模型的建立和估計(jì)中的問(wèn)題與對(duì)策

模型的建立和估計(jì)中的問(wèn)題與對(duì)策第1頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五本章內(nèi)容第一節(jié)誤設(shè)定第二節(jié)多重共線(xiàn)性第三節(jié)異方差性第四節(jié)自相關(guān)第2頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五OLS估計(jì)量令人滿(mǎn)意的性質(zhì)，是根據(jù)一組假設(shè)條件而得到的。在實(shí)踐中，如果某些假設(shè)條件不能滿(mǎn)足，則OLS就不再適用于模型的估計(jì)。下面列出實(shí)踐中可能碰到的一些常見(jiàn)問(wèn)題：

l 誤設(shè)定（Misspecification或specificationerror）

l 多重共線(xiàn)性（Multicollinearity）

l 異方差性（Heteroscedasticity或Heteroskedasticity）

l 自相關(guān)（Autocorrelation）本章將對(duì)上述問(wèn)題作簡(jiǎn)要討論，主要介紹問(wèn)題的后果、檢測(cè)方法和解決途徑。第3頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)誤設(shè)定采用OLS法估計(jì)模型時(shí)，實(shí)際上有一個(gè)隱含的假設(shè)，即模型是正確設(shè)定的。這包括兩方面的含義：函數(shù)形式正確和解釋變量選擇正確。在實(shí)踐中，這樣一個(gè)假設(shè)或許從來(lái)也不現(xiàn)實(shí)。我們可能犯下列三個(gè)方面的錯(cuò)誤：

選擇錯(cuò)誤的函數(shù)形式

遺漏有關(guān)的解釋變量

包括無(wú)關(guān)的解釋變量從而造成所謂的“誤設(shè)定”問(wèn)題。第4頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一.選擇錯(cuò)誤的函數(shù)形式

這類(lèi)錯(cuò)誤中比較常見(jiàn)的是將非線(xiàn)性關(guān)系作為線(xiàn)性關(guān)系處理。函數(shù)形式選擇錯(cuò)誤，所建立的模型當(dāng)然無(wú)法反映所研究現(xiàn)象的實(shí)際情況，后果是顯而易見(jiàn)的。因此，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，選擇正確的函數(shù)形式。

第5頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

我們?cè)谇懊娓髡碌慕榻B中采用的函數(shù)形式以線(xiàn)性函數(shù)為主，上一章還介紹了因變量和解釋變量都采用對(duì)數(shù)的雙對(duì)數(shù)模型，下面再介紹幾種比較常見(jiàn)的函數(shù)形式的模型，為讀者的回歸實(shí)踐多提供幾種選擇方案。這幾種模型是：半對(duì)數(shù)模型雙曲函數(shù)模型多項(xiàng)式回歸模型第6頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1.半對(duì)數(shù)模型半對(duì)數(shù)模型指的是因變量和解釋變量中一個(gè)為對(duì)數(shù)形式而另一個(gè)為線(xiàn)性的模型。因變量為對(duì)數(shù)形式的稱(chēng)為對(duì)數(shù)-線(xiàn)性模型(log-linmodel)。解釋變量為對(duì)數(shù)形式的稱(chēng)為線(xiàn)性-對(duì)數(shù)模型(lin-logmodel)。我們先介紹前者，其形式如下：對(duì)數(shù)-線(xiàn)性模型中，斜率的含義是Y的百分比變動(dòng)，即解釋變量X變動(dòng)一個(gè)單位引起的因變量Y的百分比變動(dòng)。這是因?yàn)?，利用微分可以得出?/p>

第7頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

這表明，斜率度量的是解釋變量X的單位變動(dòng)所引起的因變量Y的相對(duì)變動(dòng)。將此相對(duì)變動(dòng)乘以100，就得到Y(jié)的百分比變動(dòng)，或者說(shuō)得到Y(jié)的增長(zhǎng)率。由于對(duì)數(shù)-線(xiàn)性模型中斜率系數(shù)的這一含義，因而也叫增長(zhǎng)模型

(growthmodel)。增長(zhǎng)模型通常用于測(cè)度所關(guān)心的經(jīng)濟(jì)變量（如GDP）的增長(zhǎng)率。例如，我們可以通過(guò)估計(jì)下面的半對(duì)數(shù)模型

得到一國(guó)GDP的年增長(zhǎng)率的估計(jì)值，這里t為時(shí)間趨勢(shì)變量。第8頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線(xiàn)性-對(duì)數(shù)模型的形式如下：

與前面類(lèi)似，我們可用微分得到

因此這表明

上式表明，Y的絕對(duì)變動(dòng)量等于乘以X的相對(duì)變動(dòng)量。因此,線(xiàn)性-對(duì)數(shù)模型通常用于研究解釋變量每變動(dòng)1%引起的因變量的絕對(duì)變動(dòng)量是多少這類(lèi)問(wèn)題。第9頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的形式為：

不難看出，這是一個(gè)僅存在變量非線(xiàn)性的模型，很容易用重新定義的方法將其線(xiàn)性化。雙曲函數(shù)模型的特點(diǎn)是，當(dāng)X趨向無(wú)窮時(shí)，Y趨向，反映到圖上，就是當(dāng)X趨向無(wú)窮時(shí)，Y將無(wú)限靠近其漸近線(xiàn)（Y=）。雙曲函數(shù)模型通常用于描述著名的恩格爾曲線(xiàn)和菲利普斯曲線(xiàn)。第10頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.多項(xiàng)式回歸模型多項(xiàng)式回歸模型通常用于描述生產(chǎn)成本函數(shù)，其一般形式為：

其中Y表示總成本，X表示產(chǎn)出，P為多項(xiàng)式的階數(shù)，一般不超過(guò)四階。多項(xiàng)式回歸模型中，解釋變量X以不同冪次出現(xiàn)在方程的右端。這類(lèi)模型也僅存在變量非線(xiàn)性，因而很容易線(xiàn)性化，可用OLS法估計(jì)模型。第11頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二.遺漏有關(guān)的解釋變量模型中遺漏了對(duì)因變量有顯著影響的解釋變量的后果是：將使模型參數(shù)估計(jì)量不再是無(wú)偏估計(jì)量。三.包括無(wú)關(guān)的解釋變量模型中包括無(wú)關(guān)的解釋變量，參數(shù)估計(jì)量仍無(wú)偏，但會(huì)增大估計(jì)量的方差，即增大誤差。

[注]有關(guān)上述兩點(diǎn)結(jié)論的說(shuō)明請(qǐng)參見(jiàn)教科書(shū)P112-113。第12頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四.選擇解釋變量的四條原則

在模型設(shè)定中的一般原則是盡量不漏掉有關(guān)的解釋變量。因?yàn)楣烙?jì)量有偏比增大誤差更嚴(yán)重。但如果方差很大，得到的無(wú)偏估計(jì)量也就沒(méi)有多大意義了，因此也不宜隨意亂增加解釋變量。在回歸實(shí)踐中，有時(shí)要對(duì)某個(gè)變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中作出準(zhǔn)確的判斷確實(shí)不是一件容易的事，因?yàn)槟壳斑€沒(méi)有行之有效的方法可供使用。盡管如此，還是有一些有助于我們進(jìn)行判斷的原則可用，它們是：第13頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五選擇解釋變量的四條原則

1.理論：從理論上看，該變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中？

2.t檢驗(yàn)：該變量的系數(shù)估計(jì)值是否顯著？

3.：該變量加進(jìn)方程中后，是否增大？

4.偏倚：該變量加進(jìn)方程中后，其它變量的系數(shù)估計(jì)值是否顯著變化？如果對(duì)四個(gè)問(wèn)題的回答都是肯定的，則該變量應(yīng)該包括在方程中；如果對(duì)四個(gè)問(wèn)題的回答都是“否”，則該變量是無(wú)關(guān)變量，可以安全地從方程中刪掉它。這是兩種容易決策的情形。第14頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

但根據(jù)以上準(zhǔn)則判斷并不總是這么簡(jiǎn)單。在很多情況下，這四項(xiàng)準(zhǔn)則的判斷結(jié)果會(huì)出現(xiàn)不一致。例如，有可能某個(gè)變量加進(jìn)方程后，增大，但該變量不顯著。

在選擇變量的問(wèn)題上，應(yīng)當(dāng)堅(jiān)定不移地根據(jù)理論而不是滿(mǎn)意的擬合結(jié)果來(lái)作決定，對(duì)于是否將一個(gè)變量包括在回歸方程中的問(wèn)題，理論是最重要的判斷準(zhǔn)則。如果不這樣做，產(chǎn)生不正確結(jié)果的風(fēng)險(xiǎn)很大。

在這種情況下，作出正確判斷不是一件容易的事，處理的原則是將理論準(zhǔn)則放在第一位。第15頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五*五、模型的選擇上一段討論了某個(gè)解釋變量應(yīng)否包括在模型中的幾條原則。實(shí)踐中，要解決的一個(gè)問(wèn)題是如何從大量的潛在解釋變量的集合中選擇一個(gè)最合適的子集，以得到一個(gè)正確設(shè)定的模型。上個(gè)世紀(jì)六十年代后相當(dāng)一段時(shí)間，人們使用逐步回歸法來(lái)解決解釋變量的選擇問(wèn)題。這種由計(jì)算機(jī)機(jī)械挑選變量的做法如今已不流行了。目前比較通行的做法是從少量精心設(shè)定的備選模型中選擇一個(gè)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家就此提出了很多基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的選擇標(biāo)準(zhǔn)，我們這里討論其中幾種，如表5－1所示。第16頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

令RSSj表示第j個(gè)模型（有kj個(gè)解釋變量）的殘差平方和，并定義

為第j個(gè)模型的的估計(jì)值。我們用表示包含全部k個(gè)解釋變量的模型的估計(jì)值。第17頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五表5－1選擇回歸模型的準(zhǔn)則準(zhǔn)則計(jì)算公式

第18頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1.準(zhǔn)則希爾（Theil）的準(zhǔn)則基于如下假設(shè)：所考慮的模型中有一個(gè)是正確模型。對(duì)于正確模型，，對(duì)于不正確模型，。因此，選擇最小的模型一般就能選出正確模型。由于最小化與最大化是一回事，我們習(xí)慣上稱(chēng)該準(zhǔn)則為最大準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的主要問(wèn)題是，一個(gè)包括正確模型的所有解釋變量但同時(shí)也包括一些無(wú)關(guān)變量的模型也會(huì)給出，在這種情況下，我們所選擇的其實(shí)并非正確模型。當(dāng)備選模型包含大量無(wú)關(guān)變量時(shí)，選出正確模型的概率較低。第19頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小的三個(gè)準(zhǔn)則希爾的準(zhǔn)則是基于回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，下列三個(gè)準(zhǔn)則則是基于預(yù)測(cè)的均方誤差（MSE）最小。這三個(gè)準(zhǔn)則是：馬婁斯（Mallows）的準(zhǔn)則霍金（Hocking）的準(zhǔn)則阿美米亞（Amemiya）的PC準(zhǔn)則

假設(shè)正確的方程有k個(gè)解釋變量，我們考慮的方程有個(gè)解釋變量，問(wèn)題是如何選擇k1以及具體的k1個(gè)解釋變量的集合。在上述三個(gè)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則中，這是通過(guò)使的均方誤差達(dá)到最小實(shí)現(xiàn)的，其中是Y的未來(lái)值，而是預(yù)測(cè)值。第20頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

上述三個(gè)準(zhǔn)則都是基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小，但在估計(jì)預(yù)測(cè)的均方誤差時(shí)采用的假設(shè)有所不同，因而形成各自的計(jì)算公式，孰優(yōu)孰劣，并無(wú)定論，在實(shí)踐中可根據(jù)所用軟件提供的輸出結(jié)果選用其中一個(gè)作為模型選擇的準(zhǔn)則。具體做法是比較備選的幾個(gè)模型的、或PC值，選其中最小的即可。在三個(gè)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則的情況下，我們感興趣的是改善預(yù)測(cè)的MSE，只要能改善，可以去掉某些變量，即便是正確模型中包括它們也在所不惜。第21頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.赤池信息準(zhǔn)則（AIC）赤池信息準(zhǔn)則（Akaike’sInformationCriterion,AIC）是一個(gè)更一般的準(zhǔn)則，它可以應(yīng)用于任何一個(gè)可用極大似然法估計(jì)的模型。對(duì)于我們這里的應(yīng)用，AIC的計(jì)算公式為

與赤池信息準(zhǔn)則類(lèi)似的還有施瓦茨信息準(zhǔn)則（Schwarzinformationcriterion，SIC）：

上述兩個(gè)準(zhǔn)則與前述準(zhǔn)則一樣，可用于模型選擇，其值也是越小越好。第22頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五六.檢驗(yàn)誤設(shè)定的RESET方法

前面給出了選擇解釋變量的四條原則?？墒?，有時(shí)這些原則不能提供足夠的信息使研究人員確信其設(shè)定是最恰當(dāng)?shù)?，在這種情況下，可考慮使用一些更正規(guī)的檢驗(yàn)方法來(lái)比較不同估計(jì)方程的性質(zhì)。這類(lèi)方法相當(dāng)多，這里就不一一列出，僅介紹拉姆齊（J.B.Ramsey）的回歸設(shè)定誤差檢驗(yàn)法（RESET法,RegressionSpecificationErrorTest）。第23頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五RESET檢驗(yàn)法的思路

RESET檢驗(yàn)法的思路是在要檢驗(yàn)的回歸方程中加進(jìn)等項(xiàng)作為解釋變量，然后看結(jié)果是否有顯著改善。如有，則可判斷原方程存在遺漏有關(guān)變量的問(wèn)題或其它的誤設(shè)定問(wèn)題。直觀地看，這些添加的項(xiàng)是任何可能的遺漏變量或錯(cuò)誤的函數(shù)形式的替身，如果這些替身能夠通過(guò)F檢驗(yàn),表明它們改善了原方程的擬合狀況，則我們有理由說(shuō)原方程存在誤設(shè)定問(wèn)題。另一方面,等項(xiàng)形成多項(xiàng)式函數(shù)形式，多項(xiàng)式是一種強(qiáng)有力的曲線(xiàn)擬合裝置，因而如果存在（函數(shù)形式方面的）誤設(shè)定，則用這樣一個(gè)裝置可以很好地代表它們。第24頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五RESET檢驗(yàn)法的步驟拉姆齊RESET檢驗(yàn)的具體步驟是：(1)用OLS法估計(jì)要檢驗(yàn)的方程，得到

(2)由上一步得到的值（i=1,2,…,n），計(jì)算，然后用OLS法估計(jì)：

(3)用F檢驗(yàn)比較兩個(gè)方程的擬合情況（類(lèi)似于上一章中聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)采用的方法），如果兩方程總體擬合情況顯著不同，則我們得出原方程可能存在誤設(shè)定的結(jié)論。使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

第25頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其中：RSSM為第一步中回歸（有約束回歸）的殘差平方和，RSS為第二步中回歸（無(wú)約束回歸）的殘差平方和，M為約束條件的個(gè)數(shù)，這里是M=3。應(yīng)該指出的是，拉姆齊RESET檢驗(yàn)僅能檢驗(yàn)誤設(shè)定的存在，而不能告訴我們到底是哪一類(lèi)的誤設(shè)定，或者說(shuō)，不能告訴我們正確的模型是什么。但該方法畢竟能給出模型誤設(shè)定的信號(hào)，以便我們?nèi)ミM(jìn)一步查找問(wèn)題。另一方面，如果模型設(shè)定正確，RESET檢驗(yàn)使我們能夠排除誤設(shè)定的存在，轉(zhuǎn)而去查找其它方面的問(wèn)題。第26頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)多重共線(xiàn)性

應(yīng)用OLS法的一個(gè)假設(shè)條件是；矩陣X的秩=K+1<N。即自變量之間不存在嚴(yán)格的線(xiàn)性關(guān)系，觀測(cè)值個(gè)數(shù)大于待估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。這兩條無(wú)論哪一條不滿(mǎn)足，則OLS估計(jì)值的計(jì)算無(wú)法進(jìn)行，估計(jì)過(guò)程由于數(shù)學(xué)原因而中斷，就象分母為0一樣。

這兩種情況都很罕見(jiàn)。然而，自變量之間存在近似的線(xiàn)性關(guān)系則是很可能的事。當(dāng)某些解釋變量高度相關(guān)時(shí)，盡管估計(jì)過(guò)程不會(huì)中斷，但會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的估計(jì)問(wèn)題，我們稱(chēng)這種現(xiàn)象為多重共線(xiàn)性。解釋變量間存在嚴(yán)格線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱(chēng)為完全的多重共線(xiàn)性。第27頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一定義在實(shí)踐中，若兩個(gè)或多個(gè)解釋變量高度線(xiàn)性相關(guān)，我們就說(shuō)模型中存在多重共線(xiàn)性。二后果

1.不改變參數(shù)估計(jì)量的無(wú)偏性；這是因?yàn)?，盡管解釋變量之間存在多重共線(xiàn)性，但并不影響擾動(dòng)項(xiàng)和解釋變量觀測(cè)值的性質(zhì)，故仍有

事實(shí)上，對(duì)于不完全多重共線(xiàn)性，參數(shù)估計(jì)量仍為BLUE。第28頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.但各共線(xiàn)變量的參數(shù)的OLS估計(jì)值方差很大，即估計(jì)值精度很低。（BLUE表明在各線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量中方差最小，但不等于方差的值很小。）

3由于若干個(gè)X變量共變，它們各自對(duì)因變量的影響無(wú)法確定。

4.各共線(xiàn)變量系數(shù)估計(jì)量的t值低，使得犯第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤的可能性增加。由于各共線(xiàn)變量的參數(shù)的OLS估計(jì)值方差大，因而系數(shù)估計(jì)量的t值低，使得我們犯第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤（接受錯(cuò)誤的原假設(shè)H0:βj=0）的可能性增加，容易將本應(yīng)保留在模型中的解釋變量舍棄了。第29頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三多重共線(xiàn)性的判別和檢驗(yàn)1．根據(jù)回歸結(jié)果判別判別是否存在多重共線(xiàn)性的最簡(jiǎn)單方法是分析回歸結(jié)果。如果發(fā)現(xiàn):

系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)不對(duì)；某些重要的解釋變量t值低，而R2不低；當(dāng)一不太重要的解釋變量被刪除后，回歸結(jié)果顯著變化。則可能存在多重共線(xiàn)性。其中上述第二種現(xiàn)象是多重共線(xiàn)性存在的典型跡象。此方法簡(jiǎn)便易行，因而是實(shí)踐中最常用的方法，缺點(diǎn)是無(wú)法確診。第30頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．使用相關(guān)矩陣檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)軟件一般提供各解釋變量?jī)蓛芍g的相關(guān)系數(shù)矩陣，如發(fā)現(xiàn)某些相關(guān)系數(shù)高（絕對(duì)值高于0.8或0.90），則表明多重共線(xiàn)性存在。但即使解釋變量?jī)蓛芍g的相關(guān)系數(shù)都低，也不能排除存在多重共線(xiàn)性的可能性。3．通過(guò)條件指數(shù)檢驗(yàn)條件指數(shù)（Conditionindex）或條件數(shù)Conditionnumber）是X’X矩陣的最大和最小特征根之比的平方根，條件指數(shù)高，表明存在多重共線(xiàn)性。至于什么程度算高，也沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)。通常認(rèn)為大于10即存在多重共線(xiàn)性，大于30表明存在嚴(yán)重多重共線(xiàn)性。大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件提供此檢驗(yàn)值。第31頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

4.使用VIF檢驗(yàn)

VIF是方差膨脹因子的英文(VarianceInflationFactors)縮寫(xiě),這是一種比較正規(guī)的檢驗(yàn)方法。該方法通過(guò)檢查指定的解釋變量能夠被回歸方程中其它全部解釋變量所解釋的程度來(lái)檢測(cè)多重共線(xiàn)性。

方程中每個(gè)解釋變量有一個(gè)VIF，該VIF是關(guān)于多重共線(xiàn)性使相應(yīng)的系數(shù)估計(jì)值的方差增大了多少的一個(gè)估計(jì)值。高VIF表明多重共線(xiàn)性增大了系數(shù)估計(jì)值的方差，從而產(chǎn)生一個(gè)減小了的t值。

VIF檢驗(yàn)的具體步驟如下：第32頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

設(shè)原方程為：

Y=0+1X1+2X2+…+kXk+u我們需要計(jì)算K個(gè)不同的VIF，每個(gè)Xi一個(gè)。為指定Xi計(jì)算VIF涉及以下三步：（1）Xi對(duì)原方程中其它全部解釋變量進(jìn)行OLS回歸，例如，若i

=1，則回歸下面的方程：

X1=1+2X2+3X3+…+kXk+v（2）計(jì)算方差膨脹因子(VIF)：

其中Ri2是第一步輔助回歸的決定系數(shù)。第33頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3）分析多重共線(xiàn)性的程度VIF越高,多重共線(xiàn)性的影響越嚴(yán)重。由于沒(méi)有VIF臨界值表，我們只能使用經(jīng)驗(yàn)法則：若，則存在嚴(yán)重多重共線(xiàn)性。也有人建議用VIF>10作為存在嚴(yán)重多重共線(xiàn)性的標(biāo)準(zhǔn),特別在解釋變量多的情形應(yīng)當(dāng)如此。需要指出的是，所有VIF值都低，并不能排除嚴(yán)重多重共線(xiàn)性的存在，這與使用相關(guān)系數(shù)矩陣檢驗(yàn)的情況相似。第34頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

四解決多重共線(xiàn)性的方法

思路：加入額外信息。具體方法有以下幾種：增加數(shù)據(jù)對(duì)模型施加某些約束條件刪除一個(gè)或幾個(gè)共線(xiàn)變量將模型適當(dāng)變形1．增加數(shù)據(jù)多重共線(xiàn)性實(shí)質(zhì)上是數(shù)據(jù)問(wèn)題，因此，增加數(shù)據(jù)就有可能消除或減緩多重共線(xiàn)性，具體方法包括增加觀測(cè)值、利用不同的數(shù)據(jù)集或采用新的樣本。第35頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：需求函數(shù)Yt=β1+β2Xt+β3Pt+ut

在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，收入（X）和價(jià)格（P）往往是高度相關(guān)的，用時(shí)間序列數(shù)據(jù)估計(jì)往往會(huì)產(chǎn)生多重共線(xiàn)性。然而，在橫截面數(shù)據(jù)中，則不存在這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)槟硞€(gè)特定時(shí)點(diǎn)P為常數(shù)。如果取一橫截面樣本（如從5000個(gè)家庭取得的數(shù)據(jù)），則可用來(lái)估計(jì)

Yi=α1+α2Xi+ui

然后將得到的估計(jì)值作為一個(gè)約束條件（β2=

）施加于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的回歸計(jì)算中，即估計(jì)

Yt

-Xt=β1+β3Pt+ut

，得到，。第36頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．對(duì)模型施加某些約束條件

在存在多重共線(xiàn)性的模型中，依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論施加某些約束條件，將減小系數(shù)估計(jì)量的方差，如在Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)中加進(jìn)規(guī)模效益不變的約束，可解決資本和勞動(dòng)的高度相關(guān)而引起的多重共線(xiàn)性問(wèn)題。

3．刪除一個(gè)或幾個(gè)共線(xiàn)變量

這樣做，實(shí)際上就是利用給定數(shù)據(jù)估計(jì)較少的參數(shù)，從而降低對(duì)觀測(cè)信息的需求，以解決多重共線(xiàn)性問(wèn)題。刪除哪些變量，可根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果確定。應(yīng)注意的是，這種做法可能會(huì)使得到的系數(shù)估計(jì)量產(chǎn)生偏倚，因而需要權(quán)衡利弊。

第37頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4．將模型適當(dāng)變形例1．某商品的需求函數(shù)為：其中：Q=需求量，X=收入，

P=該商品的價(jià)格，P*=替代商品的價(jià)格在實(shí)際數(shù)據(jù)中，P和P*往往呈同方向變動(dòng)，它們之間高度相關(guān)，模型存在多重共線(xiàn)性。如果我們僅要求在知道兩種商品的相對(duì)價(jià)格變動(dòng)時(shí)，對(duì)需求量進(jìn)行預(yù)測(cè)，則可將需求函數(shù)變?yōu)椋?/p>

就可以解決多重共線(xiàn)性問(wèn)題。第38頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2．有滯后變量的情形

Yt=β1+β2Xt+β3Xt-1+ut

一般而言，Xt和Xt–1往往高度相關(guān)，將模型變換為：

Yt=β1+β2（Xt

-Xt–1）+β3′Xt-1+ut

其中β3′=β3+β2

經(jīng)驗(yàn)表明：△Xt和Xt–1的相關(guān)程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和Xt和Xt–1的相關(guān)程度，因而這種變換有可能消除或減緩多重共線(xiàn)性。第39頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5．主成分法可將共線(xiàn)變量組合在一起形成一個(gè)綜合指數(shù)(變量)，用它來(lái)代表這組變量。構(gòu)造綜合指數(shù)的最常用方法是主成分法。主成分法的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，這里不做介紹。

主成分的特點(diǎn)是，各主成分之間互不相關(guān)，并且，用很少幾個(gè)主成分就可以解釋全部X變量的絕大部分方差，因而在出現(xiàn)多重共線(xiàn)性時(shí)，可以用主成分替代原有解釋變量進(jìn)行回歸計(jì)算，然后再將所得到的系數(shù)還原成原模型中的參數(shù)估計(jì)值。第40頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五五.處理多重共線(xiàn)性問(wèn)題的原則1.多重共線(xiàn)性是普遍存在的，輕微的多重共線(xiàn)性問(wèn)題可不采取措施。3.如果模型僅用于預(yù)測(cè)，則只要擬合好，可不處理多重共線(xiàn)性問(wèn)題，存在多重共線(xiàn)性的模型用于預(yù)測(cè)時(shí)，往往不影響預(yù)測(cè)結(jié)果。2.嚴(yán)重的多重共線(xiàn)性問(wèn)題，一般可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或通過(guò)分析回歸結(jié)果發(fā)現(xiàn)。如影響系數(shù)的符號(hào)，重要的解釋變量t值很低。要根據(jù)不同情況采取必要措施。第41頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n.擾動(dòng)項(xiàng)均值為0

（2）Cov(ui,uj)=E(uiuj)=0,i≠j.擾動(dòng)項(xiàng)相互獨(dú)立（3）Var(ut)=E(ut2)=2

,t=1,2,…,n.常數(shù)方差（4）ut

～N(0,2).正態(tài)性

對(duì)于（1），我們可論證其合理性。而第（4）條，也沒(méi)有多大問(wèn)題。大樣本即可假定擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布。而對(duì)于（2），（3）兩條，則無(wú)法論證其合理性。實(shí)際問(wèn)題中，這兩條不成立的情況比比皆是。下面將討論它們不成立的情況，即異方差性和自相關(guān)的情形。第三節(jié)異方差性

回顧我們應(yīng)用OLS法所需假設(shè)條件，其中大部分是有關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，它們是：第42頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一異方差性及其后果1． 定義若Var(ut)==常數(shù)的假設(shè)不成立，即

Var(ut)=≠常數(shù)，則稱(chēng)擾動(dòng)項(xiàng)具有異方差性。2． 什么情況下可能發(fā)生異方差性問(wèn)題？解釋變量取值變動(dòng)幅度大時(shí)，常數(shù)方差的假設(shè)往往難以成立。異方差性主要發(fā)生在橫截面數(shù)據(jù)的情況，時(shí)間序列問(wèn)題中一般不會(huì)發(fā)生，除非時(shí)間跨度過(guò)大。第43頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：Yi=α+βXi+ui

其中：Y=指定規(guī)模和組成的家庭每月消費(fèi)支出

X=這樣的家庭的每月可支配收入設(shè)X的N個(gè)觀測(cè)值取自一個(gè)家庭可支配收入的橫截面樣本。某些家庭接近于勉強(qiáng)維持生存的水平，另一些家庭則有很高的收入。

不難設(shè)想，低收入家庭的消費(fèi)支出不大可能離開(kāi)他們的均值E(Y)過(guò)遠(yuǎn)，太高無(wú)法支持，太低則消費(fèi)將處于維持生存的水平之下。因此，低收入家庭消費(fèi)支出額的波動(dòng)應(yīng)當(dāng)較小，因而擾動(dòng)項(xiàng)具有較小的方差。而高收入家庭則沒(méi)有這種限制，其擾動(dòng)項(xiàng)可能有大得多的方差。這就意味著異方差性。第44頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

3．異方差性的后果（1）參數(shù)估計(jì)量不再具有最小方差的性質(zhì)異方差性不破壞OLS估計(jì)量的無(wú)偏性，但不再是有效的。事實(shí)上，異方差性的存在導(dǎo)致OLS估計(jì)量既不是有效的，也不具有漸近有效性。（2）系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)失去意義更為嚴(yán)重的是，在異方差性的情況下，矩陣主對(duì)角元素不再是OLS估計(jì)量方差的無(wú)偏估計(jì)量，從而導(dǎo)致系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴(lài)。

第45頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二異方差性的檢驗(yàn)

異方差性后果的嚴(yán)重性意味著我們?cè)趯?shí)踐中必須了解是否存在異方差性。

常用的檢驗(yàn)方法有：

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)法(SpearmanRankRelationtest)

戈德弗爾德—匡特檢驗(yàn)法(GoldfeldQuandttest)

格里瑟檢驗(yàn)法（Glesjertest）帕克檢驗(yàn)法（Parktest）懷特檢驗(yàn)法(White’sGeneralHeteroscedasticitytest)

布魯奇－帕根檢驗(yàn)法(Breusch-PaganTest)第46頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1．斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)法

思路：將異方差性與擾動(dòng)項(xiàng)u和某個(gè)解釋變量X之間的相關(guān)程度掛鉤（即與Xt的大小有關(guān)），從而將對(duì)異方差性的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)ut與Xt的相關(guān)程度的研究。由于擾動(dòng)項(xiàng)無(wú)法觀測(cè)，因而用殘差代替之，轉(zhuǎn)化為對(duì)et與Xt的相關(guān)程度的研究，若et與Xt高度相關(guān)，則可推斷異方差性存在。

第47頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

問(wèn)題是，在此無(wú)法用常規(guī)相關(guān)系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)，因?yàn)閑t與Xt的相關(guān)系數(shù)恒等于0：因而改用Xt和︱et︳的等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)et和Xt的相關(guān)程度。第48頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算步驟（1）將兩變量的相應(yīng)觀測(cè)值分別按升序（或降序）排序，所得到的序號(hào)即為等級(jí)；（2）計(jì)算兩變量各觀測(cè)值相應(yīng)的等級(jí)之差dt；（3）計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)

第49頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算假設(shè)我們有Xt和et如下：

Xt25，40，52，58，65et1.6，-2.9，-10.7，–14.8，5.7我們有︱et︳1.6，2.9，10.7，14.8，5.7Xt的等級(jí)︱et︳的等級(jí)dt

1 1 0 2 2 0 3 4 -1 4 5 -1 5 3 2

r=1–(6*6)/(5*24)=1-0.3=0.7

第50頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

計(jì)算出等級(jí)相關(guān)系數(shù)后，就可判斷異方差性是否存在。若相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值高，則存在異方差性。對(duì)于多個(gè)解釋變量的情況，可分別計(jì)算︱et︳與各解釋變量的等級(jí)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。第51頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2.戈德弗爾德——匡特檢驗(yàn)法基本思路：假定隨Yt的數(shù)值大小變動(dòng)。檢驗(yàn)步驟：（1）將數(shù)據(jù)分為三組：小Yt值組，中Yt值組，大Yt值組（數(shù)據(jù)項(xiàng)大致相等）（2）對(duì)小Yt值組估計(jì)模型，給出

（3）對(duì)大Yt值組估計(jì)模型，給出

第52頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（4）H0：

H1：（或）

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F0=

～F（n3-k-1,n1-k-1）若F0＞Fc，則拒絕H0，存在異方差性。

第53頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：S=α+βY+u其中：S=儲(chǔ)蓄Y=收入設(shè)1951—60年，=0.016251970—79年，

=0.9725F0=0.9725/0.01625=59.9

查表得:d.f.為（8，8）時(shí)，5%Fc=3.44∵F0＞Fc因而拒絕H0。結(jié)論：存在異方差性。第54頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.懷特檢驗(yàn)(White’sGeneralHeteroscedasticityTest)

懷特提出的檢驗(yàn)異方差性的方法在實(shí)踐中用起來(lái)很方便，下面用一個(gè)三變量線(xiàn)性模型扼要說(shuō)明其檢驗(yàn)步驟。設(shè)模型如下：White檢驗(yàn)步驟如下：（1）用OLS法估計(jì)（1）式，得到殘差ei；（2）進(jìn)行如下輔助回歸即殘差平方對(duì)所有原始變量、變量平方以及變量交叉積回歸，得到R2值；第55頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0：不存在異方差性（即方程（2）全部斜率系數(shù)均為零）

備擇假設(shè)H1：存在異方差性(即H0不成立)

懷特證明了下面的命題：在原假設(shè)H0成立的情況下，從（2）式得到的R2值與觀測(cè)值數(shù)目（n）的乘積（n×R2）服從自由度為k的2分布，自由度k為(2)式中解釋變量的個(gè)數(shù)。即

n·R2

~

2(k)

因此，懷特檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就是n·R2

，其抽樣分布為自由度為k的2分布。檢驗(yàn)步驟類(lèi)似于t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)。第56頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三廣義最小二乘法1．消除異方差性的思路基本思路：變換原模型，使經(jīng)過(guò)變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于模型

Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut

（1）若擾動(dòng)項(xiàng)滿(mǎn)足E(ut)=0，E(uiuj)=0,i≠j，但E(ut2)=σt2≠常數(shù).

也就是說(shuō)，該模型只有同方差性這一條件不滿(mǎn)足，則只要能將具有異方差性的擾動(dòng)項(xiàng)的方差表示成如下形式：

第57頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

由于所以變換后的擾動(dòng)項(xiàng)的方差為常數(shù)，可以應(yīng)用OLS法進(jìn)行估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)量為BLUE。但這里得到的OLS估計(jì)量是變模后模型（2）的OLS估計(jì)量。對(duì)于原模型而言，它已不是OLS估計(jì)量，稱(chēng)為廣義最小二乘估計(jì)量（GLS估計(jì)量）。

其中為一未知常數(shù)，表示一組已知數(shù)值，則用λt去除模型各項(xiàng)，得變換模型:第58頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2． 廣義最小二乘法(Generalizedleastsquares)

下面用矩陣形式的模型來(lái)推導(dǎo)出GLS估計(jì)量的一般計(jì)算公式。設(shè)GLS模型為Y=Xβ+u

（1）滿(mǎn)足E(u）=0，E(uu′)=2Ω，X

非隨機(jī)，

X的秩=K+1＜n,其中Ω為正定矩陣。

第59頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

根據(jù)矩陣代數(shù)知識(shí)可知，對(duì)于任一正定矩陣Ω，存在著一個(gè)滿(mǎn)秩（非退化，非奇異）矩陣P，使得用P-1左乘原模型（1）（對(duì)原模型進(jìn)行變換）：令Y*=P-1Y

，X*=P-1X，u*=P-1u，得到

Y*=X*β+u*

（2）

下面的問(wèn)題是，模型（2）的擾動(dòng)項(xiàng)u*是否滿(mǎn)足OLS法的基本假設(shè)條件。第60頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五我們有第61頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這表明，模型（2）中的擾動(dòng)項(xiàng)u*滿(mǎn)足OLS法的基本假設(shè)，可直接用OLS估計(jì)，估計(jì)量向量這就是廣義最小二乘估計(jì)量（GLS估計(jì)量）的公式，該估計(jì)量是BLUE。從上述證明過(guò)程可知，我們可將GLS法應(yīng)用于Ω為任意正定矩陣的情形。第62頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果只存在異方差性，則其中我們顯然有第63頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第64頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四廣義最小二乘法的應(yīng)用1．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定Ω矩陣應(yīng)用GLS法的關(guān)鍵是確定Ω矩陣。對(duì)于僅存在異方差性的實(shí)際問(wèn)題，Ω矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，即

現(xiàn)在的問(wèn)題是，的值為已知這一假設(shè)是否現(xiàn)實(shí)，也就是我們能否根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，提出有關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)方差的某種合理的設(shè)想（即估計(jì)Ω矩陣），使得

（為未知常數(shù)，為已知數(shù)值）第65頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例1Yt=β1+β2Xt+utt=1,2,…,n.其中Y=家庭消費(fèi)支出X=家庭可支配收入我們?cè)谇懊嬉逊治鲞^(guò)，高收入家庭有較大的擾動(dòng)項(xiàng)方差，因此不妨假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與可支配收入成正比，即Var(ut)=δXt,t=1,2,…,n.

式中δ是一未知常數(shù)，由于Xt為已知，相當(dāng)于，而δ相當(dāng)于，因此

應(yīng)用GLS法，即可得出β的GLS估計(jì)量。第66頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．格里瑟檢驗(yàn)法（Glesjertest）

在上例中我們假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量的取值成正比，這種假設(shè)是否真正合理呢？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和分析做出的這種假設(shè)，雖然有一定道理，但未免顯得過(guò)于武斷，這方面還可做一些比較細(xì)致的工作。

Glesjer檢驗(yàn)法不僅可檢驗(yàn)異方差性的存在，還可用于提供有關(guān)異方差形式的進(jìn)一步信息，對(duì)于確定Ω矩陣很有用，下面我們扼要說(shuō)明格里瑟檢驗(yàn)法的思路和步驟。

第67頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五格里瑟檢驗(yàn)法的思路格里瑟檢驗(yàn)法的思路是假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量之間存在冪次關(guān)系，方法是用對(duì)被認(rèn)為與擾動(dòng)項(xiàng)方差有關(guān)的解釋變量回歸，確定和該解釋變量的關(guān)系。由于與該解釋變量之間關(guān)系的實(shí)際形式是未知的，因此需要用該解釋變量的不同冪次進(jìn)行試驗(yàn)，選擇出最佳擬合形式。具體步驟如下：第68頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

(1)因變量Y對(duì)所有解釋變量回歸，計(jì)算殘差et

（t=1,2,…,n）（2）對(duì)所選擇解釋變量的各種冪次形式回歸，如然后利用決定系數(shù)，選擇擬合最佳的函數(shù)形式。（3）對(duì)β1進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若顯著異于0，則表明存在異方差性，否則再試其它形式。第69頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例2Yt=β1+β2X1t+…+βkXkt+ut

假設(shè)我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道擾動(dòng)項(xiàng)方差與Xjt有關(guān)，并用格里瑟法試驗(yàn)，得出：

則

第70頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3．加權(quán)最小二乘法對(duì)于僅存在異方差性的問(wèn)題，其Ω矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，即在這種情況下應(yīng)用廣義最小二乘法，也就是在原模型兩端左乘矩陣變換原模型，再對(duì)變換后的模型應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。第71頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這種作法實(shí)際上等價(jià)于在代數(shù)形式的原模型

Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut

的兩端除以

t，得變換模型：相當(dāng)于在回歸中給因變量和解釋變量的每個(gè)觀測(cè)值都賦予一個(gè)與相應(yīng)擾動(dòng)項(xiàng)的方差相聯(lián)系的權(quán)數(shù)，然后再對(duì)這些變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行OLS回歸，因而被稱(chēng)為加權(quán)最小二乘法（WLS法,WeightedLeastSquares）。第72頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

加權(quán)最小二乘法是廣義最小二乘法的一個(gè)特例，在Ω矩陣為對(duì)角矩陣這種特殊情形下，我們既可以直接應(yīng)用矩陣形式的廣義最小二乘估計(jì)量公式得到GLS估計(jì)值，亦可避開(kāi)矩陣運(yùn)算，采用加權(quán)最小二乘法得到其WLS估計(jì)值，兩者結(jié)果完全相同，無(wú)論你稱(chēng)之為GLS估計(jì)值還是WLS估計(jì)值，二者是一碼事。例:

其中：Y=R&D支出，X=銷(xiāo)售額采用美國(guó)1988年18個(gè)行業(yè)的數(shù)據(jù)估計(jì)上述方程，結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為t值）：第73頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

這里是橫截面數(shù)據(jù)，由于行業(yè)之間的差別，可能存在異方差性。

假設(shè)

應(yīng)用格里瑟法試驗(yàn)，得到異方差性形式為：將原模型（1）的兩端除以，得第74頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

用OLS法估計(jì)（2）式，結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為t值）：

與（1）式的結(jié)果比較，兩個(gè)方程斜率系數(shù)的估計(jì)值相差不大，但采用WLS法估計(jì)的比直接用OLS法估計(jì)的系數(shù)更為顯著，這表明OLS法高估了X系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。第75頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)自相關(guān)一定義

若Cov(ui,uj)=E(uiuj)=0,i≠j不成立，即線(xiàn)性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)的方差—協(xié)方差矩陣的非主對(duì)角線(xiàn)元素不全為0，則稱(chēng)為擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)，或序列相關(guān)（SerialCorrelation）。二自相關(guān)的原因及后果1．原因自相關(guān)主要發(fā)生在時(shí)間序列數(shù)據(jù)的情形，因而亦稱(chēng)為序列相關(guān)，主要有以下兩種原因：第76頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（1）沖擊的延期影響（慣性）在時(shí)間序列數(shù)據(jù)的情況下，隨機(jī)沖擊（擾動(dòng)）的影響往往持續(xù)不止一個(gè)時(shí)期。例如，地震、洪水、罷工或戰(zhàn)爭(zhēng)等將在發(fā)生期的后續(xù)若干期中影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。微觀經(jīng)濟(jì)中也與此類(lèi)似，如一個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)量，由于某種外部偶然因素的影響（如某種原材料的供應(yīng)出了問(wèn)題），該廠(chǎng)某周產(chǎn)量低于正常水平，那么，隨后的一周或幾周中，由于這種影響的存在或延續(xù)，產(chǎn)量也很可能低于正常水平（即擾動(dòng)項(xiàng)為負(fù)）。不難看出，觀測(cè)的周期越長(zhǎng)，這種延期影響的嚴(yán)重性就越小，因此，年度數(shù)據(jù)比起季度數(shù)據(jù)來(lái)，序列相關(guān)成為一個(gè)問(wèn)題可能性要小。第77頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（2）誤設(shè)定如果忽略了一個(gè)有關(guān)的解釋變量，而該變量是自相關(guān)的，則將使擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)，不正確的函數(shù)形式也將導(dǎo)致同樣后果。在這些情況下，解決的方法是糾正誤設(shè)定。本章后面將介紹的糾正自相關(guān)的方法都不適用于這種情況的自相關(guān)。第78頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．后果

自相關(guān)的后果與異方差性類(lèi)似。（1）在擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)的情況下，盡管OLS估計(jì)量仍為無(wú)偏估計(jì)量，但不再具有最小方差的性質(zhì),

即不是BLUE。（2）OLS估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差不再是真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的無(wú)偏估計(jì)量，使得在自相關(guān)的情況下，無(wú)法再信賴(lài)回歸參數(shù)的置信區(qū)間或假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。第79頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三自相關(guān)的檢驗(yàn)1．檢驗(yàn)一階自相關(guān)的德賓—沃森檢驗(yàn)法（Durbin—Watsontest）（1）一階自相關(guān)自相關(guān)的最簡(jiǎn)單模式為：

其中ρ稱(chēng)為自相關(guān)系數(shù)（-1≤ρ≤1），這種擾動(dòng)項(xiàng)的自相關(guān)稱(chēng)為一階自相關(guān)，即擾動(dòng)項(xiàng)僅與其前一期的值有關(guān)。

ρ>0正自相關(guān)

ρ<0負(fù)自相關(guān)

ρ=0無(wú)自相關(guān)第80頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

在一階自相關(guān)模式中，假定εt具有以下性質(zhì)：

E(εt)=0,E(εt2)=σ2=常數(shù)，

E(εiεj)=0,i≠j,εt服從正態(tài)分布。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，具備上述性質(zhì)的量稱(chēng)為白噪聲（Whitenoise），表示為

εt=Whitenoise

或

εt=白噪聲第81頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（2）德賓—沃森檢驗(yàn)法(Durbin－Watsondtest)

統(tǒng)計(jì)軟件包和研究報(bào)告在提供回歸結(jié)果時(shí)通常都給出DW（或d）統(tǒng)計(jì)量的值，該統(tǒng)計(jì)量是從OLS回歸的殘差中計(jì)算得來(lái)的，它被用于一階自相關(guān)的檢驗(yàn)，計(jì)算公式為：

第82頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五DW和一階自相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值之間存在以下近似關(guān)系（具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)書(shū)上P135－136)：

DW≈2-2

由于-1≤ρ≤1，因而0≤DW≤4。不難看出，直觀判斷準(zhǔn)則是，當(dāng)DW統(tǒng)計(jì)量接近2時(shí)，則無(wú)自相關(guān)，DW值離2越遠(yuǎn)，則自相關(guān)存在的可能性越大。第83頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五DW檢驗(yàn)的缺陷

我們當(dāng)然期望有一張能夠給出相應(yīng)的n、k和α值下各種DW臨界值的表（就象t檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)一樣），使得我們可以按常規(guī)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)菢痈鶕?jù)臨界值作出判斷。不幸的是，DW統(tǒng)計(jì)量的分布依賴(lài)于解釋變量的具體觀測(cè)值（即依賴(lài)于X矩陣）。因此不象t、F檢驗(yàn)?zāi)菢?，有一張能夠給出DW臨界值的表。為解決這一問(wèn)題，德賓和沃森證明，DW統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)分布位于兩個(gè)極限分布之間，這兩個(gè)分布分別稱(chēng)為下分布和上分布，如下圖所示：第84頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五概率密度

下分布上分布

0ABCDDW值

每個(gè)分布的95%臨界水平用A，B，C，D表示。第85頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

現(xiàn)假設(shè)DW統(tǒng)計(jì)量的值位于A的左邊，則不管這種情況下的DW統(tǒng)計(jì)量服從何種分布（上，下或中間），無(wú)自相關(guān)的原假設(shè)將被拒絕。與此類(lèi)似，若DW統(tǒng)計(jì)量的值位于D的右邊，則亦可拒絕無(wú)自相關(guān)的原假設(shè)。若DW統(tǒng)計(jì)量的值位于B和C之間，則可接受原假設(shè)。而當(dāng)DW統(tǒng)計(jì)量的值位于A和B之間或C和D之間時(shí)，則無(wú)法得出結(jié)論。上述分析可以概括為：

DW<A或DW>D存在自相關(guān)

B<DW<C無(wú)自相關(guān)

A<DW<B或C<DW<D無(wú)結(jié)論區(qū)

第86頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

德賓和沃森據(jù)此導(dǎo)出了一個(gè)下界dL和一個(gè)上界du來(lái)檢驗(yàn)自相關(guān)，dL和du僅依賴(lài)于觀測(cè)值的數(shù)目n、解釋變量k，以及顯著性水平α，而不依賴(lài)于解釋變量所取的值。（請(qǐng)參閱DW表,P252）無(wú)結(jié)論區(qū)的存在是DW法的最大缺陷。

實(shí)際的檢驗(yàn)程序可用下面的示意圖說(shuō)明。第87頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

正自相關(guān)無(wú)結(jié)論區(qū)無(wú)自相關(guān)無(wú)結(jié)論區(qū)負(fù)自相關(guān)

0dL du 24—du4—dL4第88頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五檢驗(yàn)程序如下：用OLS法對(duì)原模型進(jìn)行回歸，得殘差et

(t=1,2,…,n)。

(2)計(jì)算DW值（計(jì)算機(jī)程序給出DW值）。

(3)用N，K和α查表得dL，dU。（4）判別

若DW＜dL，存在自相關(guān)若dL＜DW＜dU，無(wú)結(jié)論若dU

＜DW，無(wú)自相關(guān)若DW>2，則令DW′=4-DW，按上述準(zhǔn)則進(jìn)行判。若DW＜2第89頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例：DW=3.5，則DW′=4-3.5=0.5

查表（n=30,k=2,α=5%）得：

dL=1.28

DW′=0.5

＜1.28

結(jié)論：存在自相關(guān)。第90頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

2．其它檢驗(yàn)自相關(guān)的方法

DW檢驗(yàn)法只能檢驗(yàn)一階自相關(guān)，并且，如果方程中包括滯后因變量（如Yt-1,Yt-2等）時(shí)，用DW法檢驗(yàn)容易產(chǎn)生偏差。因此，在碰到較復(fù)雜的情形，我們應(yīng)采用一些其它檢驗(yàn)自相關(guān)的方法。下面列出幾種方法及其適用環(huán)境。檢驗(yàn)方法適用環(huán)境Durbin-Watsond檢驗(yàn)法一階自相關(guān)，方程中無(wú)Y的滯后項(xiàng)Durbin’sh檢驗(yàn)法一階自相關(guān)，方程中有Yt-1Box-Pierce檢驗(yàn)法一般自相關(guān)（一階、二階、…、K階）LM檢驗(yàn)法一般自相關(guān)（一階、二階、…、K階）第91頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五*3.高階自相關(guān)的檢驗(yàn)：LM檢驗(yàn)法為解決DW檢驗(yàn)存在的缺陷，布魯奇（T.S.Breusch）和戈弗雷（L.G..Godfrey）在上世紀(jì)七十年代末期提出了檢驗(yàn)一般自相關(guān)的方法：布魯奇-戈弗雷法，由于該方法源自拉格朗日乘數(shù)原理，因此通常被稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法（LM法）?？紤]回歸模型A式中諸X也可以包括滯后因變量。第92頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五我們要檢驗(yàn)的是：，即擾動(dòng)項(xiàng)不存在任何階數(shù)的自相關(guān)。LM檢驗(yàn)步驟如下：

(1)用OLS法估計(jì)A式，得到最小二乘殘差；

(2)然后估計(jì)下面的方程：計(jì)算常規(guī)F統(tǒng)計(jì)值，第93頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3）檢驗(yàn)是否所有的系數(shù)都等于0。這里通常不用F檢驗(yàn)而用檢驗(yàn)，因?yàn)長(zhǎng)M檢驗(yàn)是大樣本檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為P的分布，即LM檢驗(yàn)的缺點(diǎn)是，滯后長(zhǎng)度P不能先驗(yàn)地確定，需要反復(fù)試，可以考慮用赤池和施瓦茨信息準(zhǔn)則來(lái)選擇滯后長(zhǎng)度。第94頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四消除自相關(guān)的方法

1．一階自相關(guān)如果實(shí)際問(wèn)題的自相關(guān)模式為一階自相關(guān)，則只要知道ρ，就可以完全消除自相關(guān)，下面用雙變量模型來(lái)說(shuō)明，但同樣的原理適用于多個(gè)解釋變量的情形。設(shè)Yt=α+βXt+ut

（1）

ut=ρut-1+εt

其中εt是白噪聲，且ρ≠0。（1）式兩端取一期滯后，得

Yt-1=α+βXt-1+ut

-1

（2）

第95頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（2）式兩端乘以ρ，得

ρYt-1=αρ+βρXt-1+ρut

-1

（3）（1）-（3），得：

Yt-ρYt-1=α(1-ρ)+β(Xt-ρXt-1)+(ut

-ρut

-1)