無限脈沖響應濾波器的設計

無限脈沖響應濾波器的設計第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五的，實際模擬濾波器在通帶和阻帶之間的幅度是漸變的。7.1.1模擬濾波器的描述方法模擬濾波器的頻率響應是根據(jù)非周期函數(shù)的傅里葉變換定義(3.84)得來的。實際模擬濾波器的頻率響應其中h(t)是實際模擬濾波器的單位脈沖響應，是因果的。脈沖響應h(t)的拉普拉斯變換的定義是(7.1)(7.4)第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五模擬濾波器的幅頻特性|H(jΩ)|也有用分貝的衰減函數(shù)A(Ω)來表示的，即如果|H(jΩ)|max=1，則衰減函數(shù)將變?yōu)榉l特性的平方|H(jΩ)|2叫做幅度平方響應，它也是一種描述模擬濾波器的有效方法。因為，利用系統(tǒng)頻譜H(jΩ)的共軛特點，即(7.7)(7.8)(7.9)第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五幅度平方響應有這種關(guān)系，這種關(guān)系是設計模擬濾波器的工具。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設計。7.1.2巴特沃斯濾波器的設計模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應是它的幅度隨頻率的增大而變小。例如H(jΩ)在階N=1和5的頻率響應曲線，

(7.10)(7.11)第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五為了得到用復頻率s表示的系統(tǒng)，讓我們將s=jΩ代入幅度平方響應，就可以得到圖7.2(7.12)第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五巴特沃斯幅度平方響應的分母有2N個根，確定這些根的依據(jù)是利用-1=ej(2πk-π)來求解方程(7.13)，就能得到這些根只要你選擇s左半平面的極點s1~N，用它們組成幅度平方函數(shù)中的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，即(7.13)(7.14)(7.18)第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五就可以獲得穩(wěn)定的模擬巴特沃斯濾波器。例題7.1船舶通信需要一個模擬低通濾波器，其通帶截止頻率fp=5kHz，通帶衰減Ap=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶衰減As=20dB。請設計一個能滿足這些技術(shù)指標的模擬低通巴特沃斯濾波器。解設計濾波器的關(guān)鍵在階N和3dB截止頻率Ωc。下面分四步來設計模擬濾波器。（1）確定濾波器的階根據(jù)衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數(shù)，得(7.20)第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五將技術(shù)指標代入衰減函數(shù)，可得階實際的階N是正整數(shù)，最好是大于理論值的最小整數(shù)。本題取N=3。（2）確定濾波器的截止頻率根據(jù)衰減函數(shù)，如果使用通帶指標來計算3dB截止頻率，則(7.23)(7.27)第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五（3）確定濾波器的極點根據(jù)極點公式(7.14)和階N=3，選擇位于s平面的左半平面的極點，得系統(tǒng)的極點（4）確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(7.18)，該系統(tǒng)函數(shù)(7.30)(7.31)第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五系數(shù)的近似取值會改變系統(tǒng)的頻率響應，所以，必須檢驗公式(7.31)的幅頻特性。它的幅頻特性|H(Ω)|如左圖所示，右圖是H(s)的系數(shù)四舍五入為整數(shù)后的幅頻特性，例如4.06×1013變?yōu)?×1013；兩者都能滿足技術(shù)指標。圖7.4第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.1.3切比雪夫濾波器的設計切比雪夫濾波器有兩種類型：切比雪夫1型的模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)是式中r是跟通帶的波動幅度有關(guān)的系數(shù)，CN(x)是N階圖7.5(7.32)第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五切比雪夫多項式。N階切比雪夫多項式的定義是或其中C0(x)=1和C1(x)=x。確定切比雪夫1型的階N和波動系數(shù)r，可從衰減函數(shù)入手，衰減函數(shù)是(7.33)(7.34)(7.35)第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五首先，將通帶指標{Ωp,Ap}帶入公式(7.35)，得到經(jīng)過化簡，得到波動系數(shù)然后，將指標Ωp、Ωs、As和r代入式(7.35)，得到(7.36)(7.37)(7.38)第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五化簡公式(7.38)，就能得到切比雪夫1型的階知道階N和波動系數(shù)r，就能設計切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)H(s)了。為了得到H(s)，讓我們將s=jΩ代入幅度平方函數(shù)(7.32)，(7.39)(7.40)第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五它的分母含N階多項式CN(x)的平方，是2N階的，應該有2N個根。確定這些根的依據(jù)是從多項式CN(x)中任選一個方程，都可以求解上面的方程。比如選擇CN(x)的第一個方程，這時令并將它代入公式(7.33)的第一個方程，得到(7.41)(7.42)(7.43)第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五其中雙曲正弦函數(shù)sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。將公式(7.43)代入方程(7.41)，得到一個二元N次復數(shù)方程對比復數(shù)方程(7.44)的實部和虛部，可以得到二元N次方程組利用雙曲余弦函數(shù)ch(x)≠0和sin(±π/2)=±1的特點，求出方程組(7.45)的解(7.44)(7.45)第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五將這些a和b代回公式(7.42)，并借鑒公式(7.43)，就能得到方程(7.41)的根，參考公式(7.40)的x=s/(jΩp)和公式(7.47)，得到切比雪夫1型的幅度平方函數(shù)的2N個極點，(7.46)(7.47)第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五其中k=1~N，每個k都包含“±”兩種情況。按照公式(7.16)~(7.17)的分析，組成穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的極點應該在復數(shù)s坐標平面的左半平面；符合穩(wěn)定要求的極點是其中k=1~N。這些極點的前后部分是共軛對稱的。(7.48)(7.50)第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五利用這些極點(7.50)，就可以獲得切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)你可能會問：這個表達式是怎么來的呢？(7.51)第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五這個表達式是這么來的，運用對比法就可以得到。讓我們重寫切比雪夫1型的幅度平方函數(shù)，它的分母包含一個N階切比雪夫多項式CN(s/jΩp)的平方。這說明其系統(tǒng)函數(shù)H(s)是N階的，H(s)的分母包含CN(s/jΩp)，它是變量(s/jΩp)的N階多項式。多項式CN(s/jΩp)的最高次冪(s/jΩp)N=sN/(jΩp)N的系數(shù)是2N-1，這可以利用切比雪夫多項式的定義(7.34)遞推得到。(7.52)第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五如果提取分母多項式的公因式r2N-1/(jΩp)N，然后再因式分解這個分母多項式，則切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)可以寫為切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)(7.51)就是這么來的。(7.53)第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.2檢測水流速度時，需要一個低通濾波器。濾波器要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶衰減Ap=1dB，阻帶截止頻率fs=6kHz，阻帶衰減As=40dB。請設計一個能滿足這些技術(shù)指標的模擬切比雪夫1型低通濾波器。解設計濾波器的關(guān)鍵是確定階N和波動系數(shù)r。下面分四步完成這個設計。①

確定波動系數(shù)r將通帶衰減Ap=1dB代入公式(7.37)，得到波動系數(shù)(7.54)第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五②確定階N將技術(shù)指標As、r、fs和fp代入公式(7.39)，得到階實際的階N應該取整數(shù)5。③

確定系統(tǒng)的極點將技術(shù)指標fp、N、r等代入公式(7.50)，得系統(tǒng)極點(7.55)(7.56)第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五它的k=1~5。利用前后極點的共軛對稱性簡化計算，這5個極點是④

寫出系統(tǒng)函數(shù)將極點(7.57)代入切比雪夫1型的系統(tǒng)函數(shù)(7.51)，得到系統(tǒng)函數(shù)(7.57)第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五若將公式的s換成jΩ=j2πf，即可計算幅頻特性|H(f)|(7.58)圖7.9第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.2間接設計數(shù)字濾波器間接設計數(shù)字濾波器的方法是借助模擬系統(tǒng)函數(shù)和數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)學關(guān)系，也就是s和z之間的對應關(guān)系，對模擬濾波器進行數(shù)學變換。變換方法有兩種。7.2.1脈沖響應不變法它的原理和模擬信號變成數(shù)字信號的原理是一樣的，將單位脈沖響應當作是模擬信號，這個問題就好理解了。為了從模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)獲得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)，現(xiàn)在將模擬系統(tǒng)函數(shù)寫成第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)拉普拉斯變換的定義(7.4)，這個Ha(s)的拉普拉斯逆變換按照公式(7.80)離散化這個模擬系統(tǒng)ha(t)，得到數(shù)字系統(tǒng)(7.83)(7.84)(7.85)第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五然后求這個離散系統(tǒng)h(n)的z變換，得到數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)它就是從Ha(s)獲得H(z)的脈沖響應不變法。觀察公式(7.86)，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的極點zi和模擬系統(tǒng)的極點si的對應關(guān)系：(7.86)(7.87)第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.5檢測地球物理信號時，需要濾掉被測信號中的高頻噪聲。假設有用信號的頻譜成分分布在頻率f=0~500Hz的范圍，請你設計一個4階的巴特沃斯數(shù)字濾波器，讓它完成這項任務。解

截止頻率通常是指半功率點截止頻率，也就是3dB截止頻率。這么理解的話，本題的設計可以分兩步完成。（1）設計模擬系統(tǒng)函數(shù)已知有用信號的截止角頻率Ωc=2π500弧度/秒，濾波器的階N=4，根據(jù)公式(7.18)計算模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點，第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五并寫出系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的部分分式表達式(7.99)(7.100)第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五這個模擬濾波器Ha(s)的幅頻特性為自變量是頻率f的幅度|Ha(f)|在f=500Hz的地方有-20log10(0.707)≈3(dB)的衰減。（2）設計數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)運用脈沖響應不變法的轉(zhuǎn)換公式(7.88)時，必須先選擇對模擬濾波器的采樣頻率fs。從上圖看，選擇采樣頻率fs=4000Hz，應該不會造成數(shù)字濾波器太多的混疊圖7.13第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五失真。對照模型(7.100)，將模擬極點sk和采樣周期T=1/fs代入公式(7.88)，就可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)這是兩個二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。其幅頻特性如圖，(7.102)圖7.14第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五它的最大值為1，這是變換公式(7.86)乘上T的效果。按照ω=ΩT的關(guān)系，自然頻率f=500Hz對應數(shù)字角頻率ω=0.25π，這點的數(shù)字頻譜有-20log10(0.707)≈3dB的衰減。還有，在橫坐標ω=π的地方，對應頻率f=fs/2=2000Hz，看不出來混疊失真。脈沖響應不變法的優(yōu)點是，數(shù)字系統(tǒng)的脈沖響應和模擬系統(tǒng)的脈沖響應是線性關(guān)系，數(shù)字角頻率和模擬角頻率也是線性關(guān)系；缺點是，對模擬濾波器的采樣頻率必須滿足采樣定理。第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.2.2

雙線性變換法雙線性變換法是利用s平面到z平面的映射關(guān)系，將模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)，也就是(7.104)(7.105)第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五獲得雙線性變換法的技巧是變量代換。令s的角頻率

為了獲得s與z的直接映射關(guān)系，讓我們用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化頻率映射公式(7.107)，然后令s=jΩ和z=ejω，并將它們代入上式，就可以得到(7.107)(7.108)(7.109)第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五雖然公式(7.109)是利用s=jΩ和z=ejω得到的，但是，對于s=σ+jΩ的情況，公式(7.109)仍然是s點對z點的映射。這個結(jié)論是這么來的，公式(7.109)的逆變換是為了方便觀察z和s的映射關(guān)系，將z=rejω和s=σ+jΩ代入公式(7.110)，得到上式的ω、r與Ω呈一對一的關(guān)系。這個特點可以防止混疊失真。(7.110)(7.111)第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五順便說一下，任何模擬信號，它的無窮大頻率成分是不可能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號的，映射公式的復變量s只是個虛構(gòu)的數(shù)學變量。應用雙線性變換法來設計數(shù)字濾波器，其步驟大體上分三步：第一，將數(shù)字濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率代入角頻率映射公式，算出虛構(gòu)的模擬通帶截止頻率和阻帶截止頻率；第二，根據(jù)模擬濾波器的指標設計模擬濾波器；第三，對虛構(gòu)的模擬系統(tǒng)函數(shù)應用雙線性變換函數(shù)，獲取數(shù)字濾波器。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.6有一種模擬信號的有用成分分布在頻率f=1kHz以下。如果信號的采樣頻率fs=8kHz，要求幅度失真小于3dB，請你利用頻率映射公式(7.107)和雙線性變換公式(7.109)，設計一個1階的巴特沃斯數(shù)字濾波器，讓它完成選擇低頻信號的濾波任務。解首先從題目的信號指標獲取數(shù)字低通濾波器的3dB截止頻率ωc=2π1000/8000=0.25π，然后開始設計數(shù)字濾波器。（1）計算模型濾波器的邊界頻率(7.115)第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五（2）設計模型濾波器根據(jù)巴特沃斯濾波器的極點公式(7.14)，計算模擬系統(tǒng)Ha(s)的1階極點再根據(jù)模擬系統(tǒng)函數(shù)公式(7.18)，寫出1階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（3）設計數(shù)字濾波器對模型的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)應用雙線性變換公式(7.109)，獲取數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(7.116)(7.117)第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五左圖是令c=1的模擬濾波器的幅頻特性，當Ω→∞時，|Ha(Ω)|→0；右圖是數(shù)字濾波器的幅頻特性，當ω→π時，|H(ω)|→0，無折疊失真。(7.118)圖7.17第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.3

直接設計數(shù)字濾波器它的做法是：在數(shù)字域里設計數(shù)字濾波器H(z)，設計的依據(jù)可以是系統(tǒng)的零極點，也可以是系統(tǒng)的頻譜誤差，還可以是單位脈沖響應的誤差。7.3.1零極點設計法通過設置系統(tǒng)函數(shù)的零極點位置，達到設計數(shù)字濾波器的目的。不過，設置的零極點必須經(jīng)過檢驗，確定它們是否達到技術(shù)指標。第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.7請根據(jù)零極點的特點設計一個數(shù)字濾波器，用它來完成對模擬信號的選頻。要求這個數(shù)字濾波器能完成以下的模擬信號處理指標：（1）完全濾除模擬信號的直流成分和250Hz成分，（2）有用信號的中心頻率是20Hz，（3）濾波器的3dB帶寬是10Hz。解計算出幾個關(guān)鍵的模擬信號頻率及其對應的數(shù)字角頻率，表7.2第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五為了實現(xiàn)本題的指標（1），我們在z單位圓的ω=0和π的地方各設置一個零點，為了實現(xiàn)本題的指標（2），在z單位圓的ω=0.08π的地方設置一個極點。零極點必須是共軛對稱的。極點的半徑r需要經(jīng)過計算和分析才能確定。將這些零極點代入因式的系統(tǒng)函數(shù)(7.122)(7.123)(7.120)第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)過嘗試，得到r=0.94，其歸一化幅頻特性為這樣設置零極點的系統(tǒng)函數(shù)是圖7.18(7.124)第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.3.2

最小誤差設計法這里的設計誤差是，希望的濾波器性能和設計的濾波器性能之間的差別。最小誤差法可在時域中進行，也可在頻域中進行設計。（1）時域的最小誤差法設計一個可以實現(xiàn)的因果濾波器h(n)，并盡量使h(n)的性能逼近理想濾波器hd(n)的性能。這個“盡量”就是工程上常說的“誤差最小”。但是，誤差最小的標準是不同的，比如誤差平均值最小、誤差最大值最小等。

第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五①誤差的標準是h(n)-hd(n)=0這種設計方法叫做帕德算法，它要求在時序范圍[0,I+J]里，設計的因果系統(tǒng)h(n)等于希望的系統(tǒng)hd(n)。帕德逼近法的設計原理是這樣的。假設等待設計的系統(tǒng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)是將這個公式右邊的分母移到左邊，得到(7.130)(7.131)第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)z變換的定義(4.31)和延時性質(zhì)（表4.4），上面公式的反z變換是帕德方法令n=0~I+J時的h(n)=hd(n)，并將它們代入上式，整理后得到這就是帕德算法，它在時序n=0~I+J的范圍內(nèi)成立，總共有I+J+1個線性方程，可以求解得到系統(tǒng)函數(shù)(7.130)或差分方程(7.132)的系數(shù)bi和aj。(7.132)(7.133)第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五帕德逼近法能夠在時序n=0~I+J的范圍內(nèi)做到h(n)=hd(n)，但是，它不能保證時序n>I+J的h(n)逼近我們希望的hd(n)。例題7.9假設磁懸浮列車掠過橋墩的地基震動脈沖響應hd(n)={5,2,1,0.5}。請你用帕德逼近法設計兩種無限脈沖響應系統(tǒng)函數(shù)H(z)：一種是二階全極點的，另一種是單零點和單極點的。要求設計的系統(tǒng)h(n)在n=0~2時等于地基震動脈沖響應hd(n)。解（1）二階全極點的系統(tǒng)函數(shù)觀察系統(tǒng)函數(shù)(7.130)，對于二階全極點的系統(tǒng)函數(shù)來說，待定系數(shù)是b0、a1和a2，它們的帕德逼近方程是第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五將測量值hd(n)代入公式(7.134)，解方程組得到它們對應二階全極點的系統(tǒng)函數(shù)是（2）單零點和單極點的系統(tǒng)函數(shù)觀察公式(7.130)，對于單零點和單極點的系統(tǒng)函數(shù)來(7.134)(7.135)(7.136)第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五說，待定系數(shù)是b0、b1和a1，它們的帕德逼近方程是將測量值hd(n)代入公式(7.137)，解方程組得到它們的系統(tǒng)函數(shù)是經(jīng)過驗算，h1(n)和h2(n)在n=0~2范圍都等于hd(n)；在n=0~2以外，h1(3)=0.48，h2(3)=0.5。(7.137)(7.138)(7.139)第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五7.4

低通濾波器的變換實際應用中，不僅需要低通濾波器，而且還需要高通、帶通、帶阻等濾波器。能不能利用前面介紹的低通濾波器的設計方法，設計其它的選頻濾波器呢？假若有類似頻率變換公式(7.106)的方法，我們就能在低通濾波器的基礎上設計其它選頻濾波器。7.4.1模擬頻率域的頻率變換在模擬頻率域中，模擬低通濾波器和其它模擬選頻濾波器的頻率變換關(guān)系如表7.3所示，其箭頭符號表示頻率映射。第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五使用表7.3的映射公式的方法是：將模型低通濾波器中的復頻率s用箭頭右邊的表達式替換，就可得到我們所需要的選頻濾波器。表7.3第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.11有一個3dB截止角頻率Ωc=1的一階巴特沃斯模擬低通濾波器H(s)。請以H(s)為模型，設計另一個3dB截止頻率fc=100Hz的一階模擬低通濾波器。解

已知模型的邊界頻率Ωmodel=1rad/s，新型濾波器的邊界頻率Ωnew=2π100rad/s。根據(jù)模擬巴特沃斯濾波器的極點公式(7.18)，作為模型的一階巴特沃斯濾波器的極點是(7.152)第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五它對應的一階系統(tǒng)函數(shù)是是最簡單的低通濾波器。圖7.24的左圖是Hmodel(s)的幅頻特性，它的幅值在3dB截止角頻率Ωc=1rad/s的地方符合題目要求。(7.153)圖7.24第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)在，利用表7.3的低通濾波器映射關(guān)系，將歸一化濾波器(7.153)的復頻率s替換為箭頭右邊的表達式，就可以得到新型濾波器它就是我們需要的fc=100Hz的低通濾波器。圖7.24的右圖是Hnew(s)的幅頻特性，它的幅值在3dB截止頻率fc=100Hz的地方滿足本題要求。(7.154)第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期五例題7.13鳥類研究者需要一種模擬帶通濾波器，它的通帶截止頻率是5kHz和8kHz，通帶最大衰減是2dB，阻帶截止頻率是3kHz和12kHz，阻帶最小衰減是20dB。請設計一個切比雪夫1型的模擬帶通濾波器。解參考表7.3的低通濾波器映射到帶通濾波器的復頻率映射公式，該公式的邊界頻率并沒有區(qū)別通帶頻率和阻帶頻率，現(xiàn)在選擇通帶頻率作為上式的邊界頻率，則ΩL=ΩpL和ΩH=ΩpH。令Ωmodel=Ωmodel,p=1，這樣一來，上式的復頻率轉(zhuǎn)換公式就變?yōu)?/p>

(7.160)第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星