線性代數(shù)期末試卷及詳細(xì)答案

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一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每題2分，共10分）

1、設(shè)D1=

D135D510，，則=D=2O12202345O=_____________。D22、四階方陣A、B，已知A=

1?1-1，且B=2A??2A?，則B=_____________。16323、三階方陣A的特征值為1，-1，2，且B=A-5A，則B的特征值為_____________。

24、若n階方陣A滿足關(guān)系式A-3A-2E?O，若其中E是單位陣，那么

A?1=_____________。

5、設(shè)?1??1,1,1?2??1,?，則t=_____________。2,3?，?3??1,3,t?線性相關(guān)，

二、單項選擇題（每題僅有一個正確答案，將正確答案的番號填入下表內(nèi)，每題2分，共20分）

1、若方程

x?132x?13?6成立，則x是??0xx?221?4（A）-2或3；（B）-3或2；

（C）-2或-3；（D）3或2；2、設(shè)A、B均為n階方陣，則以下正確的公式為

322322（A）?A?B??A?3AB+3AB+B；（B）?A?B??A+B?=A?B；222（C）A?E=?A?E??A+E?；（D）?AB?=AB

233、設(shè)A為可逆n階方陣，則A??=

**n?2（A）AE；（B）A；（C）AA；（D）A4、以下矩陣中哪一個是初等矩陣

nA；

?100??100???010（A）?；（B）???；002???011???

?01?1??010?????（C）??101?；（D）?00?2?；

?100??001?????5、以下命題正確的是

（A）假使有全為零的數(shù)k1,k2k3,?,km,使k1?1?k2?2???km?m??，則?1,?2，

?，?m線性無關(guān)；

（B）向量組?1,?2，?，?m若其中有一個向量可由向量組線性表示，則?1,?2，?，

?m線性相關(guān)；

（C）向量組?1,?2，?，?m的一個部分組線性相關(guān)，則原向量組本身線性相關(guān)；（D）向量組?1,?2，?，?m線性相關(guān)，則每一個向量都可由其余向量線性表示。6、?1,?2，?，?m和?1，?2，?，?m為兩個n維向量組，且

?1=?2+?3+?+?m

?2=?1+?3+?+?m

????????

?m=?1+?2+?+?m?1

則以下結(jié)論正確的是

（A）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（B）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（C）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（D）無法判定

7、設(shè)A為n階實對稱方陣且為正交矩陣，則有

（A）A=E（B）A相像于E（C）A?E（D）A合同于E

8、若?1,?2,?3,?4是線性方程組AX?O的基礎(chǔ)解系，則?1+?2+?3+?4是AX?O的（A）解向量（B）基礎(chǔ)解系（C）通解；（D）A的行向量；9、?1,

2?2都是n階矩陣A的特征值，?1??2，且X1和X2分別是對應(yīng)于?1和?2的特征

向量，當(dāng)k1,k2滿足什么條件時，X?k1X1?k2X2必是矩陣A的特征向量。

（A）k1?0且k2?0；（B）k1?0，k2?0（C）k1k2?0（D）k1?0而k2?0

?1?10???10、以下哪一個二次型的矩陣是?130????000??（A）f(x1,x2)?x12?2x2x2?3x22；（B）f(x1,x2)?x12?x1x2?3x22;

(C)f(x1,x2,x3)?x12?2x2x2?3x22;(D)f(x1,x2,x3)?x12?x1x2?x2x3?3x22;

三、計算題（每題9分，共63分）

??????????1、設(shè)3階矩陣，A=2?2，B=?2，其中?，?，?2，?3均是3維行向量，且已知???????3?3????3??行列式A=18，B=2，求A+B2、解矩陣方程AX+B=X，其中

?010??1?1??，B??20?

A=??111????????10?1???5?3??3、設(shè)有三維列向量組

?1????1??1??0??，?=?1???，?=?1?，?=???

?1=?123????????2?????1???1?????1???????為何值時：

（1）?可由?1，?2，?3線性表示，且表示式是唯一的；（2）?不能由?1，?2，?3線性表示；

（3）?可由?1，?2，?3線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。

4、已知四元非齊次線性方程組AX=?滿足R(A)?3，?1，?2，?3是AX=?的三個解向量，其中

?2??1??????40?1??2???，?2??3???

?0??3?????2???4?求AX=?的通解。

?1a1??000?????5、已知A=B，且A=a1b，B=010???????1b1???002??求a,b

6、齊次線性方程組

?2x1?x2?3x3?0????x1?3x2?4x3?0???x?2x?ax?0?2?1?中當(dāng)a為何值時，有非零解，并求出通解。

7、用正交變換法化二次型f(x1,x2,x3)?4x12?4x22?4x32?4x1x2?4x1x3?4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出正交變換。

四、證明題（7分）

設(shè)A為m×n矩陣，B為n階矩陣，已知R(A)?n證明：若AB=O，則B=O

《線性代數(shù)》期末考試題A題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題

1、-10；2、81；3、?4，?6，?12；4、

1?A?3E?；5、5；2一、二、單項選擇題(每題2分，共20分)

題號12C3D4B5C6C7C8A9D10C答案A番號一、三、計算題(每題9分，共63分)

?+??+?1、A+B=3?2=12?2（2分）

4?3?3??=12?2+12?2（4分）

?3?3??=2?2+12?2（7分）

?3?3=2×18+12×2=60（9分）2、AX+B?X??E?A?X?B（2分）

1?1E?A?1100?10?1?3?0（3分）2X??E?A?B（5分）

?E?A??1?021?1?（7分）???321

?3???0?11??

?021??1?1??3?1?1??20???20?（9分）X???321?

?????3??0?11????5?3????1?1??3、設(shè)??k1?1?k2?2?k3?3

1+?11111A?11+?1?(?+3)11+?1=?2(?+3)?0111+?111+????0且???3時，方程組有唯一解

即?可由?1，?2，?3唯一線性表示，（2）當(dāng)?=?3時

???2110??1?21???A?=?1?21????3??3??01?1?2?11?29????000?6??R(A)=2，R?A?=3?無解

即當(dāng)?=?3時，?不能由?1，?2，?3線性表示（3）當(dāng)?=0時

?A??=?1110??1110??1110?????0000??1110????0000?

????R(A)=R?A?=1

?1???1????2??a???2???????114.問a取何值時，以下向量組線性相關(guān)？?1????,?2??a?,?3????。

?2??2???1???1?a?????????2????2???

??x1?x2?x3???3?5.?為何值時，線性方程組?x1??x2?x3??2有唯一解，無解和有無窮多解？當(dāng)方程

?x?x??x??223?1組有無窮多解時求其通解。

?1??2??1??3??????????4??9??0??10?6.設(shè)?1???,?2??,??,??.求此向量組的秩和一個極大無關(guān)34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。

?100???7.設(shè)A??010?，求A的特征值及對應(yīng)的特征向量。

?021???五、證明題(7分)

若A是n階方陣，且AA?I，證明A?I?0。其中I為單位矩陣。A??1，

?

線性代數(shù)期末考試題答案

一、填空題1.5

2.??1

3.s?s，n?n

4.相關(guān)

5.A?3E二、判斷正誤1.×2.√三、單項選擇題1.③2.③四、計算題1.

3.√3.③

4.√5.×

4.②5.①

x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bcxd00x?(x?a?b?c?d)x30x0?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)000002.

(A?2E)B?A

(A?2E)?1?2?1?1????2?2?1???1???11?，

?5?2?2?B?(A?2E)?1A???4?3?2?

????223??

3.

??1234??1000?C?B??0123?100??012???，(C?B)'??2?0?3210???0001????4321???????1000??100C?B?'??1???2100??1?21?，X?E??C?B?'??1???210?0???01?21???1?21?01?24.

a?12?12a1，a2，a3??12a?12?18(2a?1)2(2a?2)當(dāng)a??12或a?1時，?1?122aa1，a2，a3線性相關(guān)。

5.

①當(dāng)??1且???2時，方程組有唯一解；②當(dāng)???2時方程組無解

?③當(dāng)??1時，有無窮多組解，通解為????2??0????1????1????c?????11?c20??0????0????1??

6.

0?

0?0??1??量組向

13??1213??1?12?49??01?4?2??0010??????(a1，a2，a3，a4)???1?1?3?7??0?3?4?10??0??????0?3?1?7??0?3?1?7??0?100?2??0102?????0011???0000??

3?1?4?2??0?16?16??0?13?13?21則r?a1，