2019高考江蘇數(shù)學(xué)優(yōu)編增分練：高考附加題加分練（五）空間向量與立體幾何

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(五)空間向量與立體幾何1．(2018·鹽城模擬）如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2,點(diǎn)M，N分別在PD，PC上,eq\o（PN,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）eq\o（NC,\s\up6（→)),PM＝MD.（1)求證:PC⊥平面AMN；（2）求二面角B－AN－M的余弦值．（1）證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又∵PA＝AD＝2,∴P(0,0，2),D（0,2,0)，B(2，0，0），∴M(0,1，1)，C(2,2,0)．∴eq\o（PC，\s\up6(→）)＝(2，2,－2）,eq\o(AM，\s\up6(→）)＝(0，1,1)．∵eq\o（PC，\s\up6（→）)·eq\o（AM，\s\up6(→）)＝0＋2－2＝0，∴PC⊥AM.設(shè)N(x，y，z)，∵eq\o（PN，\s\up6（→））＝eq\f（1,2)eq\o(NC，\s\up6(→))，求得Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，3），\f(2，3)，\f(4，3))）.∵eq\o（PC,\s\up6（→)）·eq\o（AN，\s\up6（→))＝eq\f（4,3)＋eq\f（4,3)－eq\f（8，3)＝0，∴AN⊥PC.又AM∩AN＝A，AM,AN?平面AMN，∴PC⊥平面AMN.(2）解設(shè)平面BAN的法向量為n＝(x，y，z)，∵eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(AB,\s\up6（→)）＝0，，n·\o(AN，\s\up6（→))＝0,））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＝0，，\f（2,3)x＋\f(2，3）y＋\f(4,3）z＝0，））令z＝－1，∴n＝（0，2，－1）．∵eq\o（PC，\s\up6（→）)＝(2，2，－2）是平面AMN的法向量,∴cos<n，eq\o（PC,\s\up6（→））>＝eq\f(n·\o(PC,\s\up6(→)),|n｜｜\o（PC，\s\up6（→））|）＝eq\f(\r(15），5）.由圖知二面角B－AN－M為鈍二面角,∴二面角B－AN－M的余弦值為－eq\f(\r（15),5)。2。如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB,OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中點(diǎn)．(1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；（2)求二面角A－BE－C的正弦值．解(1）以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A（0，0，1)，B(2，0,0),C（0,2，0），E(0,1,0）．eq\o（EB，\s\up6（→)）＝(2，－1，0），eq\o(AC，\s\up6（→))＝（0，2，－1），∴cos<eq\o（EB,\s\up6(→))，eq\o（AC,\s\up6（→))>＝－eq\f(2，5),又異面直線所成的角為銳角或直角,∴異面直線BE與AC所成角的余弦值為eq\f(2，5)。（2）eq\o(AB,\s\up6（→))＝(2,0，－1)，eq\o（AE，\s\up6（→）)＝（0,1,－1)，設(shè)平面ABE的法向量為n1＝（x，y,z)，則由n1⊥eq\o(AB，\s\up6(→)），n1⊥eq\o（AE，\s\up6（→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－z＝0，,y－z＝0，)）取n1＝（1，2，2）,平面BEC的法向量為n2＝（0，0,1），∴cos<n1，n2>＝eq\f(2，3),∴二面角A－BE－C的余弦值的絕對值為eq\f(2,3），∴sinθ＝eq\f(\r（5),3),即二面角A－BE－C的正弦值為eq\f（\r(5）,3）。3。三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB＝2，AC＝4，AA1＝3,D是BC的中點(diǎn)．（1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1－A1D－C1的正弦值．解（1)由題意知，B(2，0，0),C(0,4,0）,D（1,2，0)，A1（0，0，3）,B1(2,0，3），C1（0,4，3），則eq\o（A1D，\s\up6（→))＝（1,2，－3)，eq\o(A1C1,\s\up6（→））＝(0，4，0)，eq\o(DB1，\s\up6（→))＝(1，－2,3）．設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)．由n·eq\o(A1D，\s\up6(→）)＝x＋2y－3z＝0,n·eq\o(A1C1，\s\up6(→))＝4y＝0，得y＝0，x＝3z，令z＝1，得x＝3，n＝（3，0，1）．設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(DB1,\s\up6（→)），n〉|＝eq\f(｜3＋3｜,\r（10)×\r（14）)＝eq\f(3\r（35）,35)。（2)設(shè)平面A1B1D的一個(gè)法向量為m＝（a，b，c),eq\o(A1B1，\s\up6（→）)＝(2,0，0）．由m·eq\o（A1D，\s\up6(→）)＝a＋2b－3c＝0，m·eq\o(A1B1，\s\up6(→））＝2a＝0，得a＝0，2b＝3c,令c＝2，得b＝3，m＝（0，3，2)．設(shè)二面角B1－A1D－C1的大小為α，｜c(diǎn)osα｜＝|cos<m,n>｜＝eq\f（|m·n|，|m|｜n｜）＝eq\f(\r(2),\r（65）)，sinα＝eq\f（3\r(7)，\r（65))＝eq\f(3\r(455),65)。所以二面角B1－A1D－C1的正弦值為eq\f(3\r（455)，65)。4。如圖，在三棱錐S－ABC中，底面是邊長為2eq\r(3)的正三角形,點(diǎn)S在底面ABC上的射影O是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45°角．（1）若D為棱SB上一點(diǎn),當(dāng)eq\f（SD，DB）為何值時(shí)，CD⊥AB；(2）求二面角S－BC－A的余弦值的大小．解連結(jié)OB,由題意得OS，OB，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知∠SBO＝45°，SO＝3.所以O(shè)（0,0,0)，C(0,eq\r(3），0），A（0，－eq\r(3），0），S(0,0,3)，B（3,0,0）．（1)設(shè)eq\o（BD,\s\up6（→))＝λeq\o（BS,\s\up6（→））（0≤λ≤1）,連結(jié)OD,則eq\o(OD,\s\up6（→））＝(1－λ）eq\o(OB，\s\up6（→))＋λeq\o(OS，\s\up6（→))＝(3(1－λ），0，3λ),所以eq\o（CD，\s\up6（→)）＝（3（1－λ），－eq\r(3），3λ）．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6（→)）＝(3，eq\r（3),0),CD⊥AB，所以eq\o（CD,\s\up6（→））·eq\o（AB，\s\up6（→)）＝9（1－λ)－3＝0，解得λ＝eq\f（2,3)。故當(dāng)eq\f(SD,DB)＝eq\f（1，2）時(shí)，CD⊥AB。(2)平面ACB的法向量為n1＝（0，0,1)．設(shè)平面SBC的法向量n2＝(x，y，z），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n2·\o(SB，\s\up6（→））＝0，,n2·\o(SC，\s\up6(→))＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－3z＝0，，\r（3)y－3z＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝z,,y＝\r（3）z，））取z＝1，則n2＝(1，eq\r(3）,1)，所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(1×0＋\