全等三角形-第2講聯(lián)賽班教師版

圖形中的角及全等三角形第2講圖形中的角及全等三角形第2講板塊一：圖形中的角板塊一：圖形中的角與三角形相關(guān)的角三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于.三角形的外角：三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因?yàn)槊總€內(nèi)角均有兩個鄰補(bǔ)角，因此三角形共有六個外角，其中有三個與另外三個相等.每個頂點(diǎn)處的兩個外角是相等的.三角形的外角和：每個頂點(diǎn)處取一個外角，再相加，叫三角形的外角和.三角形的外角和等于.(你能證明這個結(jié)論嗎？)三角形內(nèi)角和定理的三個推論:推論1:直角三角形的兩個銳角互余.推論2:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論3:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.⑴如圖⑴所示，是的角平分線，是的角平分線，、交于，試探索與之間的關(guān)系.⑵(年山東中考題改編)如圖⑵所示，是的外角平分線，也是的外角平分線，、交于點(diǎn)，試探索與之間的關(guān)系.⑶如圖⑶所示，是的角平分線，是的外角平分線，、交于點(diǎn)，試探索與之間的關(guān)系.⑷如圖⑷所示，在中，、是外角平分線，、是內(nèi)角平分線，、交于，、交于，試探索與的關(guān)系.⑴⑵⑶⑷⑴∵在中，∴∵，∴∵在中，∴，即⑵∵，∴∴∵，∴∵在中，∴，即⑶∵∵，，∴∵∴，即⑷在和中，∵，同理，∴∵，∴如圖所示，已知，，，求度數(shù).法1：如圖⑴，延長交于，求得法2：如圖⑵，連接；法3：如圖⑶，連接并延長到點(diǎn).本題的一個重要結(jié)論：如例題所示圖形，如圖，延長四邊形對邊，交于，，交于.若，的平分線交于，求證:.延長交于點(diǎn)，；即如圖所示，點(diǎn)和分別在的邊和的延長線上，、分別平分和，試探索與，的關(guān)系.與中，∴同理與中，∴∵，∴，即⑴如右圖所示，平分，平分，試探索與和的關(guān)系.⑵(人大附中06～07學(xué)年下學(xué)期期中模擬考試)已知、是的兩條高，直線、交于點(diǎn)，且、、、、互不重合，的度數(shù)為，請你用表示出的度數(shù).(畫出圖形，直接寫出答案即可)⑴連接，∵在中，∴∵在中，又∵，∴∴在中，∵∴，即：⑵這個題型人大附中?？疾?注意分類討論.⑴；⑵；⑶.如圖，在三角形中，，和的三等分線分別交于、，求的度數(shù).設(shè)的三分之一為，的三分之一為，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為，所以有：，即，所以.如圖，已知射線，，，在上，且滿足，平分.⑴求的度數(shù).⑵若平行移動，那么的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值.⑶在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說明理由.⑴∵，∴∵，平分∴⑵∵，∴，∵，∴，∴⑶∵∴，∴若，則有，即，⑴如圖⑴，于，平分，試探尋與、的關(guān)系.⑵如圖⑵，若將點(diǎn)在上移動到，于，其他條件不變，那么與、是否還有⑴中關(guān)系？說明理由.⑴如圖⑴，⑵如圖⑵，仍保持⑴中所示關(guān)系⑴已知如圖⑴所示，在圖形中，若，求.⑵(人大附中06～07學(xué)年下學(xué)期期中考試)如圖⑵所示，求的值.⑴⑵⑶⑷⑶(“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖⑶所示，的值等于.⑷(安徽省數(shù)學(xué)競賽試題)如圖⑷所示，的度數(shù)為.⑴⑵連接，在中，⑶(法1)：連接、，設(shè)與交于，與交于.由，，而，所以，原式.(法2)：，易得答案.⑷所以【變式】(人大附中06～07學(xué)年下學(xué)期期中模擬考試)如圖所示，，求的值.連接，易得【變式】如右圖，求的度數(shù).如圖⑴，角度和轉(zhuǎn)化為求圖⑵中(少)；如圖⑶，角度和轉(zhuǎn)化為圖(4)中兩個四邊形的內(nèi)角和.多邊形及其內(nèi)角和多邊形：在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.多邊形的分類：多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……，由條線段組成的多邊形叫做邊形，其中三角形是最簡單的多邊形.內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，整個多邊形都在這條直線的同一側(cè).正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.多邊形內(nèi)角和定理：邊形內(nèi)角和等于.多邊形外角和定理：邊形外角和等于.多邊形外角和指的是取多邊形每一個頂點(diǎn)處的一個外角相加的和.平面鑲嵌問題生活中，我們常常會看到由若干幾何圖形拼成的大幅圖案，例如地面瓷磚的鋪設(shè)，衛(wèi)生間或廚房墻面的鋪設(shè)，公園里磚路的鋪設(shè)等等，那么你想過它們?yōu)槭裁茨苊茕伋善叫偷牡孛婊驂γ鎲?這里蘊(yùn)含著平面鑲嵌的數(shù)學(xué)問題．平面內(nèi)，如果用若干個邊長相等且有一個公共頂點(diǎn)的正多邊形將公共頂點(diǎn)周圍既無縫隙，又不重疊的全部覆蓋，那么所得的圖形叫做這個公共點(diǎn)為頂點(diǎn)的基本鑲嵌，通常把這類問題稱為用正多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌問題)．現(xiàn)實(shí)生活中，形狀和圖案都是十分豐富的，即并非只用一種單一形狀拼成，這就涉及用不同的正多邊形密鋪地面，究竟該如何組合呢?實(shí)際上，只要這些正多邊形的若干個角拼在一起能構(gòu)成，即可滿足要求．⑴凸多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為，求此多邊形的邊數(shù).⑵如圖所示，你能否用一條直線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別滿足下列條件：①新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了；②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等；③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了⑴設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，這個外角為度，則，根據(jù)題意得：，即，上式左右兩邊均應(yīng)是的倍數(shù)，所以應(yīng)為除以之后的余數(shù).，所以，進(jìn)而得.⑵①要使內(nèi)角和增加，只需要截多邊形后邊數(shù)增加，如圖⑴；②要使內(nèi)角和不變，只需要截多邊形后邊數(shù)不變，如圖⑵；③要使內(nèi)角和減少只需要直線截多邊形后邊數(shù)減少，如圖⑶．一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為，求這個多邊形的邊數(shù).設(shè)多邊形除去的一個內(nèi)角為度，則有，且，，，所以，解得.將一個多邊形截去一個角，所得多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形的邊數(shù)為.注意分類求解①截去一個角后邊減少了一條，原多邊形是邊形;②截去一個角后邊增加了一條，原多邊形是邊形;③截去一個角后邊數(shù)不變，原多邊形是邊形.一個凸十一邊形，由若干個邊長為的等邊三角形和邊長為的正方形無重疊、無間隙地拼成，求這個十一邊形各內(nèi)角的度數(shù).根據(jù)題意，這個十一邊形的內(nèi)角度數(shù)只能有以下種情況:、、、，設(shè)它們的個數(shù)分別為、、、.由題意可列方程組消去并整理得:，因?yàn)樽帜溉≈抵荒苁亲匀粩?shù)，所以這一方程組有唯一解:，，由此可得.所以這個十一邊形有個內(nèi)角為，個內(nèi)角.判斷下列條件中可以鋪滿地面的圖形:，并指出一個頂點(diǎn)出各個圖形各有幾個.①任意三角形;②任意四邊形;③正方形和正三角形;④正方形和正八邊形;⑤正三角形和正十二邊形;⑥正三角形、正方形和正六邊形均可以.①六個任意三角形；②四個任意四邊形；③兩個正方形和三個正三角形；④一個正方形和兩個正八邊形；⑤一個正三角形和兩個正十二邊形；⑥一個正三角形、兩個正方形和一個正六邊形.對于同一種正多邊形來說，正幾邊形可以做到平面鑲嵌?要從“密鋪”的要求入手．所謂“密鋪”，是指無空隙也無重疊，即由若干個角圍在一起，應(yīng)恰好能湊成，這樣每個拼接點(diǎn)四周角度均為，就可以達(dá)到“密鋪”的目的．由于正多邊形每個內(nèi)角均相等，因此若能做到密鋪，此多邊形的內(nèi)角度數(shù)必應(yīng)為的約數(shù)．因此，我們可以得到：設(shè)正多邊形的若干個相同圖形可以密鋪平面，那么應(yīng)該為的約數(shù)，即后為整數(shù)．當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，不滿足條件；當(dāng)時，滿足條件．可以試試，當(dāng)時，均不滿足是整數(shù)的條件，因此由相同的一種正多邊形密鋪地面，這種正多邊形可以是正三角形，正四邊形或正六邊形．特別地，由于三角形內(nèi)角和是，因此三角形三個內(nèi)角各取兩個拼在一起就構(gòu)成，所以由一種圖形密鋪地面時，任意一種三角形均可實(shí)現(xiàn)，同理任意四邊形也可以達(dá)到這樣的要求．板塊二：全等三角形板塊二：全等三角形全等三角形的性質(zhì)全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形．全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形．相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角．全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．如右圖，兩個全等的五邊形，記作：五邊形≌五邊形這里符號“≌”表示全等，讀作“全等于”．全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個三角形的邊和角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長面積均相等．全等三角形的判定方法：邊邊邊公理()有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．邊角邊公理()有兩邊和它的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．角邊角公理()有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．推論()有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．斜邊直角邊公理()斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：⑴(2001年紹興市中考試題)如左下圖所示，中，、分別在、上，與交于點(diǎn)，給出下列四個條件：①；②；③；④上述四個條件中，哪兩個條件可判定,是等腰三角形(用序號寫出所有情形)；⑵如右上圖所示，，，，與交于，于，于，那么圖中全等的三角形有哪幾對？并簡單說明理由．⑴①③、①④、②③、②④．⑵7對：≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌．理由略．如圖所示，，，在上，與相交于．圖中有幾對全等三角形?請一一找出來，并簡述全等的理由．共10對全等三角形．≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌.如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形．請你證明：⑴；⑵；⑶平分．此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形．其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系.與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來的對應(yīng)角相等…推導(dǎo)而得的：；，，，；，；，，；為等邊三角形.⑴∵、是等邊三角形，∴，，∴，∴⑵由易推得，所以，又，進(jìn)而可得為等邊三角形.易得.⑶過點(diǎn)作于，于，由，利用進(jìn)而再證，可得，故平分．如圖所示：，，、相交于點(diǎn).求證：平分.利用證得≌，∴，根據(jù)已知可得，利用證得≌，∴，利用證得≌，∴，∴平分如圖所示：，，，.求證：.分別連接、、，利用證得≌，∴，利用證得≌，∴，∴.可先講解變式，通過此例體會添加輔助線的基本切入點(diǎn).如圖，、相交于點(diǎn)，且，，求證：．連接，根據(jù)易得≌，進(jìn)而得根據(jù)易得≌，進(jìn)而得.【變式】如圖所示：，.求證：.連接，∵，∴，利用證明≌，∴，∴(北京市數(shù)學(xué)競賽試題)如圖所示，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，使得，，求的度數(shù).【解析】在中，由可得，.如圖所示，作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，則有，，，所以.又因?yàn)?，所?而，因此，故.由于，則，故，體會“補(bǔ)圖思想”！(天津數(shù)學(xué)競賽)如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)，分別是邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，點(diǎn)在射線上，且，求證：.連接，過向作垂線.易證得，可得，，等量代換可得，進(jìn)而可得，推得，所以，故，再證，進(jìn)而可得，即，即初中幾何常見輔助線作法歌訣：

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線.

輔助線，如何添？把握定理和概念.

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn).

(三角形部分)

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線.

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn).

角平分線平行線，等腰三角形來添.

角平分線加垂線，三線合一試試看.

線段垂直平分線，常向兩端把線連.

要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn).

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線.

三角形中有中線，延長中線等中線.

添加輔助線的幾個基本思想：⑴根據(jù)題目結(jié)論形式：

如證明二直線垂直可延長使它們相交后證交角為90°，

證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)形成中位線或半線段加倍，

證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線……

⑵按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是，具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循.在我們的幾何儲備中，基本圖形的定義可擴(kuò)大為：常見的典型題目的幾何圖形，我們會在后面的學(xué)習(xí)中一一告訴大家.

舉例如下：

①等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰三角形.

出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形.

②等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；

出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交，得等腰三角形中的重要線段的基本圖形.

③直角三角形斜邊上中線基本圖形：

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線

出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線，得直角三角形斜邊上中線基本圖形.

④三角形中位線基本圖形：

幾何問題中出現(xiàn)多個中點(diǎn)時，往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明，當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補(bǔ)完整三角形.

當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個中點(diǎn)，則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線，得三角形中位線基本圖形.

當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線，得三角形中位線基本圖形.⑶可利用三角形平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的思想，添加輔助線.添加輔助線總的指導(dǎo)思想：⑴凸顯條件通過添加輔助線，使題設(shè)條件能充分顯示出來，從而為定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件，或者使不能直接證得的結(jié)論轉(zhuǎn)化為與它等價的另一個結(jié)論，便于思考與證明.“補(bǔ)圖”就是這樣一個目的.

⑵集散思想在普通的學(xué)校學(xué)習(xí)中，我們常常需要將分散的幾何元素通過輔助線聚集起來.有些幾何題，條件與結(jié)論比較分散.通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形中分散、“遠(yuǎn)離”了的元素聚集到有關(guān)的圖形上，使他們相對集中、便于比較、建立關(guān)系，從而找出問題的解決途徑.在競賽類題目中，還存在將聚集的元素適當(dāng)分散開來進(jìn)而解決問題.(人大附中單元練習(xí))在中，，高、所在直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，求的度數(shù).對于沒有給出具體圖形的幾何問題，一定有要根據(jù)題意畫出圖形，特別是要注意是否有多解的情況.若是銳角三角形，如圖⑴所示，若是鈍角三角形，如圖⑵所示，如圖，已知射線與射線互相垂直，、分別為、上一動點(diǎn)，、的平分線交于.問：、在、上運(yùn)動過程中(不與重合)，的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值；若改變，說明理由.∵射線與射線互相垂直∴∴，∴在、上各取一點(diǎn)、，使，連接、相交于再連結(jié)、，若，則圖中全等三角形共有哪幾對？并簡單說明理由．有5對：≌；≌；≌；≌；≌；理由略．⑴如圖⑴所示，求的值.⑵如圖⑵所示，求的值.⑴⑵⑴連接、，、，，；⑵連接、∵三角形內(nèi)角和等于，∴，∵，∴同理∴⑴(理工附中06～07學(xué)年下學(xué)期期中考試)在中，，延長到，與的角平分線相交于點(diǎn)，與的角平分線交于，…，依次類推與的角平分線交于，求大小.⑵(初二第屆希望杯試)如右上圖，是的角平分線，是角的平分線，與交于，若，，求的度數(shù).