6.6二階常系數(shù)齊次線性方程1常微分方程課件

二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法在二階線性微分方程中,如果的系數(shù)均為常數(shù),那么上式變?yōu)?1)其中p,q是常數(shù),那么稱(1)為二階常系數(shù)非齊次線性方程.對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為(2)稱(2)為二階常系數(shù)齊次線性方程.

下面我們來(lái)討論二階常系數(shù)齊次線性方程的解.

由齊次方程的解的結(jié)構(gòu)定理知,欲求二階常系數(shù)齊次方程的通解,只需求出它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.(2)

由于指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)后仍為指數(shù)函數(shù),利用這個(gè)性質(zhì),可假設(shè)方程(2)具有形如的解,其中r是實(shí)的或復(fù)的常數(shù).把代入方程(2),整理得將兩邊對(duì)求導(dǎo),得到所以特征方程

由此可見(jiàn),只要r滿足代數(shù)方程(3),函數(shù)就是方程(2)的解,我們稱方程(3)為方程(2)的特征方程,其根稱為方程(2)的特征根.(3)

特征方程(3)是一個(gè)二次代數(shù)方程,其中r2,r,的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好依次為方程(2)中的的系數(shù).它的兩個(gè)根可以用求根公式求出為有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有一對(duì)共軛復(fù)根特征根為此時(shí)是方程(2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,因此方程〔2)的通解為

這是一個(gè)復(fù)數(shù)形式的通解,為了得到實(shí)數(shù)形式的通解,我們利用歐拉公式也是方程(2)的解,顯然它們是線性無(wú)關(guān)的,于是得齊次方程的通解為將改寫成由齊次方程解的性質(zhì)知定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.第一步,寫出二階常系數(shù)齊次線性方程的特征方程第二步,求出特征方程的特征根第三步,根據(jù)特征根的不同情況,按下表寫出二階常系數(shù)齊次線性方程的通解.解特征方程為解得故所求通解為例1解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例4二、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).特征根為故所求通解為解特征方程為例5四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:〔1〕寫出相應(yīng)的特征方程;〔2〕求出特征根;〔3〕根