時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第1頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§21.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第2頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

第3頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。第4頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：

(1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0依概率收斂：(2)第5頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計(jì)的需要▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：第6頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

表現(xiàn)在:兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)：例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中：情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題第7頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。

時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。第8頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性第9頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五時(shí)間序列分析中首先遇到的問題是關(guān)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題。

假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。

第10頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平穩(wěn)隨機(jī)過程

某一隨機(jī)過程的均值和方差都為與實(shí)踐無關(guān)的常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差值僅僅依賴于該兩期間的距離和滯后，而不依賴于計(jì)算的時(shí)間，這一隨機(jī)過程就為平穩(wěn)過程。簡(jiǎn)言之，若一個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，則不管在什么時(shí)間測(cè)量，它的均值、方差和（各種滯后的）自協(xié)方差都保持不變，即它們都不隨時(shí)間而變化。平穩(wěn)時(shí)間序列有回到其均值的趨勢(shì)，可以稱之為均值回復(fù)過程，圍繞均值波動(dòng)且有大致恒定的振幅。

第11頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第12頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第13頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五嚴(yán)平穩(wěn)的定義第14頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五非平穩(wěn)過程若某一過程不滿足上述平穩(wěn)過程定義中的某一條性質(zhì)，即均值、方差和協(xié)方差都隨時(shí)間而變化，或者其一會(huì)隨時(shí)間變化，都為非平穩(wěn)過程第15頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)游走過程就是非平穩(wěn)過程隨機(jī)游走過程分為：（1）不帶漂移的隨機(jī)游走（即不存在常數(shù)項(xiàng)或截距項(xiàng)）（2）帶漂移的隨機(jī)游走（出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)或截距項(xiàng)）第16頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第17頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第18頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第19頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第20頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第21頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五后面將會(huì)看到:如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例Xt=Xt-1+t

不難驗(yàn)證:1)||>1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的，這種非平穩(wěn)歸因于過程中存在某種趨勢(shì)；第22頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五只有當(dāng)-1<<1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。2)||=1時(shí)，稱為單位根過程，若一個(gè)變量序列中存在單位根，則這么變量就服從隨機(jī)游走或稱為非平穩(wěn)的注：?jiǎn)挝桓头瞧椒€(wěn)之間的關(guān)系如此之強(qiáng)，使得計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們通常不加以區(qū)分地使用這兩個(gè)詞，即使他們知道趨勢(shì)和單位根都是造成序列非平穩(wěn)的原因第23頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第24頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為

Xt=t

由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。⒈單整第25頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第26頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若一個(gè)時(shí)間序列的趨勢(shì)完全可以預(yù)測(cè)而且保持不變，我們稱為確定性趨勢(shì)若這個(gè)時(shí)間序列的趨勢(shì)不能預(yù)測(cè)，則稱之為隨機(jī)性趨勢(shì)。第27頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過程：

Xt=+Xt-1+t

（**）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastictrend）。

2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過程：

Xt=+t+t

（***）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（deterministictrend）。考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢(shì)。第28頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。

判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。該模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間變量t，即分離出了確定性趨勢(shì)的影響。因此，(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì);

(2)如果沒有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。第29頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

隨機(jī)性趨勢(shì)可通過差分的方法消除如：對(duì)式Xt=+Xt-1+t

可通過差分變換為Xt=+t

該時(shí)間序列稱為差分平穩(wěn)過程（differencestationaryprocess）；第30頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

確定性趨勢(shì)無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢(shì)項(xiàng)消除，如：對(duì)式

Xt=+t+t可通過除去t變換為

Xt-t

=+t該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過程（trendstationaryprocess）。最后需要說明的是，趨勢(shì)平穩(wěn)過程代表了一個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。

第31頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第32頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第33頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第34頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第35頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第36頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

謬誤回歸現(xiàn)象一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。

第37頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會(huì)是有效的。換言之，如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來。第38頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷第39頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過該序列的時(shí)間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第40頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第41頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五進(jìn)一步的判斷:

檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形定義隨機(jī)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。

實(shí)際上,對(duì)一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。第42頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第43頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五注意:

確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因?yàn)樗蓹z驗(yàn)對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)k的真值是否為0的假設(shè)。

Bartlett曾證明:如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成，則對(duì)所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。也可檢驗(yàn)對(duì)所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：第44頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長(zhǎng)度）。因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時(shí)為0的假設(shè)。

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。

第45頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第46頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動(dòng)且逐漸收斂于0。第47頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。

根據(jù)Bartlett的理論：k~N(0,1/19)

因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是

可以看出:k>0時(shí)，rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

因此，該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程。

第48頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

序列Random2是由一隨機(jī)游走過程

Xt=Xt-1+t

生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0項(xiàng)取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第49頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。

該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。第50頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平穩(wěn)過程自相關(guān)圖示：第51頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五非平穩(wěn)過程自相關(guān)圖示：第52頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第53頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

第54頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五拒絕：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國(guó)GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05第55頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例9.1.5

檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。原圖樣本自相關(guān)圖第56頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。

從滯后14期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。

就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的。不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整的。

第57頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)第58頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。

單位根檢驗(yàn)（unitroottest）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1、DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型

Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。第59頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五也就是說，我們對(duì)式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。第60頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

一般地:

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的;對(duì)應(yīng)于（**）式，則是>0或=0。

第61頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五因此，針對(duì)式Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0，Xt

非平穩(wěn)。

備擇假設(shè)H1：<0，Xt

平穩(wěn)上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏移），通常的t檢驗(yàn)無法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第62頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五因此，可通過OLS法估計(jì)

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第63頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第64頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

進(jìn)一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。

2、ADF檢驗(yàn)第65頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：

模型3中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。第66頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開始，然后模型2、模型1。何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時(shí)檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。表9.1.4給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。第67頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第68頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期五同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要