論文-我對混沌的認(rèn)識

我對混沌的認(rèn)識摘要：蝴蝶效應(yīng)（ButterflyEffect）是指在一個動力系統(tǒng)中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期的巨大的連鎖反應(yīng)。這是一種混沌現(xiàn)象。混沌一個看似荒謬的現(xiàn)象，卻是存在的真實的普遍的現(xiàn)象，給科學(xué)發(fā)展注入新的活力。那混沌是什么？關(guān)鍵詞：混沌理論控制發(fā)展及應(yīng)用一、引言湍流現(xiàn)象——無序中的有序在雷諾的管流實驗中，湍流是指流體中質(zhì)點的運動雜亂無章，其中含有大量的無規(guī)則的三維旋渦，流體質(zhì)點的動量和能量高效率的相互混合，使其平均速度在剖面中心部分平坦而邊緣陡峭，造成壁面剪應(yīng)力增大，從而使管流阻力增大的流體的一種流動狀態(tài)。湍流的特點之一是它的物理量無論對時間還是對空間都是隨機(jī)漲落的。湍流的實驗特點在于湍流中物理量是隨機(jī)脈動的。然而湍流的實驗發(fā)現(xiàn)：湍流并非是流體完全隨機(jī)的無序運動，而是在紊亂中存在著相當(dāng)有組織的有序運動。湍流也是混沌現(xiàn)象之一?；煦邕\動是1963年由美國氣象學(xué)家洛倫茲（E.Yorke）在研究區(qū)域小氣候求解他所提出的模型方程首先發(fā)現(xiàn)的。因此，洛倫茲方程在混沌學(xué)歷史上也有重要地位，特別是對它的分析在了解非線性方程如何出現(xiàn)混沌解方面很有意義。現(xiàn)代非線性理論中的混沌的概念是1975年李天巖和約克（J.Yorke）在題為《周期3蘊涵著混沌》的論文中首先提出，即混沌是非線性系統(tǒng)中的一種特殊的運動狀態(tài)。但是，論文中關(guān)于混沌的概念與通常人們（特別是過去）對混沌（chaos）一詞的理解完全不一樣（在古代，無論是中國還是西方，混沌都表示宇宙形成之前的元氣）。開始時（主要是20世紀(jì)70年代）為了把它與傳統(tǒng)的表示無序概念加以區(qū)別，有時人們把這種具有專門含義的混沌稱為〃確定性混沌"（deterministicchaos）。現(xiàn)在科技界已普遍接受并習(xí)慣使用〃混沌〃一詞的專門含義了，于是一般便去掉了〃確定性〃這一定語。人們已普遍認(rèn)為〃混沌〃就是〃確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)狀態(tài)〃（1986年英國皇家學(xué)會舉辦的一次國際性專題學(xué)術(shù)會上與會者達(dá)成的共識）。二、混沌理論1、混沌概念混沌是服從確定性規(guī)律但是具有隨機(jī)性的運動。所謂服從確定性規(guī)律，是指系統(tǒng)的運動可以用確定的動力學(xué)方程表述，而不是像噪聲那樣不服從任何動力學(xué)方程。所謂運動的隨機(jī)性，是指不能像經(jīng)典力學(xué)中的機(jī)械運動那樣由某時刻狀態(tài)可以預(yù)言以后任何時刻的運動狀態(tài)，混沌運動到是像其他隨機(jī)運動或噪聲那樣，其運動狀態(tài)是不可預(yù)言的，換言之，混沌運動在相空間中沒有確定的軌道。洛倫茨把混沌運動這種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性稱為〃貌似隨機(jī)〃。2、混沌特點混沌運動是確定性和隨機(jī)性的對立統(tǒng)一，即它具有隨機(jī)性，但是又不是真正的或完全的隨機(jī)性。我們知道，通常我們所說的隨機(jī)性不僅是非周期運動的，而且不服從確定的動力學(xué)規(guī)律，從而其隨時間的演化是完全不可預(yù)言的。也就是說，它不服從因果律。因此過去一直認(rèn)為隨機(jī)性與確定性或因果性是截然對立的。但混沌運動是在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的，這與完全隨機(jī)運動有著本質(zhì)區(qū)別：⑴混沌運動服從確定的力學(xué)規(guī)律；（ii）混沌振蕩雖具有隨機(jī)性且不是規(guī)則的，但其運動也不是完全雜亂無規(guī)的（iii）雖然混沌運動在整個時間進(jìn)程中具有隨機(jī)性，即在較長時間上不能對其運動作出預(yù)言，或者說它不服從因果律，但是在較短的一定的時間范圍內(nèi)，預(yù)言還是可能的，或者說，因果律并不完全否定。因此才可以說，混沌運動是確定性和隨機(jī)性的對立統(tǒng)一。對出始狀態(tài)的敏感依賴。與隨機(jī)性密切相關(guān)的是混沌運動對初始狀態(tài)的敏感依賴。系統(tǒng)作通常規(guī)則運動時，無法避免的漲落或噪聲干擾弓I起的處始條件的微小變化一般只引起運動狀態(tài)的微小差別。即初始狀態(tài)很接近的軌道總是很接近，甚至可能趨于一致。這樣才能使人們對系統(tǒng)的運動作出預(yù)言，也才有所謂的機(jī)械決定論（拉普拉斯決定論）。混沌運動則不然，由于系統(tǒng)無法避免的漲落，初始條件的微小差別往往會使相鄰軌道按指數(shù)形式分開。洛倫茨戲稱混沌運動這種對初始條件的敏感依賴性為蝴蝶效應(yīng)（butterflyeffect）:如果全球氣象處于混沌狀態(tài)，那么有一只蝴蝶在巴西拍動翅膀，就可能在美國得克薩州引起龍卷風(fēng)。同時蝴蝶效應(yīng)也是區(qū)別混沌同其他確定性系統(tǒng)的重要標(biāo)志。只有非線性系統(tǒng)才有可能作混沌運動。對于線性微分方程，初始條件給定了，它就有確定的解。也就是說，線性系統(tǒng)不可能作帶有隨機(jī)性的混沌運動。因此，混沌運動只可能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中。當(dāng)然，系統(tǒng)的非線性只是混沌出現(xiàn)的必要條件。即非線性系統(tǒng)不一定能作混沌運動，作混沌運動還得滿足一定的適當(dāng)條件：（i）只有3個或3個以上變量的自治系統(tǒng)才有可能作混沌運動，只有2個變量的自治系統(tǒng)不可能作混沌運動。（ii）同一系統(tǒng)的運動性質(zhì)（是否作混沌運動）還與其所處條件（運動方程的參量取值）密切有關(guān)。同一系統(tǒng)，當(dāng)其所處內(nèi)在或外在條件不同時，它既可作混沌運動，也可能作其他形式的運動。2、吸引子與奇怪吸引子吸引子是由所有不同初始狀態(tài)的軌道最后所構(gòu)成的不隨時間變化的集合或流行。對于規(guī)則運動，吸引子很簡單，如穩(wěn)定態(tài)就是一個點（比如單擺有阻尼蕩振蕩最終將趨于最底點并保持穩(wěn)定，這種運動趨向的平衡位置叫做吸引子）周期運動的是閉曲線，準(zhǔn)周期運動的吸引子則是封閉的帶或環(huán)。通常將規(guī)則運動的吸引子稱為簡單吸引子或平庸吸引子。奇怪吸引子混沌運動的軌線在捕捉區(qū)所形成的吸引子不同于常規(guī)運動的吸引子。由于蝴蝶效應(yīng)及其固有的隨機(jī)性，使得單一軌道難于刻畫系統(tǒng)的運動特征。相反，所有軌道的集合——吸引子，具有一些獨特的性質(zhì)。我們將這些具有獨特性質(zhì)的吸引子稱為奇怪吸引子。3、奇怪吸弓|子的特點(1)從整體說，系統(tǒng)是穩(wěn)定的：吸引子外的一切軌道線最后都要收縮進(jìn)吸引子中。但是，從局部來說，吸引子的運動又是不穩(wěn)定的：相鄰軌道要相互排斥而按指數(shù)形式分離。所以奇怪吸引子是這種整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性一對矛盾的結(jié)合體。(2)混沌運動的吸引子是由軌道經(jīng)大量分離和折疊才形成的。(3)混沌運動的奇怪吸引子有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)。同時，自相似結(jié)構(gòu)也是混沌運動的奇怪吸引子區(qū)別與規(guī)則運動的平庸吸引子的一個重要標(biāo)志。(4)奇怪吸引子的維數(shù)常常是非整數(shù)。(5)奇怪吸引子也具有遍歷性，即時間足夠長時，吸引子中軌道可遍及吸引子中各處。三、混沌控制自20世紀(jì)60年代以來，計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展極大地促進(jìn)了非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們對混沌在自然科學(xué)各個領(lǐng)域的表現(xiàn)及其運動規(guī)律已經(jīng)有了較全面的認(rèn)識，混沌現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一種重要運動形式這一事實已被人們普遍接受。20世紀(jì)90年代之前，人們雖然認(rèn)識到的混沌存在的客觀性，但由于它的不穩(wěn)定性和長時間發(fā)展趨勢的不可預(yù)報性，又認(rèn)為它是一種〃有害〃現(xiàn)象，在許多與實際應(yīng)用相關(guān)的工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，人們想盡辦法盡量回避這類〃有害〃的現(xiàn)象?；煦缬惺裁纯衫弥幒驮鯓佑盟鼮槿祟惙?wù)，這是人們普遍關(guān)注的問題，也是科學(xué)工作者需要探索和深入研究的新問題。也就是是說，如何利用混沌研究成果服務(wù)于人類已成為非線性科學(xué)發(fā)展提出的新的重要課題之一。利用混沌的前提是駕馭它，也就是控制混沌。1989年胡伯勒（A.Hubler）在他發(fā)表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的現(xiàn)象。次年，奧特（E.Ott）、格里波基（G.Grebog）和約克（J.York）提出控制混沌的思想，并基于混沌軌道是由無窮多不穩(wěn)定周期軌道的構(gòu)成的基本性質(zhì)，提出了一種參數(shù)微擾法控制混沌運動的具體實施辦法，即現(xiàn)在稱之為的OGY方法（Ott，GrebogiandYor）e很快他們提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditt）等人在一個力學(xué)實驗中證實，稍后也被羅意（&曲尸）等人在一個激光系統(tǒng)中加以利用和拓展，隨后的10多年中，有關(guān)混沌控制的研究得到蓬勃發(fā)展。這期間人們提出各式各樣控制混沌的方法及其理論，并在自然科學(xué)的眾多實際領(lǐng)域內(nèi)的實驗和應(yīng)用中得到證實。近年來，這一研究方向的理論和實驗以及應(yīng)用上的工作進(jìn)展異常迅猛。目前，人們對混沌控制的理解集中于：自動有效地影響混沌系統(tǒng)，使之轉(zhuǎn)化為應(yīng)用需要的狀態(tài)。如：混沌運動對實際系統(tǒng)有礙時，將其抑制住；而需要產(chǎn)生實際需要的具體有某種特定性質(zhì)的混沌運動時使用控制，從系統(tǒng)的混沌狀態(tài)中產(chǎn)生出實際需要的各種輸出。到目前為止，人們對混沌控制的研究大都集中與控制時間混沌和時空混沌。按控制目的可將混沌控制分兩類。一類是更具實際需要，將混沌吸引子中的某些不穩(wěn)定周期軌道進(jìn)行控制，即對給定的一個混沌吸引子，只對系統(tǒng)作小的擾動就能得到某個預(yù)期的周期運動行為。這種控制不改變原有的周期軌道。另一類則是通過控制或驅(qū)動，只求得到所需的周期軌道（這條軌道不一定是系統(tǒng)原有的軌道），或?qū)⒒煦缫种频?，這類控制將改變系統(tǒng)動力學(xué)行為。四、混沌的發(fā)展及應(yīng)用混沌是一種普遍的現(xiàn)象。混沌向我們揭示出一個形態(tài)和結(jié)構(gòu)的嶄新世界。它表明，在某一范圍的無序是與另一個不同范圍的有序完全協(xié)調(diào)的?；煦鐚W(xué)已經(jīng)融入了整個科學(xué)體系中。從歷史發(fā)展的角度看，在橫向上，它將各個學(xué)科連接起來，抹平了由于社會分工而造成的行業(yè)鴻溝，使混沌理論具有更廣泛的適用性；縱向上，它不僅進(jìn)一步運用數(shù)學(xué)工具，開展深一層次的理論分析，而且，已經(jīng)漸漸開始將一部分成果轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力（如混沌的控制）。如今，擺在我們面前的是一幅有序和混沌交替出現(xiàn)又同時并存的世界。聲學(xué)混沌，光學(xué)湍流，化學(xué)反應(yīng)的混沌變化，太陽系中行星的混沌軌道，地震的混沌特征，長時期天氣的〃蝴蝶效應(yīng)”，蟲口數(shù)目的混沌更迭，電子線路中的噪音輸出及電力網(wǎng)的復(fù)雜振蕩等等都無不與這門新學(xué)科相聯(lián)系。探索復(fù)雜性，揭示生命現(xiàn)象的奧秒，混沌行為的啟發(fā)將使人類自身健康狀況改善，經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)者正試圖應(yīng)用混沌理論來尋求商業(yè)周期中隱藏的有序性，以改善經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的短期預(yù)報......可謂大千世界皆混沌?；煦缂催M(jìn)一步細(xì)分了我們的研究客體，同時又統(tǒng)一了我們的研究方式，混沌理論的發(fā)展必將帶來新的技術(shù)革命。同時，混沌理論的發(fā)展，必須依賴數(shù)學(xué)。分維是奇怪吸弓I子的重要幾何特征，與之對應(yīng)的分形幾何近二十年來也得到了飛速發(fā)展，通過計算不同吸引子的各種維數(shù)，可以更有效、更細(xì)致地對混沌系統(tǒng)進(jìn)行分類。符號動力學(xué)是作為動力學(xué)系統(tǒng)一般理論的一個重要分支，人們將對一維映射系統(tǒng)符號動力學(xué)的研究推廣到高維系統(tǒng)，使混沌系統(tǒng)的拓?fù)淦者m性得到了完美體現(xiàn)，而且這種從一維向空間的推廣，也帶動了其它普適性的合理運用。另外在理論方面，還綜合了很多數(shù)學(xué)分支，如測度論、泛函分析、拓?fù)洹⒎中螏缀蔚鹊?。在技術(shù)上，一方面實驗物理學(xué)家們正在不斷地擴(kuò)大對混沌的研究領(lǐng)域，另一方面，他們正在試圖駕馭混沌：他們用種種方法將系統(tǒng)穩(wěn)定在混沌區(qū)的一個周期軌道上；他們還設(shè)法使兩個混沌的系統(tǒng)同步