數學建模案例分析-1

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數學建模案例分析--概率統(tǒng)計方法建模

習題四

1、在一個人數好多的團體中普查某種疾病，為此要抽驗N個人的血，可以用兩種方法進行。（1）將每個人的血分別檢驗，這就需要驗N次；（2）按k個人一組進行分組，把從k個人抽來的血混合在一起進行檢驗，假使這混合血液呈陰性反應，就說明這k個人的血都呈陰性反應，這樣，這k個人的血就只需驗一次。若呈陽性，則再對這k個人的血分別進行化驗。這樣，k個人的血總共要化驗k+1次。假設每個人的血呈陽性的概率為p，且這些人的試驗反應是相互獨立的。試說明當p較小時，選取適當的k，按其次種方法可以減少化驗的次數。并說明當k取什么值時最適合？2、人群中有健康人和病人兩類，病人可以通過與健康人接觸將疾病傳染給健康人。任何兩人之間的接觸是隨機的，當健康人與病人接觸時是否被感染也是隨機的。假使通過實際數據或經驗把握了這些隨機規(guī)律，試估計平均每天有多少健康人被感染。

3、某商店要訂購一批商品零售，設購進價c1，售出價c2，訂購費c0（與數量無關）。隨機需求量r的概率密度為p(r)，每件商品的貯存費為c3（與時間無關）。問如何確定訂購量才能使商店的平均利潤最大。這個平均利潤是多少？為使這個平均利潤為正值，需要對訂購費c0加什么限制？4、若零件壽命聽從指數分布，證明不存在預防性更換策略。又問，若失效率r(t)為減函數，是否會存在預防性更換策略？

5、用連續(xù)熱軋方法制造鋼材時要經過兩道工序，第一道是粗軋（熱軋），形成鋼材的雛形；其次道是精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的鋼材。粗軋時由于設備，環(huán)境等方面隨機因素的影響，鋼材冷卻后的長度大致上呈正態(tài)分布，其均值可以在軋制過程中由軋機調整，而其均方差則是由設備的確切度決定的，不能隨意改變。精軋時把多出規(guī)定的部分切掉，但是假使發(fā)現(xiàn)粗軋后的鋼材已經比規(guī)定長度短，則整根報廢。精軋設備精度很高，可以認為軋出的成品材完全符合規(guī)定長度要求。根據軋制工藝的要求，要在成品材規(guī)定長度l和粗軋后鋼材長度的均方差已知的條件下，確定粗軋后的均值m，使得當軋機調整到m進行粗軋，再精軋后得到成品材時的浪費最少。

6、若上題中鋼材粗軋后，長度在l1與l之間時降級使用（譬如經濟價值上每一根降級材相當于根成品材）。長度小于l1才整根報廢。試選用適合的目標函數建立優(yōu)化模型，使某種意義下的浪費量最小。

7、某種水泥在凝固時放出的熱量Y(卡/克)與其中的四種化學成分X1，X2，X3，X4有關，現(xiàn)有13個水泥樣品的樣本數據列于下表：

數學建模案例分析--概率統(tǒng)計方法建模

序號X1X2X3X4Y

172666078.5

2129155274.331156820104.34113184787.6

575263395.9

61155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4

試建立Y關于X1，X2，X3，X4的線性回歸方程。

8

和飄塵濃度X如下表所示：

12X1和飄塵濃度X2分別為（5.6,18.1）和（8.2,17.