激光原理第三節(jié)課

激光原理第三節(jié)課2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新1第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新2平行平面腔Fox-Li數(shù)值迭代法優(yōu)點是：光束方向性好，模體積大，容易獲得單模模振蕩，缺點是：諧振腔調(diào)整精度要求高，衍射損耗和幾何損耗都比較大，其穩(wěn)定性介于穩(wěn)定腔與非穩(wěn)定腔之間不適用于小增益器件，在中等以上功率的激光器中仍普遍應(yīng)用。平行平面腔的優(yōu)點和缺點：第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新3平行平面腔Fox-Li數(shù)值迭代法（1）假設(shè)在某一鏡面上存在一個初始場分布，將它代入迭代公式，計算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個鏡面上生成的場；（2）利用(1)所得到的代入迭代公式，計算在腔內(nèi)經(jīng)第二次渡越而在第一個鏡上生成的場；諧振腔內(nèi)描述場渡越的迭代公式，表示為：諧振腔的迭代解法的思路：（3）如此反復(fù)運(yùn)算多次后，觀察是否形成穩(wěn)態(tài)場分布；第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新4平行平面腔的迭代解法

即當(dāng)足夠大時，由數(shù)值計算得出的是否滿足下述關(guān)系：如果直接數(shù)值計算得出了穩(wěn)定不變的場分布，則表明已經(jīng)找到了腔的一個自再現(xiàn)?；驒M模???????íì==+++.....................u1uu1u1q2qq1qgg第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新5平行平面腔的迭代解法？如何選取初始入射波分布函數(shù)若取：均勻平面波基模TEM0；

一階模TEM1初始入射波分布函數(shù)不同，最后的穩(wěn)態(tài)自再現(xiàn)模分布函數(shù)也不同。第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新6平行平面腔的迭代解法流程圖第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新7對稱矩形和條形鏡平行平面腔矩形平行平面鏡腔對稱矩形(方形鏡)平行平面鏡腔是指諧振腔鏡面是平行的，并且在垂直與光軸方向上的尺度有限。條形鏡平行平面腔是指鏡面在某一方向上的尺度有限，而另一方向上的尺度是無限的。第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新8對稱矩形和條形鏡平行平面腔將上式展開，當(dāng),并忽略高次項:()()222Lyyxx+￠-+￠-=rLyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),,,(2222￠-+￠-+?úú?ùêê?é???è?￠-+???è?￠-+=￠￠r對矩形平面腔，在圖示的坐標(biāo)系中，有第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新9對稱矩形和條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的積分方程：則，積分方程的核為：第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新10對稱矩形和條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的積分方程可以簡化為：

因此有：上述方程是可以分離的，令：第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新11對稱矩形和條形鏡平行平面腔其中有：表示在x方向?qū)挾葹?a而沿y方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；表示在y方向?qū)挾葹?b而沿x方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新12對稱矩形和條形鏡平行平面腔用和分別表示它們的第m和第n個解，表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則有本征積分方程式：本征值本征函數(shù)復(fù)常數(shù)為

：m,n表示為諧振腔的橫模在整個鏡面上的自再現(xiàn)場分布函數(shù)為第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新13圓形鏡平行平面腔第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新14對圓形平面腔，在圖示的極坐標(biāo)系中，有：將上式展開，當(dāng),并忽略高次項,可以得到:圓形鏡平行平面腔)]cos(2[21),,,(22ffffr￠-￠-￠++=￠￠rrrrLLrr第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新15圓形鏡平面腔將上式代入自再現(xiàn)模積分方程，有：對上述積分方程進(jìn)行分離變量，令：第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新16可以證明所滿足的積分方程為：－為第m階貝塞爾函數(shù)．

圓形鏡平面腔第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新17平行平面腔的迭代解法

鏡面寬度為2a，腔長為L的對稱條形狀腔。并且：分析腔中的自再現(xiàn)模的形成過程。由條形狀腔的迭代公式，可以得到：第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新18平行平面腔的迭代解法

將計算結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即?。?/p>

取均勻平面波作為第一個鏡面上的初始波，即：由初始場分布出發(fā)，經(jīng)第一次及第300次渡越后，可以得到腔內(nèi)場的振幅與相位的分布圖：第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新19條狀腔經(jīng)過1次和300次傳播后的振幅分布第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新20條狀腔經(jīng)過1次和300次傳播后的位相分布第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新21條形鏡平行平面腔基模振幅分布第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新22條形鏡平行平面腔基模位相分布第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新23圓形鏡平行平面腔基模振幅分布第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新24圓形鏡平行平面腔基模位相分布第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新25最低階偶對稱基橫模穩(wěn)態(tài)場分布特點：在鏡面中心處的振幅最大，從中心到鏡面邊緣振幅逐漸降落。在整個鏡面上場的分布具有偶對稱性。相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不再是等相位面了，因此嚴(yán)格的說，TEM00已不再是均勻平面波了。第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新26最低階奇對稱橫模穩(wěn)態(tài)場分布特點：在鏡面中心處的振幅為零，在鏡面邊緣振幅也最小。而在某一中間位置處振幅達(dá)到最大，在整個鏡面上場的分布具有奇對稱性。相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不再是等相位面了，在節(jié)線邊有相位突變。第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新27對稱開腔的單程相移在對稱開腔的情況下，單程總相移第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新28對稱開腔的單程相移單程相移與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，N越大，單程相移越??；N相同時，基模的單程相移最小，橫模階數(shù)越高，單程相移越大.第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新29對稱開腔的諧振頻率對稱開腔自再現(xiàn)模的諧振條件：對于條形平行平面腔，諧振頻率主要取決于縱模頻率第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新30對稱開腔的單程功率損耗無論是條狀腔還是圓形鏡平行平面腔，單程功率損耗的大小都是菲涅耳數(shù)的函數(shù)第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新31對稱開腔的單程功率損耗單程衍射損耗與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，N越大，單程衍射損耗越小；N相同時，基模的單程衍射損耗最小，橫模階數(shù)越高，單程衍射損耗越大.低階模的損耗遠(yuǎn)比均勻平面波的損耗低第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新32穩(wěn)定球面鏡共焦腔雙凹球面鏡腔：由兩塊相距為L，曲率半徑分別為R1和R2的凹球面反射鏡構(gòu)成R1=R2=L博伊德和戈登(BoydandGordon)方形鏡共焦腔長橢球函數(shù)，在N很大的情況，可以表示稱厄米多項式與高斯函數(shù)乘積的形式。圓形鏡共焦腔超橢球函數(shù)，在N很大的情況，可以表示稱拉蓋爾多項式與高斯函數(shù)乘積的形式。第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新33方形鏡對稱共焦腔第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新34方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解兩鏡面間任意兩點的連線長度：第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新35方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解由球面鏡的幾何關(guān)系：所以，有：第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新36方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解可以得到：方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程代入自再現(xiàn)模積分方程：第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新37方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解進(jìn)行無量綱變換：則積分方程轉(zhuǎn)化為：根據(jù)分離變量：不存在交錯積分，是一個可分離變量的積分方程第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新38方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解求解上述方程的問題等價于如下兩個方程的求解問題：由博伊德和戈登給出，在C為有限值時，自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)為:第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新39方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解角向長橢球函數(shù)

與相應(yīng)的本征值為：式中：其中：

徑向長橢球函數(shù)第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新40方形鏡對稱共焦腔模式的場分布可以證明，在時，即在共焦腔鏡面中心附近：式中、:為常系數(shù)；:為m階厄米多項式4N厄米多項式的零點決定了場圖的零點，高斯函數(shù)決定了場分布的外形輪廓)1,C(R)1,C(ReC2)1(on)1(om]2)1nm(kL(i[nmppss++--=為高斯函數(shù)2X2e-第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新41方形鏡對稱共焦腔模式的場分布最初幾階厄米多項式：厄米多項式具有如下的性質(zhì)：有m個實數(shù)根厄米多項式的一般表達(dá)式:第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新42方形鏡對稱共焦腔模式的場分布將X,Y換回鏡面上的直角坐標(biāo)系x,y，得到：

本征值的近似解：第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新43鏡面上場的振幅和相位分布—基模

當(dāng)，得出共焦腔基模（TEM00）的場的分布函數(shù)：基模的強(qiáng)度分布也是高斯型的：基模的鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心向邊緣平滑降落。第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新44鏡面上場的振幅和相位分布—基?；?qiáng)度最大值1/2處

半功率點的光斑半徑：基模振幅最大值的1/e處基模在鏡面上的光斑半徑

：共焦腔的光斑半徑大小與鏡面的尺寸沒有關(guān)系，只與腔長或者反射鏡的焦距有關(guān)第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新45鏡面上場的振幅和相位分布—基模高斯分布與兩種定義的光斑尺寸第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新46鏡面上場的振幅和相位分布—高階橫模利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫為：最初幾個橫模的振幅分布函數(shù)為(P117圖2-7-3振幅和強(qiáng)度分布)：第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新47鏡面上場的振幅和相位分布—高階橫模高階橫模光斑半徑須按沿不同坐標(biāo)來計算，可以證明，沿x,y方向的光斑半徑分別為：自再現(xiàn)模的輻角決定了鏡面上場的相位分布：無論對基?；蛘吒唠A模式，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成一個等相位面第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新48共焦腔的單程能量損耗

共焦腔基模單程功率損耗經(jīng)驗公式：而同一菲涅耳數(shù)的圓形平面鏡腔基模的損耗：因此：菲涅耳數(shù)：單程功率損耗例：

HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振蕩波長0.6328微米第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新49

方形鏡共焦腔和平行平面腔的衍射損耗第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新50單程能量損耗結(jié)論：損耗隨著菲涅耳系數(shù)N的增大而迅速減小菲涅耳系數(shù)相同時，不同橫模的損耗不同，模的階次越高，損耗越大；共焦腔模的損耗要小于平面腔模的損耗，這是因為共焦腔對光束會聚作用的結(jié)果。自再現(xiàn)模的衍射損耗小于均勻平面波的衍射損耗，因為自再現(xiàn)模的形成過程反應(yīng)了衍射損耗的影響，從而使得邊緣部分強(qiáng)度變小，衍射損耗的作用變小。第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新51單程相移和諧振頻率

由諧振條件:可以得出各階模的諧振頻率為：同一橫模的相鄰兩縱模之間的頻率間隔為：q一定時，m,n改變，頻率間隔為：TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為：附加相移第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新52單程相移和諧振頻率共焦腔的振蕩頻譜及縱模和橫模的關(guān)系第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月27日福建師范大學(xué)物光學(xué)院陳建新53方形鏡共焦腔強(qiáng)度花樣第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期日2004年10月2