第六章IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

第六章IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時(shí)系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點(diǎn)及應(yīng)用掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。

高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點(diǎn)：現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波以增強(qiáng)所需信號(hào)部分，抑制不要的部分。a）時(shí)域說(shuō)明b）頻域說(shuō)明現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四2、LP到其他濾波器的變換由LP實(shí)現(xiàn)的HP現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四LP實(shí)現(xiàn)的BP現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四LP實(shí)現(xiàn)的BRF現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四3、濾波器的性能指標(biāo)帶寬：當(dāng)幅度降低到0.707時(shí)的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四通帶、阻帶與過(guò)渡帶：信號(hào)允許通過(guò)的頻帶為通帶，完全不允許通過(guò)的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過(guò)渡帶。現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過(guò)渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率?，F(xiàn)在是12頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四阻帶衰減：輸入信號(hào)在阻帶的衰減量現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四4、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)三個(gè)步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；(3)用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)；實(shí)現(xiàn)可以采用通用計(jì)算機(jī)，也可以采用DSP。現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：

為幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過(guò)渡帶：通帶：理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當(dāng)時(shí)，稱為3dB通帶截止頻率現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的H(z)的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四相位響應(yīng)相位響應(yīng)：現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四群延遲響應(yīng)相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四8、將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALF的技術(shù)指標(biāo)一、意義

AF的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般轉(zhuǎn)換方法

1、

2、

3、

4、現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四三、轉(zhuǎn)換舉例例如，一低通DF的指標(biāo)：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALF的技術(shù)指標(biāo)。解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有

假定處幅度頻響的歸一化值為1，即現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四這樣，上面兩式變?yōu)橛捎?，所以?dāng)沒(méi)有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式模擬filter的指標(biāo)為現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.2最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四模：相角：現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四令：?jiǎn)挝粓A內(nèi)零點(diǎn)數(shù)為mi單位圓外的零點(diǎn)數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)為pi單位圓外的極點(diǎn)數(shù)為po則：現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

2）全部零點(diǎn)在單位圓外：

為最小相位延時(shí)系統(tǒng)為最大相位延時(shí)系統(tǒng)n<0時(shí)，h(n)=0相位延時(shí)系統(tǒng)現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

2）全部零點(diǎn)在單位圓外：

全部極點(diǎn)在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時(shí)，h(n)=0現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四最小相位延時(shí)系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時(shí)系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時(shí)系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.3全通系統(tǒng)對(duì)所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四一階全通系統(tǒng)：極點(diǎn)：零點(diǎn)：零極點(diǎn)以單位圓為鏡像對(duì)稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四實(shí)系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個(gè)零點(diǎn)（極點(diǎn)）共軛對(duì)稱極點(diǎn)：零點(diǎn)：零點(diǎn)與極點(diǎn)以單位圓為鏡像對(duì)稱現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四可以證明，一階全通節(jié)在任何頻率上，其頻率響應(yīng)的模都為1：現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四N階數(shù)字全通濾波器極點(diǎn)：的根零點(diǎn)：的根因?yàn)樗袁F(xiàn)在是37頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四全通系統(tǒng)的應(yīng)用1）任一因果穩(wěn)定（非最小相位延時(shí)）系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級(jí)聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時(shí)系統(tǒng)，為單位圓外的一對(duì)共軛零點(diǎn)現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四把H(z)單位圓外的零點(diǎn)： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點(diǎn)。而幅度響應(yīng)不變：P231圖6－6現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四2）級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個(gè)穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點(diǎn)：現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準(zhǔn)則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù)現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.4用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想： s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四設(shè)計(jì)方法：-沖激響應(yīng)不變法-階躍響應(yīng)不變法-雙線性變換法現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.5沖激響應(yīng)不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)

模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)T—抽樣周期)()(nTxnxa=)()(nTynya=)()(nThnha=)(txa)(tya)(tha現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四設(shè)則：現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四從頻率響應(yīng)來(lái)看：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為2p/T只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四

實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在|W|>Ws/2處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率wc給定時(shí)，不能通過(guò)提高抽樣頻率來(lái)改善混迭現(xiàn)象現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四二、模擬濾波器的數(shù)字化現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面z平面穩(wěn)定性不變：S域穩(wěn)定，即極點(diǎn)位于s平面左半平面，故在s平面：

z平面現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系：w=WT

線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t)時(shí)域逼近良好沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.6階躍響應(yīng)不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)

模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t)

T—抽樣周期現(xiàn)在是54頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是55頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小?，F(xiàn)在是56頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應(yīng)不變法來(lái)設(shè)計(jì)。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是58頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計(jì)算ZT得現(xiàn)在是59頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.7雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似現(xiàn)在是60頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四一、變換原理及特點(diǎn)沖激或者階躍響應(yīng)不變法的映射是多值映射,導(dǎo)致頻率響應(yīng)交疊。改進(jìn)思路：先將s域平面壓縮到一個(gè)中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是62頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù)c現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置二、變換常數(shù)c的選擇現(xiàn)在是64頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi) s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上現(xiàn)在是65頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四四、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換現(xiàn)在是66頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四

缺點(diǎn)：除了零頻率附近，W與w之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變現(xiàn)在是67頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四預(yù)畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器現(xiàn)在是68頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)現(xiàn)在是69頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)現(xiàn)在是70頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器現(xiàn)在是71頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸Ha(s)將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布現(xiàn)在是72頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)對(duì)比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得現(xiàn)在是73頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K0現(xiàn)在是74頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四（1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見(jiàn)模擬濾波器設(shè)計(jì)1）幅度平方函數(shù)：當(dāng)稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率現(xiàn)在是75頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當(dāng)W＝Wst（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減的d1為阻帶最小衰減現(xiàn)在是76頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：現(xiàn)在是77頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四

極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布(a)N=3(三階）(b)N=4（四階）現(xiàn)在是78頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)（見(jiàn)前頁(yè)圖），它們分別為：（下頁(yè)）3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：其中分子系數(shù)由Ha(0)=1解得?，F(xiàn)在是79頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：現(xiàn)在是80頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四由前討論知，系統(tǒng)函數(shù)為：極點(diǎn)為：當(dāng)N為偶數(shù)，Ha(s)的極點(diǎn)（左半平面）皆成共軛對(duì)，記為：這一對(duì)共軛點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二階子系統(tǒng)：現(xiàn)在是81頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)N為奇數(shù)，則系統(tǒng)由一個(gè)一階系統(tǒng)（極點(diǎn)s=-1）和(N-1)/2個(gè)二階系統(tǒng)組成：整個(gè)系統(tǒng)由N/2（N為偶數(shù)）個(gè)此二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成：N為偶數(shù)N為奇數(shù)現(xiàn)在是82頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得現(xiàn)在是83頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四例：試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃思濾波器，要求通帶截止頻率Ωc=2π×4000rad/s，通帶最大衰減δ1=3dB，阻帶下限截止頻率Ωst=2π×8000rad/s，阻帶最小衰減δ2=20dB.解：（1）求階數(shù)N：聯(lián)立求解，（過(guò)程見(jiàn)教材）得：因此可取N=4；現(xiàn)在是84頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四（2）求極點(diǎn)：由式：（3）求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：實(shí)際上，求出N=4時(shí)，可以直接查表（表6-4），得到歸一化的（Ωc=1）4階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，然后再用s/Ωc代替其中的s即可得到同樣的結(jié)果?，F(xiàn)在是85頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：現(xiàn)在是86頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標(biāo)Wc給出或由下式求出：

其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕或通帶指標(biāo)有富?，F(xiàn)在是87頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1s現(xiàn)在是88頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四a）確定參數(shù)

用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器現(xiàn)在是89頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化現(xiàn)在是90頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：現(xiàn)在是91頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的Butterworth濾波器現(xiàn)在是92頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：現(xiàn)在是93頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四a）確定參數(shù)

用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器現(xiàn)在是94頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)現(xiàn)在是95頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化現(xiàn)在是96頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：現(xiàn)在是97頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四（2）切貝雪夫?yàn)V波器（Chebyshev）N：濾波器的階數(shù)Wc

：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項(xiàng)式TypeIChebyshev現(xiàn)在是98頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為:

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)現(xiàn)在是99頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四下圖示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見(jiàn)：

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過(guò)零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。左圖：N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線現(xiàn)在是100頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性現(xiàn)在是101頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四N為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0現(xiàn)在是102頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四Chebyshev濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：Wc

：通帶截止頻率，給定

e

：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定1）求e：現(xiàn)在是103頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)，N的數(shù)值可由阻帶衰減確定。若Wst為阻帶截止頻率，則：2）求N：誤差的分貝數(shù)為δ2：進(jìn)而可求得A值為：從而：由此得：現(xiàn)在是104頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四阻帶衰減越大（即A越大），所需階數(shù)越高注意到：因此：結(jié)合前式：現(xiàn)在是105頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四3）求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：已知N，Ωc，ε，故可求出Ha(s)。一種方法是直接查表（表6-5），得到歸一化的的系統(tǒng)函數(shù)，然后再求出Ha(s)；另一方法為直接求解，先求出Ha(s)的極點(diǎn)分布，再求出Ha(s)，介紹如下：令其分母多項(xiàng)式為0，即可求出極點(diǎn)：現(xiàn)在是106頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四為求解前式，經(jīng)過(guò)一系列變換（見(jiàn)教材），得到Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為：若記：得到Ha(s)Ha(-s)在s平面的極點(diǎn)滿足的關(guān)系式為：現(xiàn)在是107頁(yè)\一共有121頁(yè)\編輯于星期四直接利用：和計(jì)算a和b并不方便，進(jìn)一步簡(jiǎn)化（推導(dǎo)見(jiàn)教材）如下：其中：取Ha(s