八年級上數(shù)學培優(yōu)試題及答案解析

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第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

三角形個數(shù)的確定專題一

1.如圖，圖中三角形的個數(shù)為0

A.2B.18C.19D.20

2.如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5

個三角形，第3個圖中共有9

個三角形，依此類推，則第個.6個圖中共有三角

形

3.閱讀材料，并填表：

ABCPPABC沒有任何三點在同一直線上時，可構(gòu)成三個不

重'、在△、當、中，有一點uABC內(nèi)的點的個數(shù)增加時，若

其他條件不變，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形(如圖).當△疊

的小三角形的個數(shù)情況怎樣？

完成下表：

△ABC內(nèi)點的個數(shù)12371007

?構(gòu)成不重疊的小三角形的個數(shù)53

根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系確定未知字母的范圍專題二

aa4.三角形的三邊分別為的取值范圍是(,83,1-)2,

則

aaaaaD.-A6<-2<5<.-5B<2<-C<.3>-2

5.或V一

ABCabccbab=4,則這樣的三角形共有02,如果》在△§.

中，三邊長分別為正整數(shù)、>、，且個.x2x

>xx的正整數(shù)解，試求第，且8、26.若三角形的三邊長分

別是'是不等式21

32

X的長.三邊

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狀元筆記

【知識要點】

1.三角形的三邊關(guān)系

三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

2.三角形三條重要線段

(1)高：從三角形的頂點向?qū)吽诘闹本€作垂線，頂點與垂足

之間的線段叫做三角形的高.

中線：連接三角形的頂點與對邊中點的線段叫做三角形的中

線.⑵

(3)角平分線：三角形內(nèi)角的平分線與對邊相交，頂點與交點

之間的線段叫做三角形的角平分線.

3.三角形的穩(wěn)定性

三角形具有穩(wěn)定性.

【溫馨提示】

1.以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類：三邊都不相

等的三角形和等腰三角形.而不是分為三類：三邊都不相等的三

角形、等腰三角形、等邊三角形，等邊三角形是等腰三角形的一

種.

.三角形的高'中線'角平分線都是線段，而不是直線或射線.2

【方法技巧】

.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定三條1線段能否組成三角形時，要看

兩條較短邊之和是否大于

最長邊.

.三角形的中線將三角形分成兩個同底等高的三角形，這兩個三

角形面積相等.2

參考答案：

ABABC個三角形；同樣，1上有55義(個點，線段)

+5與點一組成2=101.D解析：線段

線段上也有5個點，線段與點組成5X(5-1)4-2=10個

三角形，圖中三角形的個CDEDE

數(shù)為20個.故選D.

2.21解析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：

后邊的總比前邊多4,若把第

4-三角形的個數(shù)是3.所以當一一個圖形中三角形的個數(shù)看

作是1=43,則第個圖形中，nn

n=6時，原式=21.

.解：填表如下：3

?內(nèi)點的個數(shù)△ABC1007231

構(gòu)成不重疊的小三角形的個數(shù)?2015375

ABCABC內(nèi)有2；當△3=1個點時，構(gòu)成不重疊的三角

形的個數(shù)是X2解析：當△+內(nèi)有11

5=2個點時，構(gòu)成不重疊的三角形的個數(shù)是X2+1；參考上面

數(shù)據(jù)可知，三角形的個數(shù)與點

n個點時，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個數(shù)是的個數(shù)之間的

關(guān)系是：三角形內(nèi)有，2n+l

故當有3個點時，三角形的個數(shù)是3X2+1=7；當有1007

個點時，三角形的個數(shù)是1007X2

=2015.+1

aaa解析：根據(jù)題意，得4.B<—2<2—.故V11,解得一5

-83<1-28<+3,即5<1

B選.

ABCabccbacabb中，三邊長分別為正整數(shù).510解析：.在

△=4.V,且V2,2>+0,「.、、

aacacacac6,,5,；,；.32.,.=1,,,4=1時，=4；=2

時，=4或5=3時，=4,56=4時，=4

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7.，這樣的三角形共有1+2+3+4=10個.

XXX.解：原不等式可化為6V8.),解得+2)>-2(1-23

x是它的正整數(shù)解，：

x72,,3,5，，.可取1,6

x10再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得6<,<

x，.=7

11.2與三角形有關(guān)的角

專題一利用三角形的內(nèi)角和求角度

1.如圖，在^ABC中，NABC的平分線與NACB的外角平

分線相交于D點，NA=50。，則ND=

)(

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.如圖，已知：在直角4ABC中，ZC=90°,BD平分NABC

且交AC于D.若AP平分/BAC

且交BD于P,求NBPA的度數(shù).

3.已知：如圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB,

如圖2,在圖1的條件下，ZDAB和/BCD的平分線AP

和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解

答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出/A、NB、NC、ZD之間

的數(shù)量關(guān)系：;

的度數(shù)；（寫出解答過程）°,ZB=30°,試求NP中，若

Z（2）在圖2D=40

之間的數(shù)量關(guān)、ZB3）如果圖2中ND和NB為任意角，其他

條件不變，試寫出NP與ND（系.（直接寫出結(jié)論即可）

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專題二利用三角形外角的性質(zhì)解決問題

)4.如圖，ZABD,ZACD的角平分線交于點P,若NA=50°,

ND=10°,則NP的度數(shù)為(

A.15°B.20°C.25°D.30°

5.如圖，△ABC中，CD是/ACB的角平分線，CE是AB

邊上的高，若NA=40°,ZB=72°.

(1)求/DCE的度數(shù)；

(不必證明)DCE與/A、ZB的之間的關(guān)系式.(2)

試寫出N

6.如圖：

(1)求證：ZBDC=/A+NB+/C；

個角之這4、ZABD、ZACDBC)如果點D與點A分別

在線段的兩側(cè)，猜想NBDC、ZA(2間有怎樣的關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

狀元筆記

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【知識要點】

.三角形內(nèi)角和定理1

°.三角形三個內(nèi)角的和等于180

.直角三角形的性質(zhì)及判定2性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互

余.

判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

.三角形的外角及性質(zhì)3角.外角：三角形的一邊與另一邊的

延長線組成的角，叫做三角形的外

性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

【溫馨提示】

.三角形的外角是一邊與另一邊的延長線組成的角，而不是兩邊

延長線組成的角.1

.三角形的外角的性質(zhì)中的內(nèi)角一定是與外角不相鄰的內(nèi)角.2

【方法技巧】

.在直角三角形中已知一個銳角求另一個銳角時，可直接使用“直

角三角形的兩個銳角1互余”.

.由三角形的外角的性質(zhì)可得出：三角形的外角大于任何一個與

它不相鄰的內(nèi)角.2

:參考答案11=，，/D,ACEACB1.C解析：ABC

的平分線與/的外角平分線相交于點N

2

.N.又???/N2=NABCD=N1—/2,A=ZACE-ZABC,

；./D=°.故選CZA=2511

22

°,所以/BAC+ZABC-90C=9012.解：(法)因為

Z

1.所以BAC(Z+ZABC)=45°

2,平分NBACABC因為BD平分N,AP11ABP=

BAC,ZABCZ,ZBAP=Z22°,+N即NBAP

ABP=45.45APB=180所以-°°=135

°,(法2+NABC=90°,所以N)因為NC=90BAC

1所以。，+ZABC)=45Z(BAC2

,BACAP,ABCBD因為平分/平分N

11PAC=NABC,Z.°+ZDBC,所以NDBC=NNBAC

PAD-45

22

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，p

所以NAPB=NPDA+NPAD=NDBC+NC+ZPAD=NDBC+

ZPAD+ZC=45°+90°=135°.

3.解：（1）NA+ND=NB+NC；

（2）由（1）得，Z1+ZD=Z3+ZP,N2+NP=N4+NB,

Z1-Z3=NP-ND,Z2-Z

4=ZB-ZP,又?:AP、CP分別平分/DAB和/BCD,

AZ1=N2,Z3=N4,

,即PZB-ZAZP-ZD=°.2=35°+30°)+D,AZP=

(40Z2P=ZB+Z

ZD.2ZP=ZB+(3)

交于點AB解析：延長.BDC,與4.根據(jù)三角形的外角等于不

相鄰的兩內(nèi)角和，可得E

°.設(shè)ABD+10°，整理得NACD-ZABD=60相NACD=50°

+NAEC=50°+NAC與BP

交于點，O1°.故)=20(NACD-ZABD°—P=50ABD,

即NACD=NA+N/.N則NAOB-ZPOC,P+Z11

222

選B.

1°.NACB=34,AZDCB=°.平分NACB°,5.解：

(1)VZA=40ZB=72",AZACB=682VCE>AB邊上

的高，AZECB=90°-ZB=90°—72°=18°.AZ

DCE=34°-18°=16°.

1

DCE=(2)N).-ZAB(Z

26.(1)證明：延長BD交AC于點E,VZBEC是^ABE的

外角，AZBEC=NA+NB.

VZ8口(2是4CED的外角，NBDC=NC+NDEC=NC+N

A+ZB.

(2)猜想：ZBDC+ZACD+ZA+ZABD=360°.證明：

ZBDC+ZACD+ZA+ZABD

=N3+N2+N6+N5+N4+N1=(Z3+Z2+Z1)+(Z6+Z5+Z

4)=180°+180°=360°?

11.3多邊形及其內(nèi)角和

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B

專題一根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值

150°,則這個正多邊形的邊數(shù)是()1.若一個正多邊形的每個

內(nèi)角為

A10..912B.11C.D

2.一個多邊形的每一個外角都等于36°,則該多邊形

的內(nèi)角和等于。.

3.已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等，且每個內(nèi)角都等于與

它相鄰的外角的倍，求這9個多邊形的邊數(shù).

專題二求多個角的和

品標志圖案，圖中NA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=()4.如

圖為某公司的產(chǎn)

A.360°B.540°C.630°D.720°

5.如圖，ZA+ZABC+ZC+ZD+ZE+ZF=°.

6.如圖，求：ZA+NB+NC+ND+NE+NF的度數(shù).

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A

【知識要點】

1.多邊形及相關(guān)概念

多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多

邊形.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多

邊形的對角線.

2.多邊形的內(nèi)角和與外角和

內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°.

360外角和：多邊形的外角和等于°.

【溫馨提示】

邊形的一個頂點出發(fā).從n1個三角形.對2)(n—,可以做(n

-3)條對角線，它們將n邊形分為角線的條數(shù)與分成的三角形

的個數(shù)不要弄錯.

°.360°,而不是2.多邊形的外角和等于180【方法技巧】

.連接多邊形的對角線，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個三角形，將多邊形

問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來1

解決.

°,可利用多邊形的外角和.多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變

化，但外角和不變，都等于3602數(shù)等.不變求多邊形的邊

參考答案：

1.A解析：???每個內(nèi)角為150°..每個外角等于30°.,??多

邊形的外角和是360°,360°4-

30°=12,...這個正多邊形的邊數(shù)為12.故選A.

2.1440解析：?多邊形的邊數(shù)為360°4-36°=10,多邊形

的內(nèi)角為180°-36°=144°,??.多邊形的內(nèi)角和等于144°

X10=1440°.

.所以這個多n=20360°,解得?180°=9X.解：設(shè)多邊形的

邊數(shù)為3n,根據(jù)題意，得(n-2)

.20邊形的邊數(shù)為

B4.,FE+,Z2=NN解析：VZ1=ZC+ZD

°.故選2+NG=540NA+NB+Nl+NF+B+；.NA+ZZC+Z

D+NE+NNG=.B

5.360°解析：在四邊形BEFG中，

,ZDVZEBG=NC+

ABCZA+Z,GF=NB

Z.ZA+ZABC+ZC+ZD+ZE+ZF=ZEBG+ZBGF+ZE+Z

F=360°.

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D

6.解：VZPOA是^OEF的外角，AZPOA=NE+NF.

同理：ZBPO=ND+ZC.

VZA+ZB+ZBPO+ZPOA=360°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.

第十二章全等三角形

全等三角形12.1

三角形全等的判定12.2

三角形全等的判定專題一

1.如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，ZABD的平

分線BE交AD于點E,ZCDB的平分

線DF交BC于點F.

.CDF求證：ZXABE

ABCDBCBCFEAD及其延長線分別是，，重合），2.如圖，

在4中，是邊上的點（不與CFBE不再添加其他線段,

不再標注或使用BDE〃gZX.CDF（請你添加一個條件，使△上的

點，其他字母），并給出證明.

（1）你添加的條件是：；

）證明：2（

3.如圖，△ABC中，點D在BC上，點E在AB上，BD=BE,

要使△ADB^ACEB,還需添加一

個條件.（1）給出下列四個條件：

①AD=CE；

②AE=CD；

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③NBAC=NBCA；

④/ADB=NCEB；

請你從中選出一個能使△ADB0ACEB的條件，并給出證明；

(2)在(1)中所給出的條件中，能使△ADB^ACEB的

還有哪些？直接在題后橫線上寫出滿足題意的條件序

號..

專題二全等三角形的判定與性質(zhì)ABCABCACHADBEBH

的交點，則線段=4,和4.如圖，已知△是高中，N=45°,的

長度為

)(

A.B.4C.D.5362

ABCABACADBCDADCA順時針繞點于點5.【2013?襄

陽】如圖，在4中，=,將4,±ACABDEAECBM

EB的延長線交處，的延長線交旋轉(zhuǎn)，使與，重合，點的延長線

于點落在點AD的延長線于點N.

AMAN.=求證：

A

E

MBDc

N

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ABCDABCDCDEEA、是邊上一點，以.如圖，46,使

點是等邊三角形，為邊作等邊三角形DCAEAEBC?的同側(cè),

連接〃在直線.求證：

專題三全等三角形在實際生活中的應用

已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方7.如圖，有兩個長

度相同的滑梯靠在一面墻上.

向的長度DF相等，則這兩個）滑梯與地面夾角NABC與/

DFE的度數(shù)和是（

A.60°B.90°C.120°D.150°

8.有一座小山，現(xiàn)要在小山A、B的兩端開一條隧道，施工隊

要知道兩端的距離，于、BA

是先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C,連接AC

并延長到D,使CD=CA,連接BC

并延長到E,使CE=CB,連接DE,那么量出DE的長，就是

A、B兩端的距離，你能說說其中的道理嗎？

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9.已知如圖，要測量水池的寬AB,可過點A作直線AC±AB,

再由點C觀測，在BA延長線上找一點B',使/ACB'=

ZACB,這時只要量出AB'的長，就知道AB的長，對嗎？

為什么？

狀元筆記

【知識要點】

1.全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等，全等三角形的

對應角相等.

3.三角形全等的判定方法

三邊分別相等的兩個三角形全等（1）.）SSS”（簡寫成“邊

邊邊”或“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等Q）.）

SAS”（簡寫成“邊角邊”或“兩角和它們的夾邊分別相等的兩

個三角形全等（3）.”）（簡寫成“角邊角”或“ASA兩個角

和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（4）.”）（簡寫

成“角角邊”或“AAS

4.直角三角形全等的判定方法

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成

“斜邊、直角邊”或“HL"）.【溫馨提示】

.兩個三角形全等的條件中必須有一條邊分別相等，只有角分別

相等不能證明兩個三角形1

全等.

.有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.2

”定理指的是斜邊和一條直角邊分別相等，而不是斜邊和直角分

別相等.HL3."

【方法技巧】

.應用全等三角形性質(zhì)解決問題的前提是準確地確定全等三角形

的對應邊和對應角，其1要有以下幾點：規(guī)律主

）以對應頂點為頂點的角是對應角；（1

）對應頂點所對應的邊是對應邊；2（

;）公共邊（角）是對應邊（角）（3

）對頂角是對應角；4（

最小邊（角）是對應邊（角））最大邊（角）是對應邊（角）

（5

AB全等三角形的對應邊和對應角可以依據(jù)字母的對應位置來確

定，如若△,DEF^AC

說明A與D,B與E,C與F是對應點，則NABC與/

DEF是對應角，邊AC與邊DF是對應邊.

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Z3

-

N=Z

.判定兩個三角形全等的解題思路：2

SAS找夾角---

已知兩邊

SSS找另一■邊—

AAS邊為角的對邊---找任一角----

SAS找夾角的另一邊---

已知一邊一角

邊為角的鄰邊ASA找夾邊的另一角一AAS找邊的對角---

ASA找夾邊一一

已知兩角

AAS找任一邊——

:參考答案

.證明：平行四邊形1ABCD,A=NAB,/〃CDC中，，AB=CD

.AZABD=ZCDB

11.ZCDFZCDBABE=VZ,AZZABD,ZCDF=ABE=

22中，在^八8￡與4CDF

CA

CDAB

CDFABE

.CDFABEAA^ABCD中任選一個即可.）2.解：（1（或

點，是線段的中點），F(xiàn)DEDBEDCBDCF

為例進行證明：（2）以BDDC

BECF,'：//

EBDFCD.=ZAZ

又,「EDBFDC,Z,Z=DCBD

.BDE^ACDFAA

)添加條件②，③，④中任一個即可，以添加②為例說明.3.解:

(1

,,BE=BD證明：AE=CD

A.AB=CB

,CBE又NABD-Z,BE=BD

.ADBCEB

)③④.2(

BDHADADBCABCBDADC,,解析：VZ

B4.=45°,_L,「.=

.二.故選==4Z..?.△=/B.BH

ACAHEBHDCBDHADC

.證明：如圖所示，5

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A

A

321

E

764

CMD

5B

N

AEBADCAEBADCCABACAD,,ZAA.V^A6.

***N=N3=N;△=由△1旋轉(zhuǎn)而得，

BCCABMABN.,.\Z4=Z2,Z=Z1,AZ

62=N=N1,N57=N7..VZ.e.Z=Z3

ABABAMBANBAMAN.,.?.又?.?&△==

=60.證明：VA°.6=/和△是等邊三角形，AZ

DCEBCAABCEDC

ACE=BCAACDDCEACDBCD.-ZZAZ,即/—N=

ZECBCDBCEACACBCDACEDC,在△=/和△中，=

=,,Z

DBCEACDBCEACDBCACB=60=N=N；."

△.(°,SAS).又???/.?./BCACBEACAE...?.〃，/=

Z

7.B解析：???滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，又?.?BC=EF,

AC=DF,

I.RtAABC^RtADEF.AZABC=NDEF,VZDEF+Z

DFE=90°,AZ

.DFE=90°.故選BABC+Z

,AC=CDABC.解：在△和△CED中，，ZACB=NECD,

EC-BC8

的長，就是.AB=ED.DE即量出CEDAAABCg△兩

端的距離.BA、

.解:對.9

.AB,°'ZAZCAB=CAB=90理由：;AC±

中，'CABABC在△和△

zz-,ACBACB

,ACACZ',ZCABCAB.,.AABC^AAB/C(ASA)....

AB/=AB.

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AHb1"畬

方｝i-

第十三章軸對稱

13.1軸對稱

13.2畫軸對稱圖形

專題一軸對稱圖形

）1.下列圖案是軸對稱圖形的是（

2.眾所周知，幾何圖形中有許多軸對稱圖形，寫出一個你最喜

歡的軸對稱圖形是：

_______________________.（答案不唯一）

3.如圖，陰影部分是由5個小正方形組成的一個直角圖形，請

用兩種方法分別在下圖方格內(nèi)涂黑兩個小正方形，使它們成為軸

對稱圖形.

專題二軸對稱的性質(zhì)11DBADEADE關(guān)于直線；②對

稱，下列結(jié)論：①△垂直平分ABCg4；4.如圖，△ABC和

△

1上.其中錯誤的有（的延長線的交點一定落在直線）BC與DE

③NC=NE；④

A.0個B.1^C.2個D.3個

5.如圖，ZA=90°,E為BC上一點，A點和E點關(guān)于BD

對稱，B點、C點關(guān)于DE對稱，求

ZABC和/C的度數(shù).

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m

6.如圖，△ABC和^A'B'C關(guān)于直線m對稱.

（1）結(jié)合圖形指出對稱點.

'有什么關(guān)系？m與線段AA）連接2A、A',直線（

有怎樣的關(guān)系？其他對應線段（或其延長C',它們的交點與直

線m3）延長線段AC與A'（線）的交點呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)

律，請敘述出來與同伴交流.

靈活運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決問題專題三

的延長線于BCAB的垂直平分線DE交于。，中.如圖，

在RtABCACB=90,F°,F=30若N

）的長是（DE=1,則EF

.2C.B.A31D.3

AC于BCD的垂直平分線交，AB,BC=8ABC8.如圖,

在△中，的垂直平分線交，則與BCE

.△的周長等于ADE

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9.如圖，AD1BC,BD=DC,點C在AE的垂直平分線上,

那么線段AB、BD、DE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

專題四利用關(guān)于坐標軸對稱點的坐標的特點求字母的取值范圍

)10.已知點p(-2,3)關(guān)于y軸的對稱點為Q(a,b),

則a+b的值是(

A.1B.C5D.-5.-1

11.已知P點關(guān)于x軸的對稱點P(3-2a,2a-5)是第

三象限內(nèi)的整點(橫、縱坐標都21為整數(shù)的點，稱為整點)，

則P點的坐標是..狀元筆記

【知識要點】

1.軸對稱圖形與軸對稱

軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線是它的

對稱軸.

軸對稱：把一個平面圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另

一個圖形重合，那么就對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸)說

這兩個圖形關(guān)于這條直線(

.軸對稱的性質(zhì)2

那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.如果兩個

圖形關(guān)于某條直線對稱，

.線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定3性質(zhì)：線段垂直平分線上

的點與這條線段兩個端點的距離相等.

判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直

平分線上.

軸對稱的點的坐標的特點yx4.關(guān)于軸、

；，―y）y）點（x，關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x

；關(guān)于yy）x,軸對稱的點的坐標為（一，點（xy）

【溫馨提示】

.軸對稱圖形是針對一個圖形而言，是指一個具有對稱的性質(zhì)的

圖形；軸對稱是針對兩個1

圖形而言，它描述的是兩個圖形的一種位置關(guān)系.

坐標互為相反數(shù)；2.在平面直角坐標系中，關(guān)于x軸對稱的兩

個圖形的對應點的橫坐標相同，縱

軸對稱的兩個圖形的對應點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相

同.關(guān)于y

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方法一方法二方法三方加

參考答案:

1.D解析：???將D圖形上下或左右折疊，圖形都能重合，，D

圖形是軸對稱圖形，

.故選D

.圓、正三角形、菱形、長方形、正方形、線段等2

.如圖所示：3

1對稱，則4ABC^AADE關(guān)于直線ADE,4.A解析：根

據(jù)軸對稱的定義可得，如果△ABC和△即①正確；因為如果

兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所

連線段的1C=NE垂直平分，即②，③DB,N垂直平分線；

軸對稱圖形的對應線段、對應角相等，故

正確；因為成軸對稱的兩個圖形對應線段或延長線如果相交，那

么，交點一定在對稱軸上，

1上，即④正確.綜上所述，①②③④都是正確的，故與DE

的延長線的交點一定落在直線故BC選A.

對稱，點關(guān)于EBD.解：根據(jù)題意A點和5

.EBDABC=2NABD=2N有NABD=NEBD,即/

對稱，點關(guān)于DEB點、C

.BCDABC=2/有/DBE=/BCD,Z

°,A=90且已知N

°.故NABC+/BCD=90

°.°,ZC=30故NABC=60

.C和C，B「解：（1）對稱點有A和A，,B和，6

',直線、A（2）連接A'的垂直平分線.AA是線段m

上，其他對應線段（或其延長線）的交點也（3）延長線段AC

與A'C',它們的交點在直線m則它們的交點或它們的延長

線的交點在在直線上，即若兩線段關(guān)于直線m對稱，且不平行,

m對稱軸上.

FDB中，TNF=30°,AZB.B解析：在RtA=60°.7ABC

中，VZACB=△90°,在Rt

ZABC=60°,AZA=30°.在Rt△中，TNA=30°,

DE=1,，AE=2.連接EB.VDE

AED

是AB的垂直平分線，，EB=AE=2.AZEBD=ZA=

30°.VZABC=60°,AZEBC=

30°.VZF=30°,EF=EB=2.故選B.

A

D

E

FCB

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8.8解析：DF是AB的垂直平分線，.\DB=DA.丁EG

是AC的垂直平分線，，EC=EA.

BC=8,，△ADE的周長=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8.

9.解：AB+BD=DE.

證明：AD±BC,BD=DC,AB=AC.

???點C在AE的垂直平分線上，

，AC=CE.

AB=CE.

.AB+BD=CE+DC=DE

b=3....a+b=510.C解析：關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互

為相反數(shù)，縱坐標相等，，a=2).1,-1,又因為a必須為

整數(shù)，a=2....點P(-1.5解得VaV2.5

2

...P點的坐標是(一1,1).1

第十四章整式的乘法與因式分解

14.1整式的乘法

事的性質(zhì)專題一.下列運算中，正確的是(1)263292

==

322493.aaaa?=2B.(.A.3—)Caaaa2=)D.(2

.下列計算正確的是(2)S23-.A.?B24XX

xxx62x

623235c?.D(X)(X)XX

3.下列計算正確的是()

i262622426i22?aaaaaaaaaaa=).(—.,=A.2

+.=3BD4-=C

哥的性質(zhì)的逆用專題二

ab3a+2b等于(,則224.若2=4=3,)

12432D1087A...CB

m3+22的值.2=3,求=55.若2,

201420142015；4)((—2)—X(1)(6.計算：一0.125)X

110072015.X81(2)(一)

9

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專題三整式的乘法.下列運算中正確的是(7)2222ab)(a

b)abb(2a.A.B3a5a2a

232622bb)4a(2a.C.D2a2aa

22XXX2xxxx)中不含3+1)(—2+b8.若(+b)的值.+1

項，求一b)(的值，并求(23

.先閱讀，再填空解題：92xxxx+30+6)+11=(+5)(；2xxx

x115)(---；6)+30(=-2xxxx+6)=)(；—+(—

3052xxxx30=(—+5)(.—6)一

.)觀察積中的一次項系數(shù)、常數(shù)項與兩因式中的常數(shù)項有何關(guān)

系？答：1(

.(2)根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：yaya))

(；(-8081-(3)根據(jù)規(guī)律，直接寫出下列各式的結(jié)果：()

(+99)-100=

整式的除法專題四

yyyxxxyx22322.))4-(—18—6=.計算：(103+

112b.23.計算：1162)(b)ab(aa74

393

babbabaa4235.+—(一).計算：(12-4-(—)+)4-

()

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狀元筆記

【知識要點】

1.塞的性質(zhì)n?mm

mn都是正整數(shù)（），，即同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，aaa同底數(shù)累

的乘法：（1）

指數(shù)相加.

amn皿）（都是正整數(shù)），（，即基的乘方，底數(shù)不變，指

數(shù)相乘.幕的乘方:（2）am,.abb..n）（都是正整數(shù)）（,即積的

乘方，等于把積中的每一個因式分積的乘方：（3）a.0

別乘方，再把所得的塞相乘.

2.整式的乘法

（1）單項式與單項式相乘：把它們的系數(shù)、同底數(shù)基分別相乘，

對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一

個因式.

單項式與多項式相乘：就是用單項式去乘單項式的每一項，再

把所得的積相加.（2）

（3）多項式與多項式相乘：先用一個多項式的每一項乘另一個多

項式的每一項，再把所得的積相加.

3.整式的除法

amnmn，即同底數(shù)幕相除，都是正整數(shù)，并且）同底數(shù)幕相除：

（9（l）m3.n3mn

底數(shù)不變，指數(shù)相減.

0）,即任何不等于0的數(shù)的0（次事都等于1.（2）a

(3)單項式除以單項式：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)幕分別

相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它

的指數(shù)作為商的一個因式.

(4)多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項

式，再把所得的商相加.【溫馨提示】

1.同底數(shù)基乘法法則與合并同類項法則相混淆.同底數(shù)幕相乘，

應是“底數(shù)不變，指數(shù)相

加”;而合并同類項法則是“系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變”.

2.同底數(shù)嘉相乘與幕的乘方相混淆.同底數(shù)塞相乘，應是“底

數(shù)不變，指數(shù)相加”；塞的乘方，應是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”.

法則時，必須化成同底數(shù)的基后才能運用上述法則進行計算.除

法)3.運用同底數(shù)幕的乘法(

除以單項式中，系數(shù)都包括前面的符號，多項式各項之間的“加、

減”).在單項式(多項式4符號也可以看成系數(shù)的符號來參

與運算.

【方法技巧】

.在幕的性質(zhì)中，公式中的字母可以表示任意有理數(shù)，也可以表

示單項式或多項式.1

.單項式與多項式相乘，多項式與多項式相乘時，要按照一定的

順序進行，否則容易造成2

漏項或增項的錯誤.

.單項式與多項式相乘，多項式除以單項式中，結(jié)果的項數(shù)與多

項式的項數(shù)相同，不要3漏項.

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參考答案：

aaaaa2222322)B中，=與一2a(是同類項，可以合并，3,

故A—1.C解析：A中，3錯誤；

9222246,故B錯誤；2,故(C=,故C正確；D中，(24)

中，--==?———3X323+662aaaaaaaa)a

D錯誤.故選C.

??x錯誤；AB錯誤；2.C,選項??解析：，

選項XXXXXXX

6,選項C正確；，選項D錯誤.故選

C.(xxxx)x)x(623323322a中，AD解析：3.,2a2348a

a3aaaa6四2,故B錯誤；C中，A錯誤；B中，，

故

故C錯誤.故選D.

223aa2b3b3a+2b,4.C解析：2=(2)X(2)=3X4=432.故

選C.X2=2

nmmnmn2332323+2=1125.*=5*(2)=2*23=(2)5.解：2

20142014.-----4)=14X(—6.解：(1)原式=(0.125X2X

4)4)=X(111=()92014.)=X9)

—

原式二(—X(—X(2)120142015

9999

7.B解析：A中，由合并同類項的法則可得3a+2a=5a,故A

錯誤；B中，由多項式與多項

2,故B式相乘的法則可得正確；C中，由二(2a2aabb2

ab)(ab)abb2ab2225,故C錯誤；D中，由多項式與多

項式單項式與單項式相乘的法則可得=2a2a2aa3322綜上所

述，選B.相乘的法則可得，故D錯誤.(2ab)4a4abb222

32+(—2b+lx)x+b=3x,+(3b—2)8.解：原式2x

項，???不含

2.*.3b—2=0,得b=.

322—2x+l)(x+)/.(3x

342322—+x+2xx+=3x—2x

33123—x+.=3x33

9.解：(1)觀察積中的一次項系數(shù)、常數(shù)項與兩因式中的常數(shù)

項的關(guān)系是：

一次項系數(shù)是兩因式中的常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩因式中的常

數(shù)項的積；(2)根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：2+(b+c)

a+bc；)((a+ba+c)=a

22=y81))(y—a----9900；(y—)((3)根據(jù)(2)中得出的

公式得：(a+99a-100)=a80

-161y+6480.

1110.-x+3y-322223222+18xyy)4-(-6xyl8x3xy-y+x)

-7-(—y6xy)=(3x)一解析：(

2611222.—y)=x+3y—6xy)6x(—y+x-r(—

26

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.解：原式11

112662427a()babba

939

12116M27262bbaababa

9399

201b6a”，4-(—a)+(—a-b)a+b)

bl2.解：(a—b)4-(

),(a+b=(a—b)一

,b=a-b—a-

.=—2b

乘法公式14.2

乘法公式專題一

.下列各式中運算錯誤的是(1)

22222—.2—4BA.(—=(+)+=(+))abababababab

bbaaabababab2222—)(一+—尸—+一

D.(+C.(+)=)(-

XXX2的計算結(jié)果正確的是(1)((+1)+1)(—2.代數(shù)式)

XXXX4444+I)B..+1C.(—1)(DA.—1

yxyxxyyxxxy22).=3(其中)+(+=2),—2(2—3.計算：(2

+)(2-)

乘法公式的幾何背景專題二

.請你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，便

可得到一個你非常熟4）悉的公式，這個公式是（

22B.(Ab—=a)aa+b)(—b222+2ab+ba+b.()=a22

DC222ab+bba=a——)22+ab+b=aa+b).(

）.如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學公式是（5

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22=(a+b)(a---bb)A.a222+2ab+b)=aB.(a+b22222ab+b=a)

一.(Ca—b+ab=a(a+b)D.a

222

a+b)=a+2ab+b時，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來&我

們在學習完全平方公式(,在習題中我們又遇到了說明上式成

立.”，你能將知識進行遷移，)題目“計算：(a+b+c2嗎？)

a+b+c從幾何背景說明(大致畫出圖形即可)并計算(

狀元筆記

【知識要點】

1.平方差公式22，兩個數(shù)的一b)=a和與這兩個數(shù)的差的積,

等于這兩個數(shù)的平方差.一b(a+b)(a

2.完全平方公式222,兩個數(shù)的和(或差±2ab+b(a±b))=a

的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們

倍.2的積的

【溫馨提示】

.不要將平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它們項數(shù)和符

號的不同.1

2倍，注意系數(shù)的特點.2.完全平方公式中，中間項是左邊兩

個數(shù)的和的

【方法技巧】ba.公式中的字母1可以是具體的數(shù)，也可以是單

項式、多項式.只要符合公式的結(jié)構(gòu)特、

征，就可以利用公式.

但稍做適當?shù)淖冃魏缶涂梢杂贸朔ü角蠼?.有些題目往往不

能直接應用公式求解，2如：

位置變化，符號變化，數(shù)字變化，系數(shù)變化，項數(shù)變化等.

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參考答案：

1.D解析：A中，由完全平方公式可得abab=aab+bab=abA22222

正確；+2+—(+2)B—2,故abaab+bababaab+bab=aab+b22222222,

故2—2+24,(==+一)一中，由完全平方公式可得(---)4

abababba2222,故C正確；+b)=b)(—D+—)=(a+—)(二一

B正確；C中，由平方差公式可得(+aabababaab—b222,故二

—)(—D—錯誤.)=—(一+中，(2+)

22224X.—1=(x—1)()+l)=(x—l=x2.A解析：原式

222222,—4x+4xy—y+2xy=x+x+2xy+y3.解：原式=4x2=2

x=2,y=3時，原式.+4X2X3=4+24=28當

222；各部分的面積的和為B解析：這個圖形的整體面積為(a+b)4.；

所以得到公式a+2ab+b222+2ab+b..故選+b)B=a(a

22和，剩余的矩形面積是(a—和bbb)C5.解析：從圖中可

知：陰影部分的面積是(a-b)

2222,故選C2ab+b=a.)—,(a—b)b(a—b)b,即

大陰影部分的面積是(a-

22,用各部分的面積之和表)的幾何背景如圖，整體的面積為：

(6.解：(a+b+c)a+b+c

22222222+2ab+2ac+2bc+c+b)+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c示為：

(a+b+c)=a.+b=a+c

14.3因式分解

專題一因式分解

1.()解因式正確的是下列分

222=(b+a)(b---6x=x(x.—aa)+b—6)A.3xB22222c.4x

—y=(4x-y)(4x+y).4x—2xy+y=(2x—y)D322

2.分解因式：3m—18mn+27mn=.

2.3.分解因式：(2a+b)8ab=-

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式專題二

4-4=x..在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解4

5.把下列各式因式分解(在實數(shù)范圍內(nèi))2—163x；)

(124.+251Ox2()X-

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6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

342+9.-2)x(1)x6x—2x；(

專題三因式分解的應用

227.如果m—n=-5,mn=6,則mn—mn的值是（）

A.30B.-C.11D.-1130

8.利用因式分解計算32X20.13+5.4X201.3+0.14X

2013=.2229.在下列三個不為零的式子：中，一，x

4x+4+2x,xx—4x

（1）請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結(jié)果因式分解；

（2）請你選擇其中兩個并用不等號連接成不等式，并求其解集.

狀元筆記

【知識要點】

1.因式分解

我們把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形

叫做這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

.因式分解的方法2

將多項式寫如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式

提取出來，（1）提公因式法：出公因式與另一個因式的乘

積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法.

用來把某些具有特殊形式得到用于分解因式的公式，（2）將乘法

公式的等號兩邊互換位置，

的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

22,兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)=(a+b)(a-

—bb)(3)平方差公式：a的差的積.222它們的積的或減去a

2ab+b±)=(a土b)(,兩個數(shù)的平方和，加上(4)完全平方

公式：2

的平方.(倍，等于這兩個數(shù)的和或差)

【溫馨提示】

221.分解因式的對象必須是多項式，如把分解成就不是

分解因式，因為5a5abe5abcabc

不是多項式.

」)1

就不是分解因式，因為結(jié)果.分解因式的結(jié)果必須是積的形式,

如2x1x(xx完美格式WORD下載可編輯

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+

-1

不是積的形式.11)

X(X

【方法技巧】

1.若首項系數(shù)為負時，一般要提出“一”號，使括號內(nèi)首項系

數(shù)為正，但要注意，此時括

2號內(nèi)的各項都應變號，如.2)2XX(XX

2.有些多項式的特點與公式相比，只是某些項的符號不符，這

時就需要先對符號進行變化，使之符合公式的特點.

參考答案：

222=—(a+b—b)(a+b)=(b+a)(b2),故A錯誤；B中，一1.B

解析：A中，3xa—6x=3x(x—

22222—中，4xC錯誤；一(2y)D=(2x—a),故B正確；C

中，4x---yy)(2x+y)=(2x),故

2的中間項不是2X2xX2xy+yy,故不能因式分解，故B.錯

誤.綜上所述，選D

22223223n)—2.3m(in.解析：3n)—3m—18mn+27mn=3m(m

—6mn+9n)=3m(m2222222

3.(2a—b)解析：(2a+b)—8ab=4a+4ab+b—8ab=4a—

4ab+b=(2a—b).

22242+2)(x4-4.(X—+2)(x++2)(x).)(X—解析：X---4=(x

2)=(x)(x)2222

2222224.—=(x+)—lOx+25=(x)—5)(x5.解:(l)3x—16=(x

-4)；(2)xx+4)(5335

2324222=(x+3)+9=(x)；(2)x-----)(l)x(X"-6.解：6x_2x=x(x—

—2)=x(x+)(x232

2.)3

22B.7.30,故選Bn)=6X(—5)=一,解析：m—n=

—5mn=6,.*.mn-mn=mn(m-

20138.解析：

X2013=20132013+0.14XXX20.13+5.4X201.3+0.14

2013=0.32X2013+0.54X32

1=2013.X(0.32+0.54+0.14)=2013222).1-2x=2x(x

答案不唯一，如：(x(―4x)+x—+2x)=2x9.解：(1)

22,+2x4x>(2)答案不唯一,如：xX—6x>0,合并同類項，

得一0.解得x<

第十五章分式

分式15.1

的條件0專題一分式有意義的條件、分式的值為

xx的取值范圍是()有意義，那么1.使代數(shù)式x

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-6+

xxxXXTM.C且.A.0DNOB.>W12O

273xx的值應為0,則的值為2.如果分式.

x3

雙9x的值.3.若分式的值為零，求2XX9

專題二約分

24.化簡的結(jié)果是（）nmmn2

mmn

mnmnmnD.B..C22nA.

mmmn

29a（y5.約分：=.x）

27y27x

6.從下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)成一個分式，并將它化簡:

xxyyxyy2222.—+,4,42x---4

狀元筆記

【知識要點】

1.分式的概念

A

中含有字母，那么式子B,B表示兩個整式，并且一般地，

如果A叫做分式.B

.分式的基本性質(zhì)2

同一個不等于或除以分式的分子與分母乘（）的整式，分式的值

不變.用式子表示為：0

AACAAC

.w是整式，CO）其中（A,B,二

，=C

BBBCBC3.約分與通分

約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因

式約去，叫做分式的約分.

通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原

來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.【溫馨提

示】

”包含兩層意思：一是分式有意00受到分母不等于I.分式的

值為0的限制，“分式的值為

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義，二是分子的值為0,不要誤解為“只要分子的值為0,分式

的值就是0”.

ABC表示的都是整式，且、2.分式的基本性質(zhì)中