2021-2022學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021-2022學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題與：xy10，則這兩條直線的位置關(guān)系是（）1．已知直線l：xy20l12A．重合B．平行C．垂直D．不能確定【答案】C【解析】先求得兩直線的斜率，再由斜率關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系.【詳解】因為直線l：xy20的斜率為：k1，直線l：xy10的斜率為112k12，kk11，所以2所以這兩條直線的位置關(guān)系是垂直，故選：C2．在空間直角坐標(biāo)系中，a1,2,1為直線l的一個方向向量，n2,t,4為平面的一個法向量，且l//，則t（）B．3A．3C．1D．1【答案】B【分析】由已知條件得出an0，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)t的值.【詳解】因為l//，則an22t40，解得t3.故選：B.xy223．已知雙曲線1a0,b0的漸近線方程為y2x,則其離心率為（）ab222335A．B．C．D．352【答案】B【分析】利用漸近線方程得出ba2，然后結(jié)合c求出c即可.ab22a2a2b21b【詳解】由漸近線方程可知b2,ecc225.aaa2a2a故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解離心率問題，屬于簡單題.4．如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強度鋼珠壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現(xiàn)測得凹直坑徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26mm,則凹坑深度為第1頁共18頁A．1mmB．2mmC．3mmD．4mm【答案】AOMAMRTOMA【分析】由題可知，在中，利用勾股定理，可求得，進而可求OM出，即凹坑深度．CMOM12mm【詳解】依題意得，2AM2OM，從而OA，故CM13121mm，故2選A．【點睛】利用半徑，弦心距和弦的一半組成的直角三角形來求解，是基礎(chǔ)題．CACBCC，，分別是的中ACBC,ACBCEF111,5．在直三棱柱ABCABC中，11111點，則直線與所成角的余弦值等于（）CFAE412B．1335D．13A．C．55【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量AE,CF的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求解.CA,CB,CC所在的直線分別為yx軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)z【詳解】由題意，以1系，如圖所示，11A1,0,0,A1,0,1,C0,0,1,E,0,1,F0,,1，2211CACBCC1，可得設(shè)1則(,0,1),CF(0,1,1)，AE122AECFAECF154.所以cosAE,CF(1)212(1)21222故選：A.第2頁共18頁6．已知圓C：2PC2AC，為坐標(biāo)原點．則Ol上有且只有一點A，B，若直線Р使得OPPC（）A．-20B．20或12C．-20或-12D．12【答案】A||PC【分析】由題設(shè)易知PCl且為到直線的距離，再根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑、ClPC2ACP1,5即可確定m的值，進而可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求.OPPC【詳解】∵這樣的點是唯一的，則PCl，即為到直線：lymm0的距離，而圓||PCCPC的半徑為且，2C(1,1)∴要使PC2AC，則PC4，又m0，即，m5P1,5，故OPPC1,50,420．∴故選：A．第3頁共18頁x2y20)的左右焦點分別為、且（2，0），O為坐b2a2標(biāo)原點，為雙曲線右支上一點，過F做∠FPF外角平分線的垂線，垂足為．若M212Pa（）120°的等腰三角形，則△OFM恰為頂角為23323D．3A．B．C．132【答案】D【分析】延長與FM的延長線交于N，設(shè)PFm,PFn，運用雙曲線的定義和FP1212定理，求得m,n，再在三角形FPF以及中位線12等腰三角形的可求得結(jié)果性質(zhì)，中，利用余弦定理【詳解】如圖，延長與FM的延長線交于N，設(shè)PFm,PFn，則mn2a，F(xiàn)P1212因為M在FPF外角平分線上，且PMFM，所以PFPN，為的中點，MFN21222所以O(shè)M12NF11(mn)，OM∥NF，21因為△OFM恰為頂角為120°的等腰三角形，2所以FM2，OM2csin6023，2即有mn43，解得ma23,n23a，PFF30在三角形FPF中，，由余弦定理得1212cos30m242n2m4288a3a16163，解得a，233故選：Dx2y28．設(shè)橢圓C:b1(ab0)的右焦點為，橢圓上的兩點,關(guān)于原點對稱，ABCFa22且滿足FAFB0,|FB||FA|2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）25A．]235,1)C．[2,31]B．[D．[31,1)[,32第4頁共18頁矩形，設(shè)AF'n，AFm，在直角ABF中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到mn2c2m，再根據(jù)FBFA2FB，得到的范圍，然后利用雙勾函數(shù)的值域得nnmb2b到的范圍，然后由e2cb21求解.a2a2a【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點F'，由橢圓的對稱性可知，四邊形AFBF'為平行四邊形，又FAFB0，即FAFB，所以平行四邊形AFBF'為矩形，所以ABFF'2c，設(shè)AF'n，AFm，ABF中，mn2a在直角，4c2，得mn2b2，mn22mn2c2所以，nmb212c2令t，得tm，tb2nt1,2，mn又由FBFA2FB，得t12c25tb22,，所以25412,，92c2b2ba1,所以所以，即4225ec1b2,，aa22325,，所以離心率的取值范圍是23故選：A.【點睛】本題主要考查橢圓的定義，對稱性，離心率的范圍的求法以及函數(shù)值域的應(yīng)用，第5頁共18頁還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.二、多選題9．下列說法正確的是（）A．直線24yaxaaR2，4必過定點B．直線y13x在軸上的截距為y1C．直線x3y10的傾斜角為120°D．過點且垂直于直線230的直線方程為210xy2，3xy【答案】AD【分析】逐一分析各個選項的條件，再經(jīng)推理計算作答.2，4，A正確；yax2a4aR，即ya(x2)4，恒過點【詳解】對于A，直線y13x，即31，在軸上的截距為B，直線yxyB對于，不正確；1C，直線x3y10的斜率k3，其傾斜角為150，C不正確；3對于x2y30的斜率為，則垂直于直線1x2y30的直線斜率為，2對于D，直線2y32(x2)，即2xy10，直線方程為：D正確.故選：ADA3,4，點，若圓O上存在兩點到的距離為2，則Ar10．設(shè)圓x2O：y2r2rN*的可能取值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】BCD【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以A(3,4)為圓心，2為半徑的圓與圓相交問題，再根據(jù)圓與OA圓的位置關(guān)系求解即可得答案.A3,4為圓心，2為半徑的圓為圓，【詳解】根據(jù)題意設(shè)以A0,0O，半徑為，則兩圓圓心距為：OA5，rxyr2r，圓心為N所以圓：O22*因為圓上存在兩點到的距離為O2，所以圓與圓相交，OAA所以r25r2，解得：3r7.又，所以的可能取值為4,5,6*rrN故選：BCD11．若橢圓上存在點P，使得點P到橢圓的兩個焦點的距離之比為2∶1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”．則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是（）第6頁共18頁A．21x2yB．21x2yC．12521x2y2D．21x2y1615893336【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓的定義，再結(jié)合條件即可得到答案。2am．Pm2m2mm2a【詳解】設(shè)點到橢圓兩個焦點的距離分別為和，則，即3ac2aaca3c，所以．因為acmac，則3對A，a=4,c=1，不滿足；對B，a=3,c=1，滿足；對C，a=5,c=2，滿足；對D，a=6,c3，不滿足.故選：BC．AB2,AA1,M為的中點，點在線段上，ABPBC112．已知正三棱柱ABCABC中，1111則下列結(jié)論正確的是（）A．直線//平面，BCAMCB．和到平面的距離相等AMCAP111C．存在點，使得AP平面D．存在點，使得APACAMC1PP1【答案】ABAC,AC交于點OM//BC，進而得到BC//平面AMC，O，連接，證得OM111【分析】連接11可判定A正確；證得，結(jié)合斜線與平面所成的角相等，可判斷正確；假設(shè)ANNPB(1)AC,AB0,11存在點，使得平面AMC，得到APAC，令，APAPP11ACAP0，可判定C、D錯誤.結(jié)合1【詳解】對于A中，如圖所示，連接AC,AC交于點O，連接，OM11因為ABCABC為正三棱柱，所以其側(cè)面都是矩形，所以為AC的中點，O1111OM//BC又因為是的中點，所以M，AB1由OM平面//AMC，且BC平面AMC，所以BC平面AMC，所以正確；A11111B中，因為交于點，OM//BCN，AMMB，所以，對于ANNPAPOM1因為與與平面AMC成角相等，所以和到平面AMC的距離相等，AP11ANPN所以B正確；第7頁共18頁AC平面APACAMC，所以，111令11因為和所成角為銳角，和所成角為銳角，ACAC11AB1111111所以APAC不成立，所以11故選：AB.三、填空題a13．已知(1,2,3)，b(1,4,0)，則ab____________【答案】35【分析】求出ab，即可求出模.ab0,6,3，，所以a(1,2,3)，(1,4,0)【詳解】因為b235.所以ab02623故答案為：35.14．若橢圓x2y23m2m11的焦點在x軸上，則實數(shù)m的取值范圍是_________1,【答案】【分析】根據(jù)題意可得3m2m10，即可求得.x2y23m2m11的焦點在x軸上，【詳解】因為橢圓所以3m2m10，解得，m1所以實數(shù)m的取值范圍是1,.第8頁共18頁x2y2x2△ANB______________則周長的最小值為【答案】1042A,B,M三點共線【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線和橢圓的定義，將原問題轉(zhuǎn)化為時，周長取得最小值，即可求解.ANBx2y2【詳解】由題意，雙曲線1，可得a22，88根據(jù)雙曲線的定義可得AMAN42，即ANAM42，x2y2又由橢圓1，可得a5，259根據(jù)橢圓的定義可得BMBN10，所以BN10BM，ANB周長為1042(BMAM)AB1042ABAB1042,所以A,B,M三點共線時，等號成立.中故周長的最小值為，其ANB1042故答案為：1042.P10，在直線l：axya20aR上的射影為，點（M16．已知點N0，3），則線段MN長度的最小值為______________【答案】42Q(1,2)，由90得出點在以PQ為直徑的圓上，【分析】直線恒過定點根lPMQM第9頁共18頁據(jù)圓的對稱性以及距離公式得出線段的最小值.MN：axya20aR，即(x1)ay201020y，【詳解】直線l，令，且xP1，0l得出x1,y2Q(1,2)，所以直線恒過定點，由于點在直線上的射影為，lM即90，所以點在以為直徑的圓上，該圓的圓心為的中點0,1PMQ，MPQPQC且半徑為2，由點到圓心C的距離為NC3124，所以線段的最小值為NMNNCr42.故答案為：42四、解答題17．已知圓的xy2mx4y6m90(mR).22C方程為：（1）試求m的值，使圓；C的周長最小（2）求與滿足（1）中1,2條件的圓C相切，且過點的直線方程.【答案】（1）m3；（2）x1或.xy34110【分析】（1）先求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xm2)2()2(ym3)24，由半徑最小則周長最??；（2）由m3，則圓的離等于半徑，mx4y6m2方程為：x2)2(3)(2y4，直線和圓線切則圓心到直線的距分直線與x軸垂直和直線與x軸不垂直兩種情況進行討論即可得解.【詳解】（1）x2y290，配方得：(xm)(3)4，m2)2(22y當(dāng)m3時，圓C的半徑有最小值2，此時圓的周長最小.m3，圓的（2）由（1）得，方程為：x2)24.(3)(2y當(dāng)直線與x軸垂直時，x1，此時直線與圓相切，符合條件；當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)為ykx12，2k2223由直線與圓相切得：k，解得，k214311所以切線方程為y，即x3x4y110.44方程為1或3x4y110.綜上，直線xABCDABCD中，點P，Q，R分別在AB，，DDBC111118．如圖，在邊長為3的正方體1111AC1上，且AP=BQDR=1，AN311第10頁共18頁(1)求點D到平面PQR的距離(2)判斷點N是否在平面PQR內(nèi)，并證明你的結(jié)論.2【答案】(1)3；3(2)存在，具體見解析.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進而求出平面的法向量，然后求出D到平面PQRPQR的距離；（2）根據(jù)空間向量共面定理即可證明問題.(1)以D為坐標(biāo)原點，分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則1,DADCDD,A3,0,0,P3,1,0,R0,0,2,Q2,3,3,C0,3,3,D0,0,0，13,3,3,DR0,0,2，設(shè)平面所以PR1,2,3,3,1,2,0,1,0,PQAPAC1mPQ0x2y3z01,1,1PQR的法向量為,,，則m3xy2z0，令x=1，則，mxyzmPR0|DRm|223.3則D到平面的距離為|m|PQR111第11頁共18頁(2)點在平面內(nèi).NPQR1ANAC,R，又，則31假設(shè)點在平面內(nèi)，設(shè)PNmPQnPRmnNPQR1ANAPPNAPmPQnPRAC，即31127，故存在m1m3n110,1,0m1,2,3n3,1,23,3,3，所以12mn3n3m2n1717n72m.，使得PNmPQnPR，即點在平面內(nèi)NPQRx軸上，一個頂點坐標(biāo)為，離心率為3.2,019．設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在（1）求這個橢圓的方程；（2）若這個橢圓左焦點為F，右焦點為12、F，過F且斜率為1的直線交橢圓于兩點，AB12求ABF的面積.2461）y21；（2）.x2【答案】（45c3，求出，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（）1）根據(jù)橢圓的幾何意義可知2,2【分析】（baa2yyyy，，可以的到的值，再根據(jù)先算出直線的方程，聯(lián)立方程組求得lyy121212S12FFyy求得面積2.1213,∴c【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為y21ab0，由題意，2,x2c3,b1，aa2a2b2第12頁共18頁x2.橢圓的方程為y1243,0，設(shè)F3,0，右焦點F2Ax,y,Bx,y，（2）左焦點11122yx3.{x2y1則直線的方程為3由，消yxAB2423,1，x,523y10,∴yyy2yy1255121FFy11FFy12242.5SS∴yyyy24yy∴S22ABF2AF1F2BF1F21212121212FFyy123424655.21212【點晴】本題主要考查的是直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題，處理曲線與直線相交的問題時通常要把直線與曲線聯(lián)立，得到一個關(guān)于交點坐標(biāo)的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之積和兩根之和，再結(jié)合所求的結(jié)論尋找聯(lián)系.20．已知圓過點M(0,2)，N(3,1)，且圓心在直線x2y10CC上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線axy10與圓C交于不同的兩點，，B是否存在實數(shù)a，使得過點AP(2,0)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【答案】（x2)21）(3)(2y29；（）不存在；理由見解析．【分析】（1）待定系數(shù)法求圓的方程，設(shè)圓坐標(biāo)以及圓心，解方程即可得解；（2）首先假設(shè)存在設(shè)存在符合條件的實數(shù)a，根據(jù)垂徑定理可得圓心C(3,2)在直線C的方程為xyDxEyF0，根據(jù)題22意代入兩定點l上，所以求得a2，若axy10和圓相交可得a0與a12矛盾，故不存在.1【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為，xyDxEyF022第13頁共18頁D2E10D642EF0，解得E4，103DEF0F4Cxy6x4y40，22所以圓的方程為(x3)(y2)29．化為標(biāo)準(zhǔn)方程，2a（2）設(shè)存在符合條件的實數(shù)，由于直線l垂直平分弦AB，故圓心C(3,2)必在直線l上，k2l的斜率，所以直線PC112ka又，所以a．kABPCaxy10把直線，代入圓的方程，消去，yCa1x26a1x90．整理得2axy10由于直線交圓于，兩點，CABΔ36a1236a10，故21解得，與a矛盾，a02P2,0故不存在實數(shù)，使得過點的直線al垂直平分弦AB．ADBDBC1，ABCD2，PAPB，平面21．如圖，在四棱PABCD中，PBD平面ABCD.（1）求證：PDAB；6（2）已知二面角PACD的余弦值為線段上是否存在點，使得與平面.PCMBM6PAC所成的角為30°？證明你的結(jié)論1）證明見解析；（2）存在，證明見解析1）由平面PBD平面ABCD得出AD平面，進而得到，.【答案】（.【分析】（PBDADPD再通過△PAD≌△PBD得出BDPD，進一步得到平面，由PDABCD此證得第14頁共18頁PDAB.（2）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DB，DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由6PACD的余弦值為得到，設(shè)PMPC，其中，由BM0≤≤1二面角62M滿足題意.31）因為ADBDBC1，ABCD，2【詳解】（所以四邊形ABCD是平行四邊形，且ADBD.因為平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，AD平面，ADPD.ABCD所以AD平面，所以PBD因為PAPB，所以△PAD≌△PBD.所以PDBPDA90，即BDPD.又因為ADBDD，所以PD平面ABCD.因為AB平面ABCD，所以PDAB.（2）設(shè)PDtt0.以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DB，DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，，D(0,0,0)P(0,0,t).DA(1,0,0)，AC(2,1,0)，AP(1,0,t).所以mx,y,z設(shè)平面PAC的一個法向量為000mAC2xy0.xtz0mAC0mAP0由，得，即00mAP00第15頁共18頁z1y2txt，，即m(t,2t,1)取，得.000n(0,0,1)為平面ACD的一個法向量取.mn1則cosm,n|m||n|.5t216.6PACD因為二面角的余弦值為16，解得1，所以6(0,0,1)所以P.t5t21假設(shè)這樣的點存在，設(shè)PMM，其中.0≤≤1PC.由(1,1,1)，得PCPM(,,).則BMBPPM(,1,1)設(shè)與平面所成的角為，BMPAC|BMm|1.|BM||m|63242則sin∣cosBM,m|112因為，所以30，解得.26324232所以，存在這樣的點，即當(dāng)MPMBMPAC30時，與平面所成的角為.PC36睛：本題第（2）問關(guān)鍵點在于由二面角的余弦值為得PACD6【點睛】關(guān)鍵點點到P(0,0,1).xy4上任取一點，過點T作x軸的垂線段TA，為22．在垂足，點為的中BTAA22T點.(1)求動點的軌跡的方程；CB(2)設(shè)為直線y