b]上取定的n+1個互異節(jié)點,且在這些點處的函數(shù)值為已知,即若存在一個f(x)的近似函數(shù),滿足則稱為f(x)的一個插值函數(shù),f(x)為被插函數(shù),點xi為插值節(jié)點,R(x)=

稱為插值余項,區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間,插值點在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插,否則稱外插

第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五插值的幾何意義第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五6.2拉格朗日（Lagrange）插值

為了構(gòu)造滿足插值條件

(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多項式P(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。6.2.1線性插值與拋物插值（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個互異的點，的值，,現(xiàn)要求用線性函數(shù)近似地代替f(x)。選擇參數(shù)a和b,使。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五線性插值線性插值多項式

第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為，稱為節(jié)點,的線性插值基函數(shù)第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點對下面的推廣很重要于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.1已知,,求解:這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用線性插值

第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.2已知y=f(x)的函數(shù)表

求線性插值多項式,

并計算x=1.5的值X13y12解:由線性插值多項式公式得第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個點的拋物線近似代替曲線

,如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。

（2）

拋物插值

拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式使?jié)M足二次插值條件：第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五拋物插值函數(shù)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值問題：求二次式,使其滿足條件：

這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知:

是的兩個零點。于是再由另一條件確定系數(shù)從而導出第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五P(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，即滿足下面的代數(shù)方程組：

該三元一次方程組的系數(shù)矩陣

的行列式是范德蒙行列式，當時，方程組的解唯一。第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項式

及滿足條件：的插值多項式

這樣構(gòu)造出來的稱為拋物插值的基函數(shù)取已知數(shù)據(jù)作為線性組合系數(shù),將基函數(shù)線性組合可得容易看出,P(x)滿足條件第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用拋物插值公式,求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.4已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點上滿足

xx0x1x2yy0y1y2

求二次多項式p(x)=a0+a1x+a2x2

使之滿足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系數(shù)法,將各節(jié)點值依次代入所求多項式,得解上述方程,將求出的a0,a1,a2

代入p(x)=a0+a1x+a2x2

即得所求二次多項式

第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式p1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式p2(x)

。當插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式pn(x)

，如下所示：已知n+1個節(jié)點處的函數(shù)值求一個n次插值函數(shù)滿足6.2.2拉格朗日插值多項式第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五構(gòu)造各個插值節(jié)點上的基函數(shù)滿足如下條件100001000001第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五與推導拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個特殊n次多項式的插值問題,使其在各節(jié)點上滿足

即:由條件()知,都是n次的零點,故可設(shè)第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五其中為待定常數(shù)。由條件,可求得

于是代入上式,得稱為關(guān)于基點的n次插值基函數(shù)(i=0,1,…,n)

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五以n+1個n次基本插值多項式為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項式。事實上，由于每個插值基函數(shù)都是n次值多項式,所以他們的線性組合是次數(shù)不超過n次的多項式

,稱形如上式的插值多項式為n次拉格朗日插值多項式。并記為

第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.5求過點(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點插值多項式解:由Lagrange插值公式（給定的三個點在一條直線上）第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五例6.6已知f(x)的觀測數(shù)據(jù)

x0124f(x)19233

構(gòu)造Lagrange插值多項式解

四個點可構(gòu)造三次Lagrange插值多項式:基函數(shù)為

第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五Lagrange插值多項式為

為便于上機計算,常將拉格朗日插值多項式可改寫成

第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五

例6.7已知f(x)的觀測數(shù)據(jù)

x1234f(x)0-5-63構(gòu)造插值多項式

解:四個點可以構(gòu)造三次插值多項式,將數(shù)據(jù)代入插值公式，有

這個例子說明p(x)的項數(shù)不超過n+1項，但可以有缺項。第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間a,b上用插值多項式p(x)近似代替f(x),除了在插值節(jié)點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)-p(x)則R(x)就是用p(x)近似代替f(x)時的截斷誤差,或稱插值余項我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小。6.2.3插值多項式的誤差

第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五定理設(shè)f(x)在a,

b有n+1階導數(shù)，x0,x1,…,xn為a,b上n+1個互異的節(jié)點,p(x)為滿足

p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n次插值多項式，那么對于任何xa,b有插值