平面向量-2018年高考數(shù)學(xué)（理）之高頻含答案

解密10平面向量

解噂高考

高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率

平面向量的概念一般不直接考查，通常是

結(jié)合后面的知識(shí)進(jìn)行綜合考查.平面向量的線性

平面向量運(yùn)算是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，常以選擇題或

2015新課標(biāo)全國I7

的概念及填空題的形式呈現(xiàn),難度一般不大，屬中低檔題.★★★★

2015新課標(biāo)全國1113

線性運(yùn)算平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示是高考中

的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，尤其是用坐標(biāo)表示的向量共線

的條件是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是通過向量

的坐標(biāo)表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解

決，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也作

平面向量為解答題中的條件,應(yīng)用向量的平行或垂直關(guān)系2017新課標(biāo)全國川12

的基本定進(jìn)行轉(zhuǎn)換.2016新課標(biāo)全國I13

★★★★

理及坐標(biāo)平面向量的數(shù)量積也一直是高考的一個(gè)熱2016新課標(biāo)全國H3

表示點(diǎn)，尤其是平面向量的數(shù)量積，主要考查平面向2016新課標(biāo)全國III3

量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量的幾何意義、模與夾角、

兩向量的垂直等問題.題型一般以選擇題、填空

題為主.

平面向量既有數(shù)，又有形，既有代數(shù)形式

平面向量2017新課標(biāo)全國I13

的向量加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算，又有向量加、

的數(shù)量積2017新課標(biāo)全國H12

減、數(shù)乘及數(shù)量積的幾何意義，因此，高考的考

★★★★

及向量的2016新課標(biāo)全國HI3

查既有對(duì)向量的獨(dú)立命題，也常與函數(shù)、三角函

應(yīng)用2016新課標(biāo)全國I13

數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合命題，解題

時(shí)，注意向量的工具性及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

對(duì)點(diǎn)解咨

考點(diǎn)1平面向量的概念及線性運(yùn)算

題組一平面向量的概念

調(diào)研1給出下列命題：

①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.

②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.

③若加=0（2為實(shí)數(shù)），則Z必為零.

④7,〃為實(shí)數(shù)，若Xa=ftb,則a與共線.

其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).

②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

③錯(cuò)誤，當(dāng)a=0時(shí)，不論2為何值，AO=0.

④錯(cuò)誤，當(dāng)a=〃=0時(shí)，Xa=/nb=0,此時(shí)，。與方可以是任意向量.

故選C.

運(yùn)?了電；?*”運(yùn),。亳.??運(yùn)?.**#?二運(yùn)。?。??運(yùn)腐.???*

☆技巧點(diǎn)撥☆

對(duì)于向量的概念問題：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也

滿足條件，要特別注意零向量的特殊性.具體應(yīng)關(guān)注以下六點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零.向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.

(6)非零向量。與已的關(guān)系：上-是。方向上的單位向量.

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

運(yùn)??:黑運(yùn)>.?!：?■*-<運(yùn)??。運(yùn)°-f°<.?a*

題組二平面向量的線性運(yùn)算

調(diào)研2如圖所示，在平行四邊形N8CZ)中，E是8c的中點(diǎn)，尸是工￡的中點(diǎn)，若在=。，而=5,則萬^等

【答案】A

【解析】AF=-=-(A5+5^)=+=+=-?+-/?.故選A.

調(diào)研3設(shè)點(diǎn)M是線段8c的中點(diǎn)，點(diǎn)/在直線8c外，前2=16,|而+%|=|布—就|,則|押|=

【答案】2

【解析】由|而+%|=|次一%|可知，ABA.AC,則力M為Rt△48c斜邊8C上的中線,

——1—

因此，|//|=/|8。|=2.

調(diào)研4已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足強(qiáng)+麗+岳=0,萬=4萬，則實(shí)數(shù)2的值為

【答案】-2

【解析】如圖所示，由而且強(qiáng)+即+而=0,則尸為以ZC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，

因此萬=-2而，則2=-2.

運(yùn)?.：*.%?*”運(yùn),。亳.??運(yùn)??***?二運(yùn)。?。??數(shù).,腐.???*

☆技巧點(diǎn)撥☆

平面向量的線性運(yùn)算是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，題型以選擇題、填空題為主，難度較小，屬中、低檔題，主要

考查向量加法的平行四邊形法則與三角形法則及減法的三角形法則或向量相等，做題時(shí)，要注意三角形法則與平

行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)“；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)

重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合常見的平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的

中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段

在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

運(yùn).。運(yùn).?富。.?運(yùn).,嗨.??-,.<運(yùn)?w.jfdJ。露.=融篇

題組三共線向量定理及其應(yīng)用

調(diào)研5已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線，但a+B與c共線，且b+c與a共線，則向量a+b+c=

A.aB.b

C.cD.0

【答案】D

【解析】依題意，設(shè)a+b=/nc,b+c=na,貝?。萦?a+b)-(b+c)=〃ic-〃a,BPa-c=mc-na.又a與c不共線，于是有

m=-\,n=-\,a-\-b=-c,a+b+c=O,選D.

調(diào)研6設(shè)D,E,F分另ij是ZUBC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且加=2麗，麗=2或，萬;=2而，則

而+而+而與前

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

【答案】A

..■?,，，—?■I??一?■■■■I，1?■■，*■I■

【解析】由題意得++—BE=BA+AE=BA+-AC,CF=CB+BF=CB+-BA,

333

,.???，，-，一?I,,—?,■—??■——?/??1?I.?—

因此“D+8E+CF=C8+-(8C+/C—/8)=C8+—8C=-—BC,

333

故而+赤+而與前反向平行.選A.

運(yùn)?!颼?晨運(yùn).?*°.??.<><.??<*.<運(yùn)*?：%*°F」。<.???*.<

☆技巧點(diǎn)撥☆

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量”，兒若存在實(shí)數(shù)九使。=油，則a與b共線.

【注】對(duì)于向量共線定理及其等價(jià)定理，關(guān)鍵要理解向量a與5共線是指a與B所在的直線平行或重合.向量共

線的充要條件中要注意“#)”，否則2可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使荏=4%,則Z,B,C三點(diǎn)共線.

【注】證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且

有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.

對(duì)于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)0,0%,方不共線，滿足麗=x5+y礪(x,yGR),則P,

A,B共線=x+產(chǎn)1.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

8?.：%.?。運(yùn)。一＜。.?冬J。＜.?一，富運(yùn)二運(yùn)。.?源。??運(yùn)「。嫁.::冬

考點(diǎn)2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

題組一平面向量基本定理的應(yīng)用

調(diào)研1已知直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量。=（1,3）,b=（m,2加-3）使平面內(nèi)的任意一個(gè)向量c都可以唯一地表示成

c=Aa+""則m的取值范圍是

A.（—00,0）U（0,+oo）B.（—00,-3）U（—3，+oo）

C.（-oo,3）U（3,+oo）D.[-3,3）

【答案】B

m2m—3

【解析】由題意可知向量?與占為一組基底，所以不共線，掙丁，得機(jī)#-3,選B.

調(diào)研2在梯形/8CO中，已知/8〃C。，AB=2CD,M,N分別為CD,8c的中點(diǎn).若荔=4萬7+4麗，則

2+"=

【答案】f4

【解析】解法一：連接4C,由荔=4而+〃俞，得刀=；1?；（而+祝）+//?；（%+而），

即

即咚—1）君+'赤+弓+女赤+；函=0

咚7）方+灑+4+”=0即

13

不+—1=0,

5+當(dāng)-1）赤+（力+言））萬=0.又因?yàn)閯?，彳萬不共線，所以由平面向量基本定理得

解

4

得.所以7+"下.

4

解法二：（回路法）連接MN并延長交AB的延長線于T,由已知易得AB=sAT,

4—?—?________4

：.-AT=AB=AAM-i-/lANfM,N三點(diǎn)共線，：.X+^.

AB

8??,運(yùn)>.?*。J。<J?「.富運(yùn)?二運(yùn)。.?<°??運(yùn)?，<J冬??.目

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.對(duì)平面向量基本定理的理解

(1)平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表

示的基礎(chǔ).

(2)平面向量的一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.

(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如4=2肉+&C2的形式，是向量線性運(yùn)算知識(shí)的延伸.

2.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共

線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.

3.應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出

來.

(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的兒何性質(zhì)，如平行、相似

等.

4.用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的

運(yùn)算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表

達(dá)式.

8??,運(yùn)>.?*。.?―J。<J?「.富運(yùn)?二運(yùn)。.?<°??運(yùn)<：：：卷」.目

題組二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

調(diào)研2已知向量a=(2,1),6=(1,-2).若ma+wb=(9,~8)(m,n￡R),則的值為.

【答案】-3

【解析】【解析】由a=(2,1),b=(l,-2),可得m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),

\+n9機(jī)=2

由已知可得，解得，從而*〃=-3.

[加一2〃=—8[n=5

調(diào)研3在△力8c中，點(diǎn)尸在8c上，且麗=2定，點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，若可=(4,3),PQ=(l,5),則元等

于

A.(-6,21)B.(-2,7)

C.(6,-21)D.(2,-7)

【答案】A

【解析】AC=2=2(PQ-PA)=(-6,4),5C=3PC=3(AC-AP)=(-6,21),故選A.

運(yùn)??:X—???運(yùn)?。*.?S冬?尸*.!!?

☆技巧點(diǎn)撥☆

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則

應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

2.解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.

【注】(1)要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)，當(dāng)向量的起

點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo).

(2)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位

置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

―*「。行。.?冬"?運(yùn)?。盤二?運(yùn)亳。??運(yùn)?。*:：：冬

題組三平面向量共線的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

調(diào)研4己知向量0=(2,3),8=(-1,2),若(加a+,力)〃(a-2Z>),則與等于

A.-2B.2

C.TD.

【答案】C

【解析】由題意得〃7a+〃Z>=(2/M-",3m+2n),a-2b=(4,-1),V(ma+nb)//(a-2b),-(2m-n)-4(3m+2M)=0,

緊T，故選C.

調(diào)研5已知梯形/8CZ)中，AB//CD,且QC=248,若三個(gè)頂點(diǎn)分別為/(I,2),8(2,1),C(4,2),則點(diǎn)Z)的

坐標(biāo)為.

【答案】(2,4)

【解析】..?在梯形中，DC=2AB,/8〃CA,二。。=2/8.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為&,y),則。C=(4-x,2~y),

—\4-x=2\x=2

AB=(1,-1),A(4-x,2-歹尸2(1,-1),即(4—x,2~y)=(2,-2),：.],解得《,故點(diǎn)。的坐標(biāo)為

2-y=-2[y=4

(2,4).

調(diào)研6已知向量a=(l-sin。，1),1+sinJ),若。〃兒則銳角9等于

A.30°B.45°

C.60°D.75°

【答案】B

【解析】由。〃b得(l-sin0)(l+sin6)=^,化簡得1-sin?依^,sin26^,又。為銳角，所以sin族乎，0=45°,故選

B.

調(diào)研7設(shè)。^=(1,-2),OB={a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/,B,C三點(diǎn)共線，則5+

植2的最小值是

A.2B.4

C.6D.8

【答案】D

【解析】解法一：由題意可得，04=(1)-2),OB=(a,-1),OC=(rb，0),所以方=礪—刀=0-1,1),

AC^OC-OA=(-b-\,2).又B,C三點(diǎn)共線，：.^4B//AC,即-bT尸0,，2a+Al,又

'.'a>0,人>0，?,?5+1=0/)(24+6)=4+0+系14+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)今當(dāng)即&=；*=；時(shí)，取“=”.故選D.

=

解法二：kAB~a?-，k/c__[)_]''B,C二點(diǎn)共線，所以kdB=k4c，即“_〔一?>2a~hb=l)所以公+

產(chǎn)F+中F+V表4+2用=8(當(dāng)且僅當(dāng)然,即〃=飆弓時(shí)，取5號(hào))，注+蒯最小值是&

故選D.

運(yùn)1犍「。運(yùn).?,。.?運(yùn)…域.???*.<運(yùn).產(chǎn)51??。運(yùn)。一晦。：運(yùn)；。鬣；：：莪??耳

☆技巧點(diǎn)撥☆

平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度一般不大，屬中低檔題,

且常見題型及求解策略如下：

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為加

(2eR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于％的方程，求出4的值后代入碗即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若。=(%,乂)，8=(乙,外)，

則Q〃?的充要條件是石為=%%”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于方與衣共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求

解.

運(yùn)颼.晨運(yùn).?*°.*?.0<.?W運(yùn)運(yùn)。.?■。?*?-0*.???*.4

考點(diǎn)3平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用

題組一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

調(diào)研1設(shè)xCR,向量a=(l,x),b=(2,-4),且?！?gt;，則<rb=

A.-6B.VTo

C.小D.10

【答案】D

【解析】Va=(l,x),6=(2,-4),Ka//b,/.-4-2x=0,x=-2,a=(1,-2),a6=10,故選D.

調(diào)研2在△/BC中，48=4,N48c=30。，。是邊8。上的一點(diǎn)，且N萬?刀=N萬?%,則而?在的值為

A.0B.-4

C.8D.4

【答案】D

【解析】由力?赤=瓦?彳？，得瓦?(萬一衣)=0,即赤?赤=0,所以赤工赤，即AD1CB.又

AB=4,ZABC=30°,所以/Z>48sin30°=2,NB4D=60°,所以40?=/Z>/&cosN8ZZ>2x4x^=4,故選D.

運(yùn)運(yùn)>.?*"?—.，：<ja」.富運(yùn)?二運(yùn)。.?f°??運(yùn)<：：：冬??.目

☆技巧點(diǎn)撥☆

平面向量數(shù)量積的類型及求法：

1.平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式a功=|。|他|cos6；二是坐標(biāo)公式。包=玉工2+乂％.

2.求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.

【注】(1)在平面向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從a力=0推出。=0或6=0成立.實(shí)際上由。力=0可推出以下四種結(jié)

論：①。=0,b=0；②a=0,后0；③a，0,b=0；④。#0,屏0,a\.b.

(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bc=ca,分0,則有b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若。力=。,。(40),則不一定有

b=c.

(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即不一定等于a(bc),這

是由于(a4>c表示一?個(gè)與c共線的向量，而a-(Zrc)表示一,個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.

8運(yùn).?富。??運(yùn)一7t.?簿:鬻運(yùn)*.?蠹??.目

題組二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

調(diào)研3已知向量a,b滿足(2a-b)(a+方戶6,且同=2,步|=1,則a與入的夾角為.

【答案造

,r1

【解析】,.,(2(1—萬)，(。+，)=6,：.2Q2+Q力一)2=6,又同=2,.\ab=-i,/.cos(a,b)一|?.㈤一一.，???伍與)的

.夾角為號(hào).

調(diào)研4平面向量。=(1,2),6=(4,2),c=ma+b(m^R),且c與〃的夾角等于。與力的夾角，則〃?=

A.-2B.-1

C.1D.2

【答案】D

【解析】解法一：由c與a的夾角等于c與6的夾角，可設(shè)c=2(3+&=^4+(！咐.￡1<),：c="?a+6,

解法二：c="?a+Z>=(，〃+4,2機(jī)+2),：c與a的夾角等于c與占的夾角，且向量夾角的取值范圍是［0,用，

GCb'C

/.同.心「|。卜匕|，工2(〃.c)=b?。=2(陽+4+4m+4)=4m+16+4〃?+4=加=2.

運(yùn)??,：?.二運(yùn)。―??冬?。培.?蠹M?產(chǎn)篇??。運(yùn)°」*°.*冬」。冤.?★??蹲

☆技巧點(diǎn)撥☆

平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：

(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos。=’也(夾角公式)，所以平面向量

⑷網(wǎng)

的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.

(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角

為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

【注】在求△Z6C的三邊所對(duì)應(yīng)向量的夾角時(shí)，要注意是三角形的內(nèi)角還是外角.如在等邊三角形/BC中，AB

與BC的夾角應(yīng)為120。而不是60°.

8黑J運(yùn).?富。??運(yùn)…:璃.?強(qiáng):鬻運(yùn)延。..?蠹

題組三平面向量的模及其應(yīng)用

調(diào)研5設(shè)向量mb滿足|a+〃=7i5,ab=4,則|a-〃=

A.也B.273

C.2D.加

【答案】C

【解析】V\a+b\=y[20,ab=4,/.|a+Z>|2-|a-ft|2=4a-ft=16,/.\a-b\=2,選C.

調(diào)研6設(shè)e/2為單位向量，它們的夾角為$a=xei+ye2，Z>=xei-ye2(x,"R),若同川5,則步|的最小值為.

【答案】1

【解析】,單位向量e”?2的夾角為：，.、.多由同川L得(xei+ye2)2=3,即》2+“+喲3,①

則步F=(xei力?2尸二小+丁一葉，②

①+②得x2+J鳴出，

①-?得

又均，當(dāng)且僅當(dāng)口時(shí)“=”成立，，嗎乂2?與比，解得網(wǎng)2多，因此，制的最小值為1.

運(yùn)??:韁??。運(yùn)。.?*°??運(yùn).'o培.8莪??,冬?產(chǎn)域.二運(yùn)。.?■。??運(yùn).0<.?鷹??虜

☆技巧點(diǎn)撥☆

利用平面向量數(shù)量積求模及范圍、求參數(shù)的取值或范圍問題是高考考查數(shù)量積的一個(gè)重要考向，常以選擇題、

填空題的形式呈現(xiàn)，具有一定的綜合性，且平面向量的模及其應(yīng)用的常見類型與解題策略如下：

(1)求向量的模.解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式|a|=J/=JIZ，或坐標(biāo)公式|a|=G77的應(yīng)用，另外

也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解.

(2)求模的最值或取值范圍.解決此類問題通常有以下兩種方法：

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代

數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍.

（3）由向量的模求夾角.此類問題的求解其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.

8SS.?<o篇運(yùn)程。.?<°.<?.<■*?：-,.<

題組四平面向量的應(yīng)用

調(diào)研7己知。是△Z8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（前一0）?（麗—彳萬）=0,則△ZBC是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】設(shè)6。=d4。=4/8=。，則由（前一行）（而—而）=（萬心-2）京=0,得前屈=聲屈，

所以accos8=6ccos/，即acos8=bcos4利用余弦定理化簡得廿二/，即好兒所以△4SC是等腰三角形.

（此題也可用正弦定理化簡acosB=hcosA得sin（〃-8）=0,即力=8可得）

調(diào)研8已知△Z8C的外接圓的圓心為O,半徑為I,若3%+4萬+5灰=0,則△ZOC的面積為

A.1B.

36

C.而D-5

【答案】A

【解析】依題意得，（3宓+5定）2=（—4礪）2,90^+250e2+3O0^0e=160^，

3,,4

即34+30cosN4OC=16,則cosN4OC=-5，sinZAOC=y]1—cos2ZAOC=5,

1_._.2

所以△4OC的面積為51cM||。。|，//。。石，選A.

調(diào)研9已知向量a=（cos苧，sin苧），b=（—sin；,—cos?,其中工￡兀.令函數(shù)於尸〃力，若c次x）恒成立，則

實(shí)數(shù)c的取值范圍為

A.（1,+oo）B.（0,+oo）

C.（-1,+oo）D.（2,+oo）

【答案】A

3xx3xx

【解析】因?yàn)?（x）=a?b=-cos5sin5-sinTcos5=-sin2x,又忘2xW2兀，所以Tgsin2xW0,所以段）max=l.又。次x）恒成

立，所以C>/（X）max，即。>1.所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（1，+8）.故選A.

運(yùn)?.**.。運(yùn).?富。.?運(yùn).,嗨.??-,.<運(yùn)?w.jfdJ。露.=融篇

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量與函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可

以解決某些函數(shù)問題.

2.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向

量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.

3.向量的兩個(gè)作用：

(1)載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；

(2)工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

4.向量中有關(guān)最值問題的求解思路：

一是“形化”，利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題；

二是“數(shù)化”，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.

【注】常見的向量表示形式：

(1)重心.若點(diǎn)G是△Z8C的重心，則0+礪+前=0或方=；(方+而+斤)(其中P為平面內(nèi)任意一

點(diǎn)).反之，若M+赤+前=0,則點(diǎn)G是△NBC的重心.

⑵垂心.若H是△Z8C的垂心，則且『麗=麗?布=萬乙蘇.反之，若山.麗=麗證=

HCHA,則點(diǎn)”是△ABC的垂心.

(3)內(nèi)心.若點(diǎn)/是△/8C的內(nèi)心，則|瑟卜萬+|百卜而+|荏卜元=0.反之，^\'BC\1A+\CA\-

岳+|萬卜元=0,則點(diǎn)/是△45C的內(nèi)心.

(4)外心.若點(diǎn)。是△48C的外心，則(E+礪)歷=(歷+慶)?麗=(反+方)?就=0或

|次|=|礪|=|反之，若|方|=|礪|=|反則點(diǎn)。是△Z6C的外心.

凝.產(chǎn)富.V€域：：：耙?‘腐運(yùn)城經(jīng)??運(yùn)域；"齦?

強(qiáng)化集H

1.(山東省淄博市部分學(xué)校2018屆高三12月摸底考試)已知向量a=(—2,1)力=(1,0)，則向量。在向量〃上的

投影是

A.2B.1

C.-1D.-2

【答案】D

—2

【解析】向量a在向量力上的投影是Wa-b='=—2,選D.

2.（四川省綿陽市2018屆高三（上）一診）已知向量。=（x-1,2）,b=（x,1）,且?！╞,則a+〃=

A.V2B.2

C.2V2D.372

【答案】D

【解析】因?yàn)閍"5,所以x-l-2x=0,解得x=-l,則a+5=（-2,2）+（Tl）=（T,3）,

+同=3~j2.故選D.

【名師點(diǎn)睛】利用平面向量的坐標(biāo)形式判定向量共線或垂直是常見題型：

已知.=（三,M）,5=（電，內(nèi)），則allbox1y2-^2%=0,aJ.5。不覆+必當(dāng)=。.

3.（四川省廣安、眉山2018屆畢業(yè)班第一次診斷性考試）已知△Z8C是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。在邊8C

上，且BD=2Z>C,則在?而的值為

,V32

A.1--B.-

33

八4、出

C.一D.Id----

33

【答案】B

【解析】：△NBC是邊長為1的等邊三角形，且?.麗=；前，

.?.德?亞=刀?（而+而）=1毛+g刀?品=l+gxlxlx（-故選B.

4.（吉林省普通中學(xué)2018屆高三第二次調(diào)研測試）已知向量a和萬的夾角為120°,且a=2"=4,則（2a-方卜。

等于

A.-4B.0

C.4D.12

【答案】D

【解析】??.向蚩0和5的夾角為120%且同=2：冏=4,

：.(2a-b)a=2a2-ab=2x2l-2x4x\-lj=12,故選D.

5.(吉林省普通中學(xué)2017-2018學(xué)年高三第二次調(diào)研測試)已知向量a=(百,l)R=(0,-l),c=(4,Ji),若

a-2方與c垂直，則左等于

A.2百B.2

C.-3D.1

【答案】C

【解析】a-26=(V3,3),所以麻+3JJ=O,得左=一3,故選C.

6.(湖北省襄陽市2018屆高三1月調(diào)研)已知i與j為互相垂直的單位向量，a=i-2j,b=i+Aj,且a與占

的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是

A.12，|)u停+8)停+8)

C.(—oo,-2)Uf—

D.

【答案】c

【解析】由題得。=(1,-2)1=(1,2),因?yàn)樗鼈兊膴A角為銳角，則05>0且a,》不共線，所以且

4w—2,故選C.

7.(廣西南寧市2018屆高三(上)9月摸底數(shù)學(xué)試卷)己知O是△48C內(nèi)部一點(diǎn)，方+礪+0心=0,

萬?元=2且NA4c=60。，則△O8C的面積為

V31

A.B.

32

c6C2

C.--D.一

23

【答案】A

【解析】；OA+OB+OC=Q,：.OA+OB=-OC,，。為三角形的重心,，△OBC的面積為△出，

面積的g,'：ABAC=2,：.|Ifi|■|JC|cosZBAC=2,：ZBAC=6Q°,.-.|LSfi|-|Lic|=4,AABC

的面積為:畫.RgsinN54c=?.,.△03C的面積為坐，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，向量的數(shù)量積公式及三角形的面積公式，特別注意已知。

是△45C內(nèi)部一點(diǎn)，E+而+1=00。為三角形△,倜C的重心，以及靈活應(yīng)用知識(shí)分析、解決

問題的能力和計(jì)算能力.

8.（河南省鄭州市2018屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測）如圖，在△Z8C中，N為線段4c上靠近/的三等分

點(diǎn)，點(diǎn)P在8N上且萬=[〃+2]前+2前，則實(shí)數(shù)〃?的值為

I11J11

A

上

1

A.1B.-

2

八95

C.—D.—

1111

【答案】D

—A_J

【解析】設(shè)麗=4麗=2(亦一方)=2祝一:=-AAB+JAC(O<A<1),

：.AP^AB+BP=(l-A)AB+^AC.

M_2

又=+—|A5+—5C=|w+—|X5+—(AC-AB^mAS+—AC,.*.<3-11，解得

InJiiInJir

m—1—/1

m——.選D.

11

9.（甘肅省張掖市2018屆全市高三備考質(zhì)量檢測第一次考試）已知向量。=（2,-4）,6=（-3,-4）,則向量。與

b夾角的余弦值為.

【答案】—

ab-2x3+(-4)x(—4)-6+16y/5

【解析】8sqe>=,故答案為

720x7252^x5-5

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)表示及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題一平面向量數(shù)量積公式有

兩種形式，一是“修=同同85。，二是。小;再為+刈內(nèi)，應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：（1）求向量的

夾角，85。=黑（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）：（2）求投影，。在5上的投影是萼；（3）若向

量a,5垂直，則。-5=0;（4）求向量ma+泌的模（平方后需求a」）.

10.（湖北省襄陽市2018屆高三1月調(diào)研）已知兩個(gè)不共線向量。疝礪的夾角為0M.N分別為線段04、08

的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線A/N上，且雙=*夕+>礪（x,yeR）,貝U+r的最小值為.

【答案】-

8

【解析】因?yàn)镃,〃,N三點(diǎn)共線，所以反=/而+（17）麗=￡9+七三礪，

所以x==x+y=-,*2+必表示原點(diǎn)與直線x+y—』=0上的點(diǎn)的距離的平方，它的最小值

04-0—

一,故填一.

【名師點(diǎn)睛】在向量中，如果C,",N三點(diǎn)共線，則灰=/西+（1—。麗，注意兩，而前面的系數(shù)和

為1,在解題時(shí)注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論.

11.（河南省溪河市高級(jí)中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第四次模擬考試（12月））在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a的頂

點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)。，且ae(o,7t)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,6).

(1)若無，而，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若礪=/歷。＞0),且在△Z8C中，角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2B=a,b=G，

求a+c的最大值.

【答案】(1)f—(2)2vL

122)

【解析】(1)由題意，赤二(-1,招)，4=(8s%sina),

因?yàn)榈Z_L彷，

所以O(shè)EOD=—cosa+j3sina=0,即tana=衛(wèi)?.

3

又aw(Ol),

所以女=工cosa=—,sina=L

622

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

??_?一一._

（2〉由。E=山。4>0）知，向量OEQD同向平行,

易知直線。后的傾斜角為不，

所以a=生=25,即5=色.

33

由正弦定理得?==2,即。=2sinJ,c=2sinC,

sinAsin5sinC

/乳AT

所以a