概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)抽樣分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)抽樣分布第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2一、統(tǒng)計(jì)量的概念定義：設(shè)X1,X2,…，Xn

為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，g說(shuō)明1.統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量.是X1,X2,…，Xn的函數(shù)，若g是連續(xù)函數(shù)，且g中不含任何未知參數(shù)，則稱(chēng)g(X1,X2,…，Xn)是統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量是一組獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的函數(shù)2.統(tǒng)計(jì)量引入的目的在于對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷與分析.a)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì);b）在總體分布已知或未知的情況下，對(duì)分布中的參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).3.設(shè)(x1,x2,…,xn)是相應(yīng)于樣本（X1,X2,…，Xn）的值，g(x1,x2,…,xn)是相應(yīng)于g(X1,X2,…，Xn)的觀查值.抽樣分布第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3例1其中μ未知，σ2已知，問(wèn)：下列隨機(jī)變量中那些是若X1,X2,…，Xn是來(lái)自總體X~N(μ,σ2)的一個(gè)樣本,統(tǒng)計(jì)量？抽樣分布第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4

統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)隨機(jī)樣本量的分布稱(chēng)為抽樣分布.第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)x1,x2,…，xn

為總體分布函數(shù)為F(x)為樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).的一個(gè)樣本,將x1,x2,…,xn

按由小到大的順序排列，并重新編號(hào),設(shè)為x(1)≤x(2)≤…≤

x(n）,則稱(chēng)函數(shù)抽樣分布第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五6說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意一實(shí)數(shù)，在n相當(dāng)大時(shí)，是以概率1的形式逼近于總體分布函數(shù)F(x)格列文科定理例1

P132例題6-9抽樣分布第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五7二、幾種常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差證明設(shè)X1,X2,…，Xn

為總體X的一個(gè)樣本樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩抽樣分布第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8說(shuō)明：1.樣本均值是一階原點(diǎn)矩.2.(x1,x2,…,xn)是樣本(X1,X2,…

,Xn)的一個(gè)樣本值，則有樣本均值觀察值樣本方差觀察值樣本標(biāo)準(zhǔn)差觀察值樣本k階原點(diǎn)矩、樣本k階中心矩的觀察值抽樣分布第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五9定理1設(shè)x1,x2,…,xn總體x的一個(gè)樣本，記為樣本均值(1)若總體X~N(μ,σ2),則在n相當(dāng)大時(shí)，(2)若總體分布未知或不是正態(tài)分布,EX=μ,D(E)=σ2，抽樣分布第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五10定理2設(shè)X1,X2,…,Xn總體X的一個(gè)樣本，記μk=E(Xk)利用辛欣大數(shù)定律(k=1,2,…,n),則有g(shù)(x1,x2,…,xn)是連續(xù)函數(shù).3.結(jié)論

設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X

的一個(gè)樣本，請(qǐng)記熟此結(jié)論！抽樣分布第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五11證明抽樣分布第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五12說(shuō)明他們?cè)诮y(tǒng)計(jì)中有不同效應(yīng)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中流行兩種形式的樣本方差，S12作為總體X方差的無(wú)偏估計(jì)量，S22不能作為總體X方差的無(wú)偏估計(jì)量，但當(dāng)n

很大時(shí)兩者相差很小.抽樣分布第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五13極大極小順序統(tǒng)計(jì)量

若x(1)=min{x1,x2,…,xn},x(2)=max{x1,x2,…,xn}為極小與極大順序統(tǒng)計(jì)量，則x(1)和x(2)的概率密度分別為抽樣分布

設(shè)x1,x2,…，xn

為總體分布函數(shù)為F(x),概率密度函數(shù)為f(x)的一個(gè)樣本,稱(chēng)x(1)=min{x1,x2,…,xn},x(2)=max{x1,x2,…,xn},為該樣本的極小與極大順序統(tǒng)計(jì)量.定理2第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五14證明先求x(1)和x(2)的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x).

X與Y相互獨(dú)立抽樣分布第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五15X與Y相互獨(dú)立在分別對(duì)x(1)和x(2)的分布函數(shù)F1(x)和F2(x)求導(dǎo)，得.

抽樣分布第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五16三、正態(tài)總體的抽樣分布—幾種常用的統(tǒng)計(jì)量若統(tǒng)計(jì)量χ2=

X12+X22+…+Xn2

的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量χ2服從自由度為n的χ2分布。常用統(tǒng)計(jì)量的分布定義1.χ2---分布

設(shè)（X1,X2,…,Xn）是來(lái)自正態(tài)總體N(0,1)的樣本，第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五17Χ2--分布的性質(zhì)常用統(tǒng)計(jì)量的分布1)若X~χ2(m),Y~χ2(n),且X，Y相互獨(dú)立，則有X+Y~χ2(m+n),2)

χ2-分布的概率密度函數(shù)圖形見(jiàn)書(shū)P137，其隨n值的不同圖形而不同，n越大，圖形越平緩；圖形不對(duì)稱(chēng).3)若χ2~χ2(n),

則E(χ2)=n,D(χ2)=2n.第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五18常用統(tǒng)計(jì)量的分布4)χ2—分布的分位點(diǎn)定義對(duì)于給定的α（0<α<1),稱(chēng)滿足條件的點(diǎn)χ2α(n)為χ2

(n)分布的上α分位點(diǎn).第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五19例2

解例3常用統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)（X1,X2,…,Xn）是來(lái)自正態(tài)總體N(μ，σ2)的樣本，則且相互獨(dú)立第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五20定義常用統(tǒng)計(jì)量的分布2.t--分布X1~N(0,1),X2~χ2(n),且X1,X2相互獨(dú)立,則稱(chēng)隨機(jī)變量的分布是自由度為n的t—分布。對(duì)于給定的α（0<α<1),稱(chēng)滿足條件的點(diǎn)tα(n)為t分布的上α分位點(diǎn).定義由t分布的概率密度的對(duì)稱(chēng)性知記為t~t(n).第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五21t-分布的結(jié)論常用統(tǒng)計(jì)量的分布1)自由度為1的t--分布是柯西分布,其期望不存在.2)

當(dāng)自由度n>1時(shí)，t—分布的期望存在且為0.當(dāng)自由度n較大(>30)時(shí)，t—分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逼近。4）t—分布又稱(chēng)學(xué)生氏分布,是哥賽特于1908年以Student的筆名發(fā)表的結(jié)果.開(kāi)創(chuàng)了小樣本的統(tǒng)計(jì)推斷.3)t—分布的概率密度函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形平緩。第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五22常用統(tǒng)計(jì)量的分布對(duì)于給定的α（0<α<1),稱(chēng)滿足條件的點(diǎn)tα(n)為t分布的上α分位點(diǎn).定義由t分布的概率密度的對(duì)稱(chēng)性知第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五23例4

例5常用統(tǒng)計(jì)量的分布第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五24定義常用統(tǒng)計(jì)量的分布3.F—分布定理3若X1~χ2(n1),X2~χ2(n2),

X1,X2相互獨(dú)立,則稱(chēng)隨機(jī)變量的分布是自由度為n1,n2的F—分布.記為F~F(n1,n2).若F~F(n1,n2)，則1/F~F(n2,n1)第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五25常用統(tǒng)計(jì)量的分布對(duì)于給定的α（0<α<1),稱(chēng)滿足條件定義的點(diǎn)Fα(n1,n2)為F分布的上α分位點(diǎn).第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五26常用統(tǒng)計(jì)量的分布結(jié)論

F1-α(n1,n2)=1/Fα(n2,n1)第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五27例6例7常用統(tǒng)計(jì)量的分布第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五28例8

解常用統(tǒng)計(jì)量的分布第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期五29定理4常用統(tǒng)計(jì)量的分布四.正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布：第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年