中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形幾何

中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形幾何廣西桂林市恭城瑤族自治縣栗木中學(xué)數(shù)學(xué)組何桂榮,542502,桂林市第十八中學(xué)數(shù)學(xué)組蔣雪祥(541004)內(nèi)容提要:本文論述了規(guī)則圖形的容量維，對(duì)容量維的計(jì)算作了說明，同時(shí)還對(duì)4個(gè)較為著名的與中學(xué)有關(guān)的，或是可以用于啟發(fā)學(xué)生思維的分形問題進(jìn)行了分析。關(guān)鍵字:容量維Sierpinski三角毯Koch曲線Koch島Sierpinski-Menger海綿1973年，曼德勃羅(B.B.Mandelbrot)在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形(Fractal)一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。數(shù)千年來，幾何學(xué)的發(fā)展從來沒有二十世紀(jì)誕生的分形幾何那樣對(duì)物理學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生如此巨大的影響。分形幾何對(duì)我們大多數(shù)人來說是陌生的，因?yàn)樗雌饋黼x我們太遠(yuǎn)。其實(shí)分形就在我們身邊，在近年的競(jìng)賽與高考中，分形的影子已經(jīng)出現(xiàn)。中學(xué)數(shù)學(xué)中的分形與數(shù)學(xué)研究中的分形所看的角度與研究目標(biāo)都不同，可以說是羊頭狗肉之分吧。筆者試對(duì)此進(jìn)行一點(diǎn)探討，以拋磚引玉爾。一、規(guī)則圖形的容量維為了描述混沌學(xué)中奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，曼德爾布羅特(Mandelbrot)最早(1975年)引進(jìn)了分形(既其維數(shù)是非整數(shù)的對(duì)象)的概念。維數(shù)是描述客體的重要幾何參量。也可以說，維數(shù)是為了確定幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。已經(jīng)知道:點(diǎn)是零維，線是一維，平面是二維，而立方體是三維的。這種維數(shù)稱為拓?fù)渚S，用字母"d"表示。維數(shù)也可以這樣來考慮:比如，取一線段，將該線段的長(zhǎng)度乘2，就得到另一個(gè)線段，長(zhǎng)度為n=2個(gè)原線段長(zhǎng)度。一正方形，每邊長(zhǎng)×2，得到一個(gè)大的正方形，它等于4個(gè)原來大小的正方形。一立方體，每邊長(zhǎng)×2，得到一個(gè)大的立方體，它等于8個(gè)原來大小的立方體。由此可以推得，一個(gè)d維的幾何對(duì)象，它的每一個(gè)獨(dú)立方向都增長(zhǎng)L倍，結(jié)果得到NlnNd個(gè)原來的對(duì)象，這三者的關(guān)系為,兩邊取自然對(duì)數(shù)，得維數(shù)。在LN,d,lnLlnln8N本例的正方體中，如果是L=2,則必有N=8,于是就有，即立方d,,,3lnln2L它可以是分?jǐn)?shù)，體是三維的。將上式的定義加以推廣，就得到d不必一定是整數(shù)，D我們就把這樣推廣定義的維數(shù)稱為分維(fractal)，用字母""表示。對(duì)于規(guī)則的幾何對(duì)象，可以使用統(tǒng)一的長(zhǎng)度變換倍數(shù)L。而對(duì)于不規(guī)整的復(fù)雜體，如海岸線的長(zhǎng)度，總長(zhǎng)度與測(cè)量單位有關(guān)，為了得到精確的測(cè)量，不是把尺寸放大L倍，而是測(cè)量單位縮小為原來的ε倍，L,,,ε，測(cè)量長(zhǎng)度次數(shù),隨ε減小而增ln()N,大，記為,(ε)，這時(shí)分維定義為:。上式定義的分維稱為,,D(0),1ln,D容量維，又稱為柯爾莫哥洛夫(,.,.Kolmogorov)容量維?？梢宰C明，拓?fù)銬D維d和分維滿足如下關(guān)系:d?式中取等號(hào)是對(duì)普通規(guī)則幾何對(duì)象而言的。容量維為非整數(shù)的典型的例子是康托集合。圖示，考慮一閉合線段[0,1]，將其分成三等分，舍棄中段，剩下的兩段如再分別三等分和舍棄中段，如此繼續(xù)下去，最后剩下的點(diǎn)的總體就是康托集合。D它是一種處處稀疏的對(duì)象(自相似結(jié)構(gòu))，其拓?fù)渚Sd=0，現(xiàn)在來求它的分維。1nn當(dāng)ε,1/3，N=2;當(dāng)ε,1/9，N=4;...亦即當(dāng)時(shí)，N=。于是可得康托2,,()3nln()ln2ln2N,集合的容量維為,,,,由此可見康托集合滿足關(guān)系D0.63111ln3nlnln()1,3d?D。奇怪吸引子的維數(shù)從一個(gè)側(cè)面反映了說明此吸引子所必須的信息量，它是該系統(tǒng)中最重要和最主要的信息，對(duì)它的細(xì)致研究將有利于我們抓住問題的主要方面，更根本地分析和認(rèn)識(shí)問題。二、中學(xué)數(shù)學(xué)分形問題與分形幾何學(xué)問題的例子例1、將一個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)連結(jié)，挖去所得的小三角形;再將剩下的圖形的各邊的中點(diǎn)連結(jié)，各得一個(gè)三角形，挖去所得三角形;如此繼續(xù)下去，第七次總共可得多少個(gè)三角形(例如第二次挖去后，總共有13個(gè)三角形),第一次(4個(gè))第二次(13個(gè))第三次(40個(gè))這個(gè)問題就是分形幾何學(xué)中所說的Sierpinski三角毯，在我們競(jìng)賽中是一個(gè)n數(shù)列問題，而在分形幾何中，它是一個(gè)規(guī)則的分形。其中白色的三角形共有(n3為第n次挖取)。當(dāng)然在分形幾何中，所研究的不是三角形的個(gè)數(shù)，而是利用下ln()N,述公式從測(cè)度的角度把規(guī)則圖形的維度D確定為。這里的,,,D(0),1ln,是測(cè)量單元的尺寸，是測(cè)度得到的規(guī)則圖形的測(cè)量單元數(shù)。本例中N(),nln3ln31nn=，=于是得到此分形圖的容量維為D,,,N(),1.585,3()1ln22ln1n()21例2、如圖，挖去線段中間的后，加上等邊三角形的二邊，形成四段等長(zhǎng)3線段組成的折線，如此無限地進(jìn)行下去，形成處處連續(xù)、但處處不可微的Koch曲線。在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，本問題是要求折線的條數(shù)。第nn次變換后有條。但在分形幾何中，用上述的公4ln()N,式可以計(jì)算此分形圖的容量維,,D(0),1ln,nln4ln4D,,,為1.2621ln3ln1n()3例3、如圖，這是著名的n級(jí)三分Koch島，在我們的問題中，一是可能問及的問題是，每次三分后，邊長(zhǎng)如何變化;二是當(dāng)其進(jìn)行無限次等分后，其面積是多少。前者是數(shù)列通項(xiàng)問題，后者是數(shù)列與極限問題。在分形幾何中，nln4ln4其容量維仍為。D,,,1.2621ln3ln1n()3、正方體27等分(沿三條棱三等分)成27個(gè)小正方體，挖去中心和6例4個(gè)面中心位置上總共6個(gè)小正方體，留下20個(gè)小正方體，如此無限進(jìn)行，試求當(dāng)進(jìn)行到第n次時(shí)，有多少個(gè)小正方體。其容量維為多大,n此為分形幾何中著名的Sierpinski-Menger海綿，其中正方體有個(gè)，其容20nln20ln20量維為D,,,2.7771ln3ln1n()3上述幾個(gè)例子說明了分形幾何已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)問題源。這只是分形幾何中與中學(xué)學(xué)習(xí)中最能讓我們理解的幾個(gè)問題，還有許多問題需要我們?cè)S多同行去研究挖掘。不難看出，這些問題還只是處于其最常見的變形為數(shù)列或幾何問題，其基本數(shù)學(xué)思想還沒有進(jìn)入中學(xué)。某些地區(qū)已經(jīng)將分形幾何作為中學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以預(yù)見，分形幾何不僅在內(nèi)容上走進(jìn)中學(xué)，其根本的思想也將在不久的未來進(jìn)入中學(xué)課堂。學(xué)生經(jīng)常問數(shù)列的一些問題是如何來的，一些立體幾何問題為什么那么看起來無聊而又一再考試，這些都是應(yīng)當(dāng)看到和說明的。教師應(yīng)當(dāng)了解一點(diǎn)分形幾何，從而拓寬自己的數(shù)學(xué)問題源，讓自己的知識(shí)更加豐富，通過這些有趣的知識(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、激發(fā)學(xué)生的求知欲，這無疑是一個(gè)很好的選擇。教師為學(xué)習(xí)分形幾何可以參考的書有許多，筆者所閱讀的書列于本文之后的參考資料。參