大學(xué)物理答案第9～12

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學(xué)物理答案第9～12第九章恒定電流

9－1長度l=1.0m的圓柱形電容器，內(nèi)外兩極板的半徑分別R1=5.0×10-2m，R2=1.0×10-1m，，其間充有電阻率?＝1.0×109?.m的非理想電介質(zhì)，設(shè)二極板間所加電壓1000V，求（1）該介質(zhì)的漏電電阻值；（2）介質(zhì)內(nèi)各點的漏電流電流密度及場強。

解：（1）柱面間任一薄層的漏電電阻為：dR??dr2?rl整個圓柱形電容器介質(zhì)的漏電電阻值為：R?dR????R2R1Rdr??ln22?rl2?lR11.0?1091.0?10?18ln?1.10?10?代入數(shù)據(jù)得R??22?3.14?15.0?10（2）I?V1000??9.1?10?6A8R1.10?10I9.1?10?69.1?10?61.44?10?6j???A/m2＝

S2?rl2?3.14?1?rr1.44?10?61.44?103?V/m（3）E??j?1.0?10?rr99－2在半徑分別為R1和R2（R1第十章穩(wěn)恒磁場

10－1兩根無限長直導(dǎo)線相互垂直地放置在兩正交平面內(nèi)，分別通有電流I1=2A，I2=3A，如下圖。求點M1和M2處的磁感應(yīng)強度。圖中AM1＝AM2=lcm，AB=2cm.。

解：無限長電流的磁感應(yīng)強度為B??0I，兩無限長2?d電流在點M1和M2處的磁感應(yīng)強度相互垂直，合磁感應(yīng)強度為

BM1BM22?0II2?5?522?104?1＝4.47?10T?(I?)1?232??103?0I22?5?5?(I?I)2?104?9＝7.21?10T12?22??10習(xí)題10－1圖

10－2一無限長的載流導(dǎo)線中部被彎成圓弧形，圓弧半徑R=3cm，導(dǎo)線中的電流I=2A，如下圖，求圓弧中心O點的磁感應(yīng)強度。

解：兩半無限長電流在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度方向一致，疊加為

BO1?2??0I方向?4?R3/4圓電流在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

BO2?3?0I?方向?42RROIO點的合磁感應(yīng)強度為

?0I31(-)2R4?-74??10?2??0.43?1.8?10-5T方向??22?3?10BO?BO1?BO2?習(xí)題10－2圖

10－3圖中三棱柱面高h＝1.0m，底面各邊長分別為ab=0.6m，bc=0.4m，ac=0.3m，沿ad邊有直長導(dǎo)線，導(dǎo)線申通有電流I=4A。求通過cbef面的磁通量。

解：通過cbef面的磁通量應(yīng)與通過gbje面的磁通量相當(dāng)ag=ac=0.3m，有g(shù)b0ax0.6?Ic0?＝B?dS?hdx

0.32?xI?S??

?0Ih0.64??10?1ln?ln2?5.54?10-7Wb2?0.32?-7dfje習(xí)題10－3圖

6

10－4兩根平行直長導(dǎo)線載有電流I1=I2=20A。試求（1）兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距的一點A處的磁感應(yīng)強度；（2）通過圖中矩形面積的磁通量。圖中r1=r3=10cm，r2=20cm，l=25cm。

解：（1）兩半無限長電流在中點A點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度方向一致，疊加為

?0I4??10-7?20-5BA?2???4?10T方向??2?22??20?10??20?10?I11)ldx（2）?＝?B?dS??0(?102?x40?xS30I2r1I1

0

dSlr2x習(xí)題10－4圖r3?0Il4??10-7?20?25?10?2x??2?ln3?ln2?2?40-x10?2.2?10-6Wb

3010－5兩個半徑為R的線圈共軸放置，相距為l，通有一致大小、方向的電流I，如圖

所示，o點是兩環(huán)心o1、o2的中點，求在兩環(huán)心o1、o2連線上離o點距離為x的P點的磁感應(yīng)強度。

解：已知圓電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

?0IR2，兩圓電流在P點產(chǎn)生的B?2(z2?R2)32磁感應(yīng)強度方向一致，所以在P點的磁感應(yīng)強度為

IRo1IoxPRo2z

BP??0IR2l2[(?x)2?R2]322??0IR2l2[(?x)2?R2]322

習(xí)題10－5圖

磁感應(yīng)強度的方向沿z軸負方向。

10－6一根導(dǎo)線作成正n邊形，其外接圓半徑為R，導(dǎo)線中通有電流I。求證：（1）在外接圓中心處的磁感應(yīng)強度大小為B??0nI?tg；（2）當(dāng)n??時，B的值化簡為圓電流的2?Rn結(jié)果。

證：（1）如圖取任一邊分析，這一邊就是有限長的電流，有限長的電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

B??0I(cos?1?cos?2)4?d?/2+?/nR?/noI?/2-?/n與圖中各量對應(yīng)，上式為

B?????[cos(??cos(?)]?2n)2n4?Rcosn?0I習(xí)題10－6圖

7

??0nI?tg，得證。2?Rn?0nI??0I?tg?limntg

n??2?Rn2?Rn??n（2）當(dāng)n??時，B?lim??In???0I這值正是圓電流的結(jié)果。?0lim2R2?Rn???nsin10－7如下圖，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引到銅圓環(huán)上A、B兩點，并在很遠處與電源相連。已知圓環(huán)的粗細均勻，求圓環(huán)中心處的磁感應(yīng)強度。解：O處在兩直線電流的延長線上，故兩直電流在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為0。

I1與I2為并聯(lián)電流，其在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度分別為

I1

?0I1B1?l1方向?

I2l1

4??IB1?02l2方向?

4?l2

習(xí)題10－7圖

由于并聯(lián)電流電壓一致有：I1l1?I2l2，所以Bo=0

10－8一均勻帶電的半圓形弧線，半徑為R，所帶電量為Q，以勻角速度?繞軸OO/轉(zhuǎn)動，如下圖，求O點處的磁感應(yīng)強度。

解：此題可利用運動電荷產(chǎn)生的磁場計算，

?也可利用圓電流產(chǎn)生的磁場計算。以下根據(jù)圓

電流在軸線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度來計算的。rdq如圖電荷dq旋轉(zhuǎn)在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

??R?0?Rd?(Rsin?)22O?0dIr2?dB??332R2R習(xí)題10－8圖

B??0???2?0????0??sin?d????04?4?28?0?Q方向沿軸線向上。

8?R?10－9一矩形截面的空心環(huán)形螺線管，尺寸如圖所示，其上均勻繞有N匝線圈，線圈中通有電流I，試求（1）環(huán)內(nèi)離軸線為r遠處的磁感應(yīng)強度；（2）通過螺線管截面的磁通量。解：（1）根據(jù)安培環(huán)路定理

?B?dl??NI

0L習(xí)題10－9圖

8

B2?r??0NI?B?（2）?＝B?dS?S?0NIdd(2?r?1)2?r22??d122d2?0NI?NIhd1hdr0ln2?r2?d210－10一對同軸的無限長空心導(dǎo)體直圓筒，內(nèi)、外筒半徑分別為R1和R2（筒壁厚度可

以忽略），電流I沿內(nèi)筒流出去，沿外筒流回，如下圖。（1）計算兩圓筒間的磁感應(yīng)強度。（2）求通過長度為l的一段截面（圖中畫斜線部分）的磁通量。解：（1）由安培環(huán)路定理可分析僅在兩筒間有磁場，為

?B?dl??I

0LB2?r??0I?B??0I(R1?r?R2)2?r

習(xí)題10－10圖

?＝?B?dS??SR2R1?IlR?0Ildr0ln2

2?R12?r10－11磁感應(yīng)強度B=5×10-4T的均勻磁場垂直于電場強度E＝10V/m的均勻電場，一

束電子以速度v進入該電磁場，v垂直于B和E。求（1）當(dāng)兩種場同時作用時，要使電子束不偏轉(zhuǎn)，電子的速度v；（2）只有磁場存在時電子的軌道半徑R。

解：（1）當(dāng)兩種場同時作用時，要使電子束不偏轉(zhuǎn)，電子所受的電場力與磁場力一致

即eE?evB?v?E104??2.0?10m/s?4B5?10v2mv9.1?10?31?2?104?4?R???2.28?10m（2）evB?m?19?4ReB1.6?10?5?1010－12一根導(dǎo)體棒質(zhì)量m=0.20kg，橫放在相距0.30m的兩根水平導(dǎo)線上，并載有50A

的電流，方向如下圖，棒與導(dǎo)線之間的靜摩擦系數(shù)是0.60，若要使此棒沿導(dǎo)線滑動，至少要加多大的磁場？磁場方向應(yīng)如何？解：（1）要此棒沿導(dǎo)線滑動，磁場對它的作用力至少與摩擦力相等，即IBl??mg

v

BB??mg0.6?0.2?9.8??7.84?10?2TIl50?0.3磁感應(yīng)強度的方向如下圖，向下。習(xí)題10－12圖

10－13質(zhì)譜儀的構(gòu)造原理如下圖，離子源S產(chǎn)生質(zhì)量為M、電荷為q的離子，離子產(chǎn)生出來時速度很小，可以看作是靜止的；離子飛出S后經(jīng)過電壓V加速，進入磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場，沿著半個圓周運動，達到記錄底片上的P點，可測得P點的位置到入口處的距離為x，試證明這離子的質(zhì)量為

qB22M?x

8V9

證：依題意有qV?1Mv2（1）2粒子所受的洛侖茲力是粒子作圓周運動的向心力有

v2（2）qvB?Mx2聯(lián)立（1）（2）式消去v，就可得到

習(xí)題10－13圖

M?qB2x8V210－14在磁感應(yīng)強度為B的水平均勻磁場中，一段長為l、質(zhì)量為m的載流直導(dǎo)線沿豎直方向自由滑落，其所載電流為I，滑動中導(dǎo)線恒與磁場正交，如下圖。設(shè)t=0時導(dǎo)線處于靜止?fàn)顟B(tài)，求任意時刻導(dǎo)線下落的速度。

解：依題意有

mg?IlB?m分開變量積分為

vtdvdtIlB)dtm習(xí)題10－14圖

?0dv??(g?0解得任意時刻導(dǎo)線下落的速度為

IlBv?(g?)t

m

10－15一半徑為R的無限長半圓柱面形導(dǎo)體，與軸線上的長直導(dǎo)線載有等值反向的電流I，如下圖。試求軸線上長直導(dǎo)線單位長度所受的磁力。

解：此電流結(jié)構(gòu)俯視如圖，圓柱面上的電流與軸線電流反向，反向電流電流相斥，如圖，對稱分析可知，合力沿x軸正向，有

?0II?0I2dF?BldI?Rd??d?

2?R?R2?2RF??dFsin???0I?sin?d?2?02?R2?dFxdF?0I2?2?R習(xí)題10－15圖

10－16半徑為R的圓形線圈載有電流I2，無限長載有電流I1的直導(dǎo)線沿線圈直徑方向放置，求圓形線圈所受到的磁力。

I1解：此電流結(jié)構(gòu)如圖，對稱分析可知，合力

dFB?B?沿x軸負向，有

?I?0I1I2?IIdF?I2dl01?Rd??012d?

2?r2?Rcos?2?cos?dFro?I2x習(xí)題10－16圖

10

F??dFcos????2?0?0I1I2?IIcos?d??0122?cos?2??2?0d???0I1I2

10－17一圓形線圈，其直徑為0.08m，共有12匝，載有電流5A，線圈放在一磁感應(yīng)強

度為0.60T的均勻磁場中。（1）求線圈所受的最大磁力矩；（2）假使磁力矩等于最大磁力矩的一半，線圈處于什么位置？

解：M?m?B（1）Maxm=mB?INSB?IN?rB?5?12?3.14?(4?10?2)2?0.6?0.18N?m（2）M=mBsin??2Maxm1??sin?????3002210－18有一磁電式電流計，它的矩形線圈長11mm，寬10mm，由1500匝表面絕緣的

細導(dǎo)線繞成，如下圖。當(dāng)線圈偏轉(zhuǎn)?角時，線圈游絲產(chǎn)生的鈕力矩M=C?，扭轉(zhuǎn)系數(shù)C＝22×10-8N·m/（0），若電表指針的最大偏轉(zhuǎn)角為900，相應(yīng)的滿度電流為50?A，求線圈所在處的磁感應(yīng)強度。

解：由于Maxm?INSBsin900

依題意有Maxm?INSBsin900?C??C900

C90022?10?8??0.24T即B??6?6INS50?10?1500?11?10?10習(xí)題10－18圖

10－19一半徑為R的薄圓盤，放在磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中，B的方向與盤面平

行，如下圖，圓盤表面的電荷面密度為?，若圓盤以角速度?繞其軸線轉(zhuǎn)動，試求作用在圓盤上的磁力矩。

解：圓盤上任一薄層電荷運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電流為dI，其對應(yīng)的磁矩為

dm?dI?r2??2?rdr整個圓盤的磁矩為

?2?r???rdr2?Rdm

m??dm????0???R4rdr?

4dI習(xí)題10－19圖

作用在圓盤上的磁力矩為M?m?B

???R4B,方向垂直紙面向里。M?mBsin90?mB?4010－20長為l=1.0m的導(dǎo)線作成一閉合回路，通有電流I=2A，放入磁感應(yīng)強度B=0.1T的均勻磁場中，回路平面與磁場B的方向成450角，求載流回路所受的磁力矩。（1）若回路為正方形；（2）若回路為圓形。解：（1）回路為正方形有4l?1?l?0.25m

M?ISBsin450?2?0.252?0.1?2?8.84?10?3N?m211

（2）回路為圓形有2?r?1?r?21m2?2?1?M?ISBsin450?2??????0.1??1.13?10?2N?m

2???10－21如下圖，半徑為R的木球上繞有密集的細導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單

層線圈覆蓋住半個球面，設(shè)線圈的總匝效為N，通過線圈的電流為I。求球心處O的磁感應(yīng)強度。

解：依題意，球上沿圓周單位長度的線圈匝數(shù)為

N1?R2

球上任一薄層電流為：dI?IdN?IRd?N1?R2?2INd??2RB?I一薄層圓電流在球心處O的磁感應(yīng)強度為

習(xí)題10－21圖

dB??0IN2?0IN?0dIr2?Rsin?d??sin2?d?33?R?R2R2?0IN??0IN?0IN?2sin2?d???整個半球電流在球心處O的磁感應(yīng)強度B??0?R44R?R方向如圖向右。

10－22如下圖，在磁感強度為B的均勻磁場中，有一半徑為R的半球面，B與半球面的軸線夾角為?，求通過該半球面的磁通量。解：據(jù)高斯定理

?B?dSS?S半球?B?dS??B?dS＝0

S圓平面en

習(xí)題10－22圖

S半球＝??B?dSS圓平面2B?dS＝－Bππcos??

10－23已知l0mm2裸銅線允許通過50A電流而不致導(dǎo)線過熱，電流在導(dǎo)線橫截面上

均勻分布。求（1）導(dǎo)線內(nèi)、外磁感強度的分布；（2）導(dǎo)線表面的磁感強度。解：（1）由安培環(huán)路定理

?B?dl??I

0L0rB2π2??0（2）同理有

?0IrI2?r?B?(0?r?R)22?R2?R習(xí)題10－23圖B2π2??0I?B??0I(r?R)2?r12

?0I4??10?7?50r＝R時,B???5.6?10?3T

2?R10?10?42??3.1410－24有一同軸電纜，其尺寸如下圖。兩導(dǎo)體中的電流均為I，但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可不考慮。試計算以下各處的磁感強度：（1）rR3；面出B－r曲線。

解：由安培環(huán)路定理

?B?dl??I

0L（1）B2πr??0?0IrI2?r?B?(r?R1)?R22?R12?0I(R1?r?R2)2?r

習(xí)題10－24圖

（2）B2πr??0I?B?2I?(r2?R2)（3）B2πr??0[I?]22?(R3?R2)B?0IR32?r2(R2?r?R3)?B?22?rR32?R2（4）B2πr?0?B?0(r?R3)

0R1R2R3習(xí)題10－25圖

r

10－25如下圖，一半徑為R的無限長載流直導(dǎo)體圓柱，其中電流I沿軸向流過，并均勻分布在橫截面上，現(xiàn)在導(dǎo)體上有一半徑為R/的圓柱型空腔，其軸與直導(dǎo)體的軸平行，兩軸相距為d，試用安培環(huán)路定理求空腔中心的磁感應(yīng)強度。你能證明空腔中的磁場是均勻磁場嗎？

解：利用補缺法，其電流密度的大小為j?I，對空腔內(nèi)任意點，設(shè)大圓柱22??(R?R)電流產(chǎn)生的磁場為B1，小圓柱電流產(chǎn)生的磁場為B2，由安培環(huán)路定理

?B?dl??I，有

0LB12?r1??0j?r12?B1??0j1r1，寫成矢量形式為2B1??0?j1?r1，同理有B2?0j2?r2。由于j1=-j2=j，22?0?j?(r1?r2)?0j?r00?22習(xí)題10－25圖

所以B?B1?B2?上式說明空腔內(nèi)任意點的磁場是勻強的，磁感應(yīng)強度的大小為B??0Id22?2?(R?R)13

10－26在一個顯像管的電子束中，電子有1.2×104eV的能量。這個顯像管安放的位置使電子水平地由南向北運動，地球磁場的垂直分量B?=5.0×10-5T，并且方向向下。試求（1）電子束偏轉(zhuǎn)方向；（2）電子束在顯像管內(nèi)通過20cm到達屏面時光點的偏轉(zhuǎn)間距。

解：依題意有eV?12mv?v?22eV，如圖電子的旋繞半徑為mR?mv12Vm?eBBeh

?BR?

R

習(xí)題10－26圖

1?5.5?10?52?1.2?104?9.1?10?31?6.71m?191.6?10d

d?R?R2?h2?6.71?6.712?0.22?2.98?10?3m

10－27通有電流I=50A的無限長直導(dǎo)線，放在如下圖弧形線圈的oz軸上，線圈中的電流I=20A，線圈高h=7R/3，求作用在線圈上的力。

解：依題意線圈可分為兩半圓弧和兩長為7R/3的直電流，由安培力公式分析可知，兩半圓弧電流不受磁場力，只要探討兩長為7R/3的直電流受的磁場力即可。軸線上的長直電流在兩長為7R/3的直電流處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

B??0I12?R可判斷出兩長為7R/3的直電流所受的磁場力方向一致，所以作用在線圈上的力為

F?2?I2?7R?0I1?32?R

習(xí)題10－27圖

74??10?7?20?2?50???9.33?10?4N

32?力的方向沿x軸負向

10－28利用霍爾元件可以測量磁場的磁感應(yīng)強度，設(shè)一霍爾元件用金屬材料制成，其厚度為0.l5mm，載流子數(shù)密度為l024/m3，將霍爾元件放入待測磁場中，測得霍爾電壓為42?V，測得電流為l0mA。求此時待測磁場的磁感應(yīng)強度。

解：依題意有

nedV1024?1.6?10?19?0.15?10?3?42?10?4B???0.1T

I10?10?3

10－29載流子濃度是半導(dǎo)體材料的重要參數(shù)，工藝上通過控制三價或五價摻雜原子的濃

度，來控制P型或n型半導(dǎo)體的載流子濃度。利用霍爾效應(yīng)可以測量載流子的濃度和類型。如下圖一塊半導(dǎo)體材料樣品，均勻磁場垂直于樣品表面，樣品中通過的電流為I，現(xiàn)測得霍爾電壓為UH。證明樣品載流子濃度為：

14

n?IB

edUH證：設(shè)穩(wěn)定后橫向電場為E，此時載流子受力平衡，即

qE?qvB?E?vB

霍爾電壓為UH?Eb?vBb（1）導(dǎo)體的截面積S=bd，流經(jīng)此截面的電流為

I?jbd?nevbd?v?UH?I代入（1）式得nebd

習(xí)題10－29圖

IBIB，所以可得n?。證明完畢nededUH10－30變電站將電壓500kV的直流電，通過兩條截面不計的平行輸電線輸向遠方。巳知

兩輸電導(dǎo)線間單位長度的電容為3×10-11F/m，若導(dǎo)線間的靜電力與安培力正好抵消。求（1）通過輸電線的電流；（2）輸送的功率。

解：如圖，由安培力公式分析可知兩反向的直電流間存在相互排斥的安培力。反向電流的導(dǎo)體可當(dāng)作帶等量異號的電荷的導(dǎo)體，它們之間存在相互吸引的靜電力，依題意有F靜＝F安。

（1）兩單位長度的兩導(dǎo)線間的靜電力和安培力分別為

?2C2V2F靜??2??0d2??0dF安?IB??0I2?d2IdI

C2V2?0I2由可得＝2??0d2?dI?CV?0?0?CVc?3?10?11?500?103?3?108?4.5?103A

習(xí)題10－30圖

（2）輸出功率為

P?IV?4.5?103?500?103?2.25?109W

15

第十一章磁場中的磁介質(zhì)

11－1一螺繞環(huán)的平均半徑為R=0.08m，其上繞有N=240匝線圈，電流強度為I=0.30A時管內(nèi)充滿的鐵磁質(zhì)的相對磁導(dǎo)率?r＝5000，問管內(nèi)的磁場強度和磁感應(yīng)強度各為多少？

解：（1）由H?dl?I得H2?R?NI?H?L?NI代入數(shù)值為2?RH?240?0.3?1.43?102A/m

2?3.14?0.08（2）B??0?rH?4??10?7?5000?1.43?102?0.9T

11－2在圖11－8所示的試驗中，環(huán)型螺繞環(huán)共包含500匝線圈，平均周長為50cm，當(dāng)線圈中的電流強度為2.0A時，用沖擊電流計測得介質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)強度為2.0T，求這時（1）待測材料的相對磁導(dǎo)率?r；（2）磁化電流線密度js。

解：（1）H?N500?2I代入數(shù)值H??2000A/m?22?R50?10?r?B2??796?0H4??10?7?2000500?2?1.56?106A/m?250?10（2）js?(?r?1)nI?(796?1)?11－3如下圖，一根長圓柱型同軸電纜，內(nèi)、外導(dǎo)體間充滿磁介質(zhì)，磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為?r（?rR3時：H=0,B=0,M=0（2）Is?(?r?1)I

11－4一個截面為正方形的環(huán)形鐵心，其中磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為?r，若在此環(huán)形鐵心上繞有N匝線圈，線圈中的電流為I，設(shè)環(huán)的平均半徑為r，求此鐵心的磁化強度。

解：由H?dl?I得H2?r?NI?H?L?NI2?rM?(?r?1)H?(?r?1)NI2?r11－5設(shè)長為L=5.0m，截面積S=1.0cm2的鐵棒中所有鐵原子的磁偶極矩都沿軸向整齊

－

排列，且每個鐵原子的磁偶極矩m0=1.8×1023A·m2，求（1）鐵棒的磁偶極矩；（2）假使要使鐵棒與磁感應(yīng)強度B0=1.5T的外磁場正交，需用多大的力矩？設(shè)鐵的密度?＝7.8·g/m3,鐵的摩爾質(zhì)量M0=55.85g/mol。

解：（1）棒的質(zhì)量為?V??LS，棒內(nèi)的鐵原子數(shù)N為：

?LS7.8?5?10?4N?NA??6.02?1023?4.2?1019

M055.85鐵棒的磁偶極矩為

m?Nm0?4.2?1019?1.8?10?23?7.57?10?2A?m2

（2）需用的力矩為M?B0m?1.5?4.2?10?0.114N?m

17

1911－6將一直徑為10cm的薄鐵圓盤放在B0=0.4×104T的均勻磁場中（如圖），使磁力線垂直于盤面，已知盤中心的磁感應(yīng)強度為BC=0.1T，假設(shè)盤被均勻磁化，磁化電流可視為沿圓盤邊緣滾動的一圓電流，求（1）磁化電流大??；（2）盤的軸線上距盤心0.4m處的磁感應(yīng)強度。

解：（1）設(shè)圓盤邊緣滾動的磁化圓電流為Is，對盤中心而言，依題意有

－

B0IsC?B0?Bs?B0??2R可得磁化電流大小為?(BC?B0)2R(0.1?0.4?10?4)?2?5?10?2I3s???7?7.96?10A04??10（2）圓盤邊緣滾動的磁化圓電流為Is在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

B?0IsR2s?2(R222?Z)32將R=5cm、Z=0.4m及上面Is的值代入上式得

4??10?7?7.96?103?25?10?4B?4s?2(0.052?0.42)32?1.91?10TB0.4m?B?4S?B0?(1.91?0.4)?10?4?2.31?10T

習(xí)題11－6圖

18

第十二章電磁感應(yīng)

12－1在通有電流I=5A的長直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線ab，長l=20cm，離長直導(dǎo)線距離d=10cm（如圖）。當(dāng)它沿平行于長直導(dǎo)線的方向以v=10m/s速率平移時，導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢多大？a、b哪端的電勢高？

解：根據(jù)動生電動勢的公式E=(v?B)?dl

L30?Ivao

dl習(xí)題12－1圖E??10?0Ivdx?0Iv?ln3

2?x2??7bx

4??10?5?10?ln3?1.1?10?5V

2?方向沿x軸負向，a電勢高。12－2平均半徑為12cm的4×103匝線圈，在強度為0.5G的地磁場中每秒鐘旋轉(zhuǎn)30周，線圈中可產(chǎn)生最大感應(yīng)電動勢為多大？如何旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)到何時，才有這樣大的電動勢？

解：??NBScos?t，電動勢的大小為

E?2d??NBS?sin?tdtEmax?NB?r2?n?4?103?0.5?10?4???(12?10?2)2?2??30?1.7V

12－3如下圖，長直導(dǎo)線中通有電流I=5A時，另一矩形線圈共1.0×103匝，a=10cm，長L=20cm，以v=2m/s的速率向右平動，求當(dāng)d=10cm時線圈中的感應(yīng)電動勢。

解：???x?1010N?0ILdx?ILx?10?N0ln

2?x?102?10I電動勢的大小為E??IL1dxd??N0dt2?x?10dt?0ILv

2?x?10?7Ldav

?N3Ex=d=10=

1.0?10?4??10?5?2?2?10?3V

2?(10?10)習(xí)題12－3圖

12－4若上題中線圈不動，而長導(dǎo)線中，通有交流電i=5sin100?tA，線圈內(nèi)的感生電動勢將多大？

解：???10?1010N?0iLdx?iL?N0ln2

2?x?102?電動勢的大小為E?

?L?L?Ld?didi?N0ln2??N0ln2??N0ln2?5?100?cos100?tdt2?dt2?dt2?19

1.0?103?4??10?7?2?ln2?500?cos100?t?4.35?10?2cos100?t(V)

2?12－5一長為L的導(dǎo)體棒CD，在與一均勻磁場垂直的平面內(nèi)，繞位于L/3處的軸以勻角速度?沿反時針方向旋轉(zhuǎn)，磁場方向如下圖，磁感應(yīng)強度為B，求導(dǎo)體棒內(nèi)的感應(yīng)電動勢，并指出哪一端電勢高？

解：根據(jù)動生電動勢的公式E=(v?B)?dl

L2L301L30?E??Br?dr??Br?dr??Br?dr

習(xí)題12－5圖

2L31L31?B?L2c點電勢高612－6如圖兩端導(dǎo)線ab=bc=10cm，在b處相接而成300角。若使導(dǎo)線在勻強磁場中以速

－

率v=1.5m/s運動，磁場方向垂直圖面向內(nèi)，B=2.5×102T，問ac間的電勢差是多少？哪端電勢高？

解：ab邊不切割磁場線，不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，bc邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為

E＝bcvBsin30?10?100?21?1.5?2.5?10?2?

2習(xí)題12－6圖

?1.88?10?3V

c點電勢高

12－7在通有電流I的無限長直導(dǎo)線附近，有一直角三角形線圈ABC與其共面，并以速度v垂直于導(dǎo)線運動，求當(dāng)線圈的A點距導(dǎo)線為b時，線圈中的感應(yīng)電動勢的大小及方向。已知AB=a，?ACB=?。

解：AB邊不切割磁場線，不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，BC邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為EBC＝BvBC??0Ivactg?

2?(b?a)AC邊產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為EAC＝

adx?0Iva1?0Ivdlcos??ctg???002?b?x2?b?x??0Iva?bctg?ln2?b習(xí)題12－7圖

E＝

?0Iva?bactg?(ln?)方向順時針2?bb?a20

（2）充電電流I=0.5A時

dEI0.5???1.88?1014V/(m?s)?12?4dt?0S8.85?10?3?1012－25試證平行板電容器與球形電容器兩極板間的位移電流均為Id?C為電容器的電容，V為兩極板的電勢差。

證：由于q?CV，I?dV，其中CdtdqdV?C，電路中Id=IdtdtdV所以Id?C此題得證。

dt12－26平行板電容器圓形極板的半徑R=0.05m，欲使變化電場在r=0.04m處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為1×10-5T，問需多大電流給電容器充電？此時極板間電場對時間的變化率有多大？設(shè)兩板間為真空。

解：電路中jd?Id，根據(jù)安培環(huán)路定理?B?dl??0?I有2?RL?0IrI2?r?B?，可得22?R2?RB2?r??0jd?r2??022?R2B2??(0.05)2?10?5?3.13A，r=0.04m時，I?I?4??0.04?0rdEI3.13???4.5?1013V/(m?s)?122dt?0S8.85?10?3.14?(0.05)26

12－8在水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上，放置質(zhì)量為m的金屬桿，其長度ab=l，導(dǎo)軌一端由一電阻R相連（其他電阻忽略），導(dǎo)軌又處于豎直向下的均勻磁場B中，當(dāng)桿以初速v0運動時，求（1）金屬桿能移動的距離；（2）在此過程中R所發(fā)出的焦耳熱。解：（1）依題意，根據(jù)牛頓定律有

vB2l2dvvdvF?IBl???m??m

Rdtdx分開變量積分

v0

vB2l2mR?x0dx??m?vdv?x?v00mRv0B2l2

習(xí)題12－8圖

（2）Q?12mv0212－9均勻磁場B被局限在圓柱形空間，B從0.5T以0.1T/s的速率減小。（1）試確定渦旋電場電場線的形狀和方向；（2）求圖中半徑為r=10cm的導(dǎo)體回路內(nèi)各點的渦旋電場的電場強度和回路中的感生電動勢；（3）設(shè)回路電阻為2?，求其感應(yīng)電流的大?。唬?）回路中任意兩點a、b間的電勢差為多大？（5）假使在回路上某點將其切斷，兩端稍微分開，問此時兩端的電勢差多大？解：（1）順時針（2）E?dl?L?d?2dB＝?r可得

dtdt

E?rdB2dt習(xí)題12－9圖

10?10?2?0.1?5?10?3V/mr=10cm時：E?2E＝E?dl?L?d?2dB－－

＝?r＝3.14×（10×102）2×0.1＝3.14×103V，方向順時針

dtdt?3.14?10?3??1.57?10?3A（3）I?R2（4）回路中任意兩點a、b間的電勢差為

Eab

bI

Raba

Vab??ab?IRab???Rlab?lab?02?rR2?r－

（5）斷開時，電流I=0，開路電壓即為電源電動勢Vab=E＝－3.14×103V

12－10均勻磁場B(t)被限制在半徑為R的圓柱形空間，磁場對時間的變化率為dB/dt，

在與磁場垂直的平面內(nèi)有一正三角形回路aob，位置如下圖，試求回路中的感應(yīng)電動勢的大小。

12?RB，回路中的感應(yīng)電動勢的大小為6d?1dB??BS??R2E?dt6dt解：??BS?

習(xí)題12－10圖

21

12－11如下圖，在與均勻磁場垂直的平面內(nèi)有一折成?角的V形導(dǎo)線框，其MN邊可以自由滑動，并保持與其它兩邊接觸，今使MN?ON，當(dāng)t=0時，MN由O點出發(fā)，以勻速v平行于ON滑動，已知磁場隨時間的變化規(guī)律為B(t)＝t2/2，求線框中的感應(yīng)電動勢與時間的函數(shù)關(guān)系。

解：依題意圖中三角形面積的磁通量為

??BS?121xtg?B?v2tg??t424三角形回路中的感應(yīng)電動勢的大小為E?習(xí)題12－11圖

12－12一半徑為R，電阻率為?的金屬薄圓盤放在磁場中，B的方向與盤面垂直，B的值為B(t)=B0t/?，式中的B0和?為常量，t為時間。（1）求盤中產(chǎn)生的渦電流的電流密度；（2）若R=0.20m，?=6.0×10-8?·m，B0=2.2T，?=18.0s，計算圓盤邊緣處的電流密度。

d??v2tg??t3方向逆時針dt

解：（1）與o距離為r（r>R2，

匝數(shù)分別為N1和N2，試求它們的互感。（提醒：可認為大線圈中有電流時，在小線圈處產(chǎn)生的磁場可看作是均勻的）

解：大線圈圓電流在其圓心處產(chǎn)生的磁場為

B?N1?0I2R1?0I2?R22R1習(xí)題12－15圖

由于R1>>R2，所以可認為其穿過小線圈的磁通量為

2?N1N2??BN2?R2

M???2?N1N20?R2I2R112－16在如下圖的電路中，線圈II連線上有一長為l的導(dǎo)體棒CD，可在垂直于均勻

磁場B的平面內(nèi)左右滑動并保持與線圈II連線接觸，導(dǎo)體棒的速度與棒垂直。設(shè)線圈I和II的互感系數(shù)為M，電阻為R1和R2。分別就以下兩情形求通過線圈I和II的電流：（1）CD以勻速v運動；（2）CD由靜止開始以加速度a運動。解：（1）CD以勻速v運動時

I1??Bvl,I1是恒量，故I2=0?R1R1III

（2）CD由靜止開始以加速度a運動

I1??Blat,I1是時間的函數(shù)，故I2不為零?R1R1習(xí)題12－16圖

dI?BlaMBl，I2?2??2?M1?Ma

dtR1R2R1R2

12－17矩形截面螺繞環(huán)的尺寸如圖，總匝數(shù)為N。（1）求它們的自感；（2）當(dāng)N＝1000

匝，D1=20cm，D2=10cm，h=1.0cm時自感為多少？

解：（1）根據(jù)安培環(huán)路定理B?dl??0L??I

B2?r??0NI?B?D1?0NI，穿過線圈的磁鏈數(shù)為2?ro習(xí)題12－17圖?0N2I1??N?B?dS??hdr

D22?rSr

?0N2IhD1?ln

2?D2

23

??0N2hD1L??ln

I2?D2（2）當(dāng)N＝1000匝，D1=20cm，D2=10cm，h=1.0cm時自感為

4??10?7?(1000)2?1.0?10?220L?ln?1.39?10-3H

2?1012－18在長60cm、直徑5.0cm的空心紙筒上繞多少匝導(dǎo)線，才能得到自感系數(shù)為

－

6.0×103H的線圈？

解：穿過線圈的磁鏈數(shù)為

?0N2?r2?0NI??BNS?N?r?0I?ll2??0N2?r2?0?N?L??lILl??0?r26?0?10?3?60?10?2?1.200匝

4??10?7???(2.5?10)212－19如圖，兩長螺線管同軸，半徑分別為R1和R2（R1>R2），長度為l（l>>R1和R2），匝數(shù)分別為N1和N2。求互感M1和M2，由此證明M1＝M2。

解：匝數(shù)為N1、半徑為R1的螺線管通有電流為I1時

B