電動力學(xué)零二數(shù)學(xué)準(zhǔn)備2課件

附錄數(shù)學(xué)準(zhǔn)備(二)矢量代數(shù)梯度、散度和旋度關(guān)于散度和旋度的一些定理算符運算公式曲線正交坐標(biāo)系軸對稱情形下拉普拉斯方程的通解并矢和張量1在一般曲線正交坐標(biāo)系中，空間一點P的位置，用三個坐標(biāo)表示5.曲線正交坐標(biāo)系沿這些坐標(biāo)增加方向的單位矢量單位矢量按一定規(guī)則改變方向2以極坐標(biāo)為例3在曲線正交坐標(biāo)系中有一般公式56常用的曲線正交坐標(biāo)系：（1）柱坐標(biāo)系7（2）球坐標(biāo)系9106.軸對稱情形下拉普拉斯方程的通解在軸對稱情形下，拉普拉斯方程用球坐標(biāo)表示為11令此常數(shù)為n(n+1),則得兩個方程：13容易求出解為任意常數(shù)，由邊界條件確定14作代換變換角度方程15用簡單方法求出Pn(cos)的顯示式:當(dāng)r≠0時點電荷電勢為拉普拉斯方程的解。將下式描述的電勢代入即可驗證17對拉普拉斯方程作用算符為一解,若亦為一解亦為解18因此，拉普拉斯方程具有特解這些特解都具有形式…19可以證明Pn(cos)的一般表達式為217.并矢和張量一般,兩矢量ab并列即為并矢并矢是張量的一種特殊情形，為什么引入并矢?即為并矢一變形物體在外力作用下其各部分有內(nèi)力相互作用。為研究其內(nèi)力，將變形物體沿某個截面切開，切面的法向單位為n。在截面上某一點單位面積上作用的力矢量為f。f對截面的拉伸：22并矢：兩矢量并列，不做任何運算有9個分量23通過界面OBC單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T11，T21，T31通過界面OCA單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T12，T22，T32通過界面OAB單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T13，T23，T3325當(dāng)體積V→0時，通過這三個面流入體內(nèi)的動量等于從面元ABC流出的動量。因此，通過ABC面流出的動量各分量為26張量是具有9個分量的物理量當(dāng)這9個分量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下按一定方式變換時，由它們組成的物理量就稱為張量。并矢是張量的一種特殊情形。29可參考平面向量(二維,2個分量)的旋轉(zhuǎn)變換空間向量(三維,3個分量)的旋轉(zhuǎn)變換30Ox’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角1、1、1Oy’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角2、2、2Oz’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角3、3、331一般張量可以寫為（i,j=1，2，3)三個對角分量為1，其它分量為0。單位張量32可以作為張量的9個基直角坐標(biāo)系的單位基矢是在這9個基上的分量33并矢與矢量的點乘是一個矢量。（2）張量的代數(shù)運算并矢與矢量的點乘規(guī)則：一般而言34張量和矢量的點乘