高考數(shù)學(xué) 求函數(shù)的值域與最值 練習(xí)題（含答案）

第1頁共1頁高考考點(diǎn)精練專輯019函數(shù)及其表示(九)求函數(shù)的值域與最值九、求函數(shù)的值域與最值求函數(shù)的值域與最值，雖有區(qū)別，但方法基本相同。求出的值域除小數(shù)情況(只有幾個有限元素組成的集合)外都可以用區(qū)間表示，可能是開區(qū)間，也可是閉區(qū)間、左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間，還可能是多個區(qū)間的并集。求出的值域中，有的能直接找出最值(含有閉區(qū)間)，有的也許找不出最值(都是開區(qū)間)。㈠、求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，方法因題而易，靈活多樣。常用的方法有：直接法、圖像法、單調(diào)法、換元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判別式法、分離常數(shù)法、配方法、導(dǎo)數(shù)法等。1.(2019上海文理同卷13)(共23題的第13題4道選擇題第1題150分占5分)下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖?)A.B.C.D.答案：B解：的值域?yàn)椋蔄錯；的定義域?yàn)?，值域也是，故B正確；的值域?yàn)椋蔆錯；的值域?yàn)?，故D錯。因此，選B。點(diǎn)拔：直接求四個選項(xiàng)中的函數(shù)的值域即可。2.(2016北京理14)(共20題6道填空題第6題150分占5分)設(shè)函數(shù)①若，則的最大值為；②若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案：；解：如圖作出函數(shù)與直線直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，，，由，知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，①當(dāng)時，，因此的最大值是；②由圖象知當(dāng)時，有最大值是；只有當(dāng)時，由，因此無最大值，∴所求的范圍是。點(diǎn)拔：導(dǎo)數(shù)法和數(shù)形結(jié)合是解答本題的最佳方法。3.(2011北京文14)(共20題6道填空題第6題150分占5分)設(shè)，記為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則N(0)=。；N()的所有可能取值為。答案：66，7，8解：如圖(1)所示，N(0)=6，再結(jié)合圖(2)和圖(3)可得，N(1)=8，N(1.5)=7，…，所以可能取值為6，7，8。點(diǎn)拔：排除法，利用圖像得出正確答案。4.(2011北京理8)(共20題8道選擇題第8題150分占5分)設(shè)，記為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)的值域?yàn)?)A.B.C.D.答案：C解：如圖所示。yyxB51234CD234A因?yàn)镹(0)=9，排除D；N(1)=12，排除A；N(2)=11，排除B。故值域?yàn)?。點(diǎn)拔：排除法，利用圖像依次排除D、A、B。5.(2010重慶文4)(共21題10道選擇題第4題150分占5分)函數(shù)的值域是()A.B.C.D.答案：C解：，，。點(diǎn)拔：直接法，從入手，逐步推出結(jié)果。6.(2010山東文3)(共22題12道選擇題第3題150分占5分)函數(shù)的值域?yàn)?)A.B.C.D.答案：A解：因?yàn)椋?，故選A。點(diǎn)拔：直接法，從入手，逐步推出結(jié)果。7.(2010天津文10)(共22題10道選擇題第10題150分占5分)設(shè)函數(shù)，則的值域是()A.B.C.D.答案：D解：將化為即所以當(dāng)時，的值域?yàn)椋划?dāng)時，的值域?yàn)椋蔬xD。點(diǎn)拔：配方法，對于二次函數(shù)，常用配方法求值域。不過，本題要先將進(jìn)行化簡。值得注意的，是配方法對運(yùn)算要求能力較高，如果對配方法不熟練，也可通過畫二次函數(shù)的草圖求解。8.(2008江西理3)(共22題12道選擇題第3題150分占5分)若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是()A.B.C.D.答案：B解：令，則，，，由，得，由，得?？芍谏线f減，在上遞增。易求得、，，故選B。點(diǎn)拔：導(dǎo)數(shù)法，用導(dǎo)數(shù)求值域，不失為好方法。9.(2007浙江文11)(共22題7道填空題第1題150分占4分)函數(shù)的值域是。答案：解：注意到，故可以先解出，再利用函數(shù)的有界性求出函數(shù)值域。由，得，∴，解之得。點(diǎn)拔：反解法，也可以說是方程思想的運(yùn)用，即解方程，用表示，利用，得到，然后解出即可。10.求函數(shù)的值域。解法一：令，則，于是，。解法二：求得，而與在時均單調(diào)遞增，故。點(diǎn)撥：解法一，換元法、配方法，利用二次函數(shù)知識求解。解法二，單調(diào)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，簡單快捷。而方法一就有點(diǎn)小題大做了。㈡、求最值11.(2017浙江文理同卷5)(共22題的第5題10道選擇題第5題150分占4分)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是，則()A.與有關(guān)，且與有關(guān)B.與有關(guān)，但與無關(guān)C.與無關(guān)，且與無關(guān)D.與無關(guān)，但與有關(guān)答案：B解：因?yàn)樽钪翟冢?，之中取得，所以最值之差一定與無關(guān)，與有關(guān)，故選B。點(diǎn)拔：從選擇支提供的信息來看，直接求最大值與最小值，不是明智之舉。理智的方法是由函數(shù)的性質(zhì)，知道函數(shù)的最值在，，之中取得，觀察這三者的共同之點(diǎn)，很容易得出正確答案。12.(2016北京文10)(共20題6道填空題第2題150分占5分)函數(shù)的最大值為。答案：解法一：，可知所求最大值為。解法二：令，解得，因?yàn)?，所以，即，得到，可知所求最大值為。點(diǎn)拔：解法一為分離常數(shù)法，當(dāng)解析式為分式形式時，可以化為，使解析式中只有分母含變量，從而根據(jù)定義域求出最值。解法二為解方程法(反解法，即方程思想的應(yīng)用)，當(dāng)解析式為分式形式時，可以化為，立即可得所求值域?yàn)椤?3.(2008安徽文9)(共22題12道選擇題第9題150分占5分)設(shè)函數(shù)，則()A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)答案：A解：，，，，可見有最大值，故選A。點(diǎn)拔：基本不等式法：利用基本不等式求函數(shù)的最值，要注意“一正”、“二定”、“本相等”。本題的為負(fù)，不能直接套用基本不等式求函數(shù)的最值，要轉(zhuǎn)化為正數(shù)，否則容易出錯。14.(2006浙江文10)對，記函數(shù)的最小值是()A.B.C.D.答案：C解：在同一坐標(biāo)系里畫出與的圖像如下：由圖可知，，可化為作出的圖像如上，由圖可知，的最小值為，故選C。點(diǎn)拔：圖像法，先畫出與的圖像，求出的解析式，再畫出的圖像，立即求出的最小值。如果本題不畫圖，還真不好做呢。15.(2003北京春季理4)函數(shù)的最大值是()A.B.C.D.答案：D解法一：將化為，因?yàn)椤Ａ?，則，且，由反比例函數(shù)可知，，故選D。解法二：將化為，因?yàn)?，可知定義域?yàn)椋?。由，得，因?yàn)?，所以方程有解，從而，即，得到，而，所以，故選D。點(diǎn)拔：解法一，配方法、換元法，配方得，換元后將不熟悉的求的最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的求反比例函數(shù)的最值問題。這是化繁為簡、化能為易的“化歸轉(zhuǎn)化思想”的靈活運(yùn)用。注意，換元后要弄清變量的取值范圍發(fā)生了變化。解法二，判別式法，將函數(shù)整理成方程，由得出方程有解，然后用判別式求解。注意，方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，應(yīng)分類討論，不然會出現(xiàn)錯誤。㈢、最值問題綜合題16.(2015浙江理18)(共20題5道解答題第3題150分占15分)已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值。(1)證明：當(dāng)時，；(2)當(dāng)滿足，求的最大值。解：(1)的對稱軸為直線，由得，，所以在上單調(diào)，，當(dāng)時，由，得到，即；當(dāng)時，由，得，即；綜上，當(dāng)時，。(2)由得，，，故，，由得，當(dāng)時，，且在上的最大值為2，即，所以的最大值為3。點(diǎn)拔：分類討論是解決絕對值問題的好方法。17.(2015湖北理10)(共22題10道選擇題第10題150分占5分)設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)。若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時成立，則正整數(shù)的最大值是()A.B.C.D.答案：B解：因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)。由得，由得，由得，所以，由得，所以，由得，與矛盾，故正整數(shù)的最大值是4。點(diǎn)拔：得出和是解答的關(guān)鍵。18.(2014上海理18)(共23題4道選擇題第4題150分占5分)設(shè)若是的最小值，則的取值范圍為()A.B.C.D.答案：D解：若，的最小值是，的最小值是。所以的最小值是(如圖1)或(如圖2)，而非，不符合題意；若，的最小值是，的最小值為(如圖3)，而是的最小值，所以，解得，結(jié)合，所以的取值范圍為，故選D。點(diǎn)拔：表面看起來畫圖費(fèi)時費(fèi)力，其實(shí)，只要熟練，畫草圖也很容易。19.(2008重慶理4)(共22題10道選擇題第4題150分占5分)已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為()A.B.C.D.答案：C解法一：定義域?yàn)?，，而，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號“=”成立。所以當(dāng)時，取最大值，當(dāng)或時，取最小值，，故選C。解法二：定義域?yàn)椋?，令，可知，?dāng)時，取最大值，此時，取最大值，又當(dāng)或時，取最小值，此時，取最小值，，故選C。點(diǎn)拔：解法一用基本不等式求最大值，解法二用配方法和二次函數(shù)知識求最大值。20.(2008浙江理15)(共22題7道填空題第5題150分占4分)已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則。答案：解：因?yàn)榈膱D像的對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值應(yīng)該是或。由，得或，由，得或。檢驗(yàn)知，時，不符題意；時，不符題意，而時滿足題意。故。點(diǎn)拔：部分同學(xué)忘記討論的情況，雖然所得結(jié)果是正確的，但邏輯不嚴(yán)密。21.在函數(shù)中，若、、成等比數(shù)列，且，則有最值，且該值為。答：()A.大，B.小，C.大，D.小答案：A解：，，于是由可知，，可見有最大值，且。故選A。點(diǎn)拔：本題考查二次函數(shù)及等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識。22.函數(shù)的值域是。答案：解：求得定義域?yàn)?，化為，而?dāng)時，；當(dāng)時，。又，可知。且且。故。點(diǎn)拔：本題考查函數(shù)的值域的求法。注意定義域?qū)瘮?shù)值域的影響。23.規(guī)定記號“”表示一種運(yùn)算，即。若，則函數(shù)的值域是。答案：解：由得，解得，所以，在內(nèi)是增函數(shù)，故，即的值域?yàn)椤?4.已知二次函數(shù)，滿足，。(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值和最大值。解：(1)由已知得，，解得，故函數(shù)的解析式為。(2)由于函數(shù)的對稱軸為直線，可見，在內(nèi)，當(dāng)時，函數(shù)取最小值；當(dāng)時，函數(shù)取最大值。點(diǎn)拔：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法是：一看拋物線開口方向；二看對稱軸與已知區(qū)間的相對位置。作出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖，利用數(shù)形結(jié)合方法是解決這類問題的有效途征。25.已知函數(shù)，不等式的解集為。(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)求函數(shù)的值域。解：(Ⅰ)由題意可知，方程的兩根為和，所以，即。所以函數(shù)的解析式是。(Ⅱ)因?yàn)椋院瘮?shù)的值域是。26.設(shè)二次函數(shù)當(dāng)時取最大值，而二次函數(shù)的最小值為，且，。①求的值；②求的表達(dá)式。解：①設(shè)，則，而，，即，解得或=1，已知，。②由①得，=，有最小值，，解得。故。27.已知二次函數(shù)滿足條件且。求：(1)；(2)在區(qū)間上的最大值和最小值。解：(1)設(shè)，，。從而，于是，得。。(2)的對稱軸，的最大值是，提最小值是。點(diǎn)撥：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法及利用二次函數(shù)求最值。28.已知時，函數(shù)有小值，求的值。解：函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，可分類討論如下：①當(dāng)即時，在上有最小值，即得(舍去)或；②當(dāng)即時，在上有最小值，即，整理為，得(舍去)；③當(dāng)即時，在上有最小值，即，整理為，得或(舍去)故或?yàn)樗蟆｜c(diǎn)撥：因二次函數(shù)的對稱軸是變化的，故需按對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論。本題考查二次函數(shù)求最值以及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。29.若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為。答案：或解：，函數(shù)的最小值為對一切實(shí)數(shù)恒成立。即