2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)4教師用書(shū)：第1章 §8 第1課時(shí)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修4教師用書(shū)：第1章§8第1課時(shí)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像含解析§8函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像與性質(zhì)第1課時(shí)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解振幅、初相、相位、頻率等有關(guān)概念，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖像．2．理解并掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像的平移與伸縮變換．(重點(diǎn))3．掌握A，ω，φ對(duì)圖像形狀的影響．(難點(diǎn)）1。通過(guò)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖像，體會(huì)直觀想象素養(yǎng)．2．通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖像的平移與伸縮變換，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．1．參數(shù)A,φ，ω，b的作用（其中A〉0，ω>0)參數(shù)作用A，bA和b決定了該函數(shù)的值域和振幅，通常稱(chēng)A為振幅，值域?yàn)閇－A＋b，A＋b]φφ決定了x＝0時(shí)的函數(shù)值，通常稱(chēng)φ為初相ωω決定了函數(shù)的周期，其計(jì)算方式為T(mén)＝eq\f（2π,ω)，周期的倒數(shù)f＝eq\f(1，T）＝eq\f（ω,2π）為頻率思考1：函數(shù)y＝sinx，y＝sin2x和y＝sineq\f（1,2）x的周期分別是什么?當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，它們x的取值有什么關(guān)系?［提示]2π，π,4π.當(dāng)三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí)，y＝sin2x中x的取值是y＝sinx中x取值的eq\f（1，2），y＝sineq\f(1，2)x中x的取值是y＝sinx中x取值的2倍．2．平移變換(1)左右平移（相位變換）：對(duì)于函數(shù)y＝sin(x＋φ）（φ≠0)的圖像，可以看作是把y＝sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．（2)上下平移：對(duì)于函數(shù)y＝sinx＋b的圖像,可以看作是把y＝sinx的圖像上所有點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0時(shí)）或向下（當(dāng)b＜0時(shí))平行移動(dòng)|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．思考2:如何由y＝f(x)的圖像變換得到y(tǒng)＝f（x＋a)的圖像?[提示］向左（a>0)或向右(a〈0）平移｜a｜個(gè)單位．3．伸縮變換（1）振幅變換：對(duì)于函數(shù)y＝Asinx（A＞0,A≠1)的圖像可以看作是把y＝sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的．（2）周期變換：對(duì)于函數(shù)y＝sinωx（ω＞0，ω≠1）的圖像，可以看作是把y＝sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0＜ω＜1時(shí))到原來(lái)的eq\f（1，ω)倍(縱坐標(biāo)不變）而得到的．思考3：對(duì)于同一個(gè)x，函數(shù)y＝2sinx,y＝sinx和y＝eq\f(1，2)sinx的函數(shù)值有何關(guān)系？［提示]對(duì)于同一個(gè)x，y＝2sinx的函數(shù)值是y＝sinx的函數(shù)值的2倍，而y＝eq\f(1，2）sinx的函數(shù)值是y＝sinx的函數(shù)值的eq\f（1，2)。1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f(π,5）））的周期、振幅依次是()A．4π，－2 B．4π，2C．π，2 D．π，－2［答案］B2．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋｜sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：①f（x)是偶函數(shù)；②f（x)在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π))單調(diào)遞增;③f(x)在［－π，π］有4個(gè)零點(diǎn)；④f(x)的最大值為2。其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（)A．①②④ B．②④C．①④ D．①③C［法一：f（－x)＝sin｜－x|＋｜sin（－x)|＝sin｜x｜＋|sinx|＝f（x),∴f(x)為偶函數(shù)，故①正確;當(dāng)eq\f(π，2）＜x＜π時(shí)，f（x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，π)）單調(diào)遞減，故②不正確；f(x）在[－π,π]的圖像如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x）在［－π，π]只有3個(gè)零點(diǎn),故③不正確；∵y＝sin|x｜與y＝|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正確．綜上,正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故選C。法二：∵f(－x）＝sin|－x｜＋｜sin(－x）｜＝sin｜x｜＋|sinx｜＝f(x）,∴f（x）為偶函數(shù)，故①正確,排除B;當(dāng)eq\f(π，2）＜x＜π時(shí),f（x）＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f（x)在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）,π）)單調(diào)遞減,故②不正確，排除A；∵y＝sin｜x｜與y＝｜sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，∴f(x）的最大值為2，故④正確．故選C。］3．要得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4）)）的圖像只需將y＝sinx的圖像向________平移________個(gè)單位．［答案]左eq\f（π,4）4．函數(shù)y＝－2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，4))）的最大值為_(kāi)_______,最小值為_(kāi)_______．[答案]2－2五點(diǎn)作圖法【例1】用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）x－\f（π，4)））的簡(jiǎn)圖,并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、周期、頻率和初相．[解]（1)列表:xeq\f(π，2）eq\f(3π,2）eq\f（5π，2)eq\f(7π，2)eq\f（9π，2）eq\f（1，2)x－eq\f(π,4)0eq\f（π,2)πeq\f（3π,2)2πy030－30(2）描點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2),0）），eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2），3）），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5π,2），0)），eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π，2)，－3)）,eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（9π,2），0)）。(3)連線：將所得五點(diǎn)用光滑的曲線連起來(lái)，如圖所示．（4）這樣就得到了函數(shù)y＝3sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）x－\f（π，4）))在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，再將這部分圖像向左、向右平移4kπ（k∈Z）個(gè)單位長(zhǎng)度,得函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x－\f(π，4))）的圖像．此函數(shù)振幅為3，周期為4π，頻率為eq\f(1,4π）,初相為－eq\f(π，4）.五點(diǎn)法作圖關(guān)鍵是列表，一般有下面兩種列表方法：(1)分別令ωx＋φ＝0,eq\f(π，2)，π，eq\f（3π，2)，2π，再求出對(duì)應(yīng)的x,這體現(xiàn)了整體換元的思想．（2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－eq\f（φ，ω）,再把x0作為五點(diǎn)中第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依次遞加一個(gè)周期的eq\f(1，4)，就可得到其余四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．1．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）)）的簡(jiǎn)圖，并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、周期、頻率和初相．［解](1)列表：列表時(shí)2x＋eq\f（π,3）取值為0、eq\f(π，2)、π、eq\f(3π，2）、2π，再求出相應(yīng)的x值和y值．x－eq\f(π,6）eq\f(π,12）eq\f(π,3）eq\f(7π,12）eq\f(5π,6)2x＋eq\f（π,3)0eq\f(π,2）πeq\f（3π,2)2πy020－20(2)描點(diǎn)．（3）用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)所得圖像如圖所示．利用這類(lèi)函數(shù)的周期性，我們可以把上面所得到的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3）)），x∈R的簡(jiǎn)圖(圖略）。此函數(shù)的振幅為2，周期為π，頻率為eq\f(1,π）,初相為eq\f(π，3）。三角函數(shù)圖像的變換【例2】寫(xiě)出由y＝sinx的圖像變化到y(tǒng)＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)x－\f（π,4)）)的圖像的不同方法步驟．［解］法一：先平移再伸縮,過(guò)程如下：①把y＝sinx的圖像上所有的點(diǎn)向右平移eq\f（π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，4)))的圖像；②把y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f（π,4)））的圖像；③將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f（π，4）））的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變)，就得到y(tǒng)＝3sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f(π,4））)的圖像．法二：先伸縮再平移，過(guò)程如下：①把y＝sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sineq\f（1，2)x的圖像；②把y＝sineq\f(1,2)x的圖像向右平移eq\f（π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sineq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）x－\f(π,4)）)的圖像；③把y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x－\f（π,4)))的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）,就得到y(tǒng)＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）x－\f（π,4)）)的圖像．由y＝sinx的圖像，通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx＋φ)的圖像時(shí)，可以先相位變換，后周期變換，也可以先周期變換，后相位變換．兩種變換的順序不同,變換的量也有所不同，前者平移|φ|個(gè)單位,而后者則平移eq\f(｜φ｜，ω）個(gè)單位．不論哪一種變換，都是對(duì)字母x而言的，即看“變量”變化多少,而不是“角"變化多少．2．函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3)）)的圖像是由y＝sinx的圖像如何變換得到的？求函數(shù)的解析式［探究問(wèn)題］1．如何求A，b?[提示］A＝eq\f（ymax－ymin,2)，b＝eq\f（ymax＋ymin，2）.2．如何求ω？［提示]先求周期T，再求ω,其中ω＝eq\f（2π，T).3．如何求φ？［提示］由圖像上的點(diǎn)來(lái)求,通常選取波峰或波谷．【例3】如圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）(A>0,ω〉0，|φ|〈π）的圖像,由圖中條件，寫(xiě)出該函數(shù)的解析式．［思路探究］由圖像觀察函數(shù)周期、振幅、由特殊點(diǎn)法確定初相φ。［解]法一：(最值點(diǎn)法)由圖像可得ω＝eq\f(2,3），將最高點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），2））代入y＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)x＋φ)),得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）＋φ))＝2。所以eq\f（π,6）＋φ＝2kπ＋eq\f(π，2）。所以φ＝2kπ＋eq\f(π，3）（k∈Z）。又因?yàn)椋諀〈π，所以φ＝eq\f（π，3），又因?yàn)锳＝2，所以此函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f（π，3)）)。法二：(起始點(diǎn)法）由圖像求得ω＝eq\f（2,3)，x0＝－eq\f(π，2)，φ＝－ωx0＝－eq\f（2,3）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)））＝eq\f(π，3）.又因?yàn)锳＝2,所以此函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)x＋\f(π，3)））.1．(變條件）將例3中的圖像變?yōu)槿鐖D所示，試求函數(shù)的解析式．［解]法一：根據(jù)題意，A＝3，T＝eq\f（5π,6）－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)）)＝π，∴ω＝eq\f(2π，T）＝2，將點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，12)，3))代入y＝3sin(2x＋φ）中，3＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2×\f(π,12）＋φ))，∴sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ)）＝1，∴eq\f(π，6）＋φ＝eq\f(π,2)，即φ＝eq\f(π，3），從而所求函數(shù)解析式為y＝3sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)））.法二：由圖像知A＝3，又圖像過(guò)Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，12），3）),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7π,12）,－3）），根據(jù)五點(diǎn)作圖法的原理(M,N可視為“五點(diǎn)法”中的第二點(diǎn)和第四點(diǎn))，有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（π，12)ω＋φ＝\f（π,2），，\f（7π，12）ω＋φ＝\f(3，2）π，）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（ω＝2,，φ＝\f（π,3)，)）從而所求函數(shù)解析式是y＝3sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）)）。2.（變條件，變結(jié)論）將例3的函數(shù)變?yōu)閒（x）＝Asin（ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(A>0,ω〉0,|φ|〈\f(π，2)）），圖像變?yōu)槿鐖D所示，試求f(x)的解析式，并求S＝f（0）＋f（1）＋f（2)＋…＋f(2020)。[解］(1）由圖像知A＝eq\f(\f（3，2)－\f（1，2）,2）＝eq\f（1,2）,b＝eq\f(\f(3，2）＋\f(1，2)，2）＝1，ω＝eq\f（2π,T）＝eq\f（2π，4)＝eq\f（π,2）.∴f（x）＝eq\f（1，2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)x＋φ)）＋1。又∵點(diǎn)（0，1）在函數(shù)圖像上，∴f（0)＝1，即1＝eq\f(1，2）sinφ＋1,∴sinφ＝0.又|φ|〈eq\f（π,2)，故φ＝0，∴f(x）＝eq\f（1，2)sineq\f（π，2）x＋1.（2）由（1)知函數(shù)f（x)＝eq\f(1，2)sineq\f（π,2)x＋1,周期T＝eq\f(2π,\f(π,2）)＝4.∴S＝f（0)＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2020)＝f（0）＋[f(1）＋f(2）＋f(3）＋f(4）]×505.又∵f(0）＝1，f（1）＝eq\f(3,2)，f（2）＝1，f(3)＝eq\f(1，2）,f（4）＝1,∴S＝1＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）＋1＋\f(1，2)＋1））×505＝2021。由圖像或部分圖像確定解析式，在觀察圖像的基礎(chǔ)上可按以下規(guī)律來(lái)確定A，ω，φ，b：（1)A：一般由圖像上的最大值m、最小值n來(lái)確定A＝eq\f（m－n，2).(2）ω：因?yàn)門(mén)＝eq\f(2π,ω），所以往往通過(guò)求周期T來(lái)確定ω,可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)確定T,也可由相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為eq\f(T,2)；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)（或最低點(diǎn))之間的距離為T(mén)來(lái)確定．(3)φ:從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（φ，ω），0)）（也叫初始點(diǎn)）作為突破口，要從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)點(diǎn)的位置．依據(jù)五點(diǎn)列表法原理,點(diǎn)的序號(hào)與式子關(guān)系如下:“第一點(diǎn)”（即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0;“第二點(diǎn)”(即圖像曲線的“峰點(diǎn)”）為ωx＋φ＝eq\f（π，2）；“第三點(diǎn)"(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)"（即圖像曲線的“谷點(diǎn)”）為ωx＋φ＝eq\f(3π,2）；“第五點(diǎn)”（即圖像第二次上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝2π。在用以上方法確定φ的取值時(shí)，還要注意題目中給出的φ的限制條件．1．圖像變換是三角函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一．函數(shù)的各種變換都是自變量x或函數(shù)值y進(jìn)行的變換．圖像變換與函數(shù)變換緊密相連，相位變換是用x＋φ來(lái)代替y＝f(x)中的x，周期變換是用ωx(ω〉0）代替x,振幅變換是用eq\f(y,A）來(lái)代替y(A〉0）.2．圖像變換中，還常用以下三種變換:(1）y＝－sinx的圖像可由y＝sinx的圖像沿x軸翻折180°而得到．（2）y＝|sinx｜的圖像可由y＝sinx的圖像得到．其變化過(guò)程為在x軸上方的部分不變，在x軸下方的部分沿x軸翻折180°而得到．(3）y＝sin｜x｜的圖像可通過(guò)讓y＝sinx的圖像在y軸右邊的部分不變，y軸左邊的圖像由y軸右側(cè)的圖像關(guān)于y軸翻轉(zhuǎn)180°而得到．1．判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）(1）A的大小決定了函數(shù)的振幅． （）(2）ω的大小與函數(shù)的周期有關(guān)． （）(3)φ的大小決定了函數(shù)與y＝sinx的相對(duì)位置． (）(4)b的大小決定了函數(shù)圖像偏離平衡位置的幅度． （）[答案］(1)√（2)√(3)√(4）√2．把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\