20042005學年秋季學期工科數學分析答案

哈爾濱工業(yè)大學2004/2005學年秋季學期工科數學剖析期末考試一試卷（答案）試題卷（A）考試形式（開、閉卷）：閉答題時間：150（分鐘）本卷面成績占課程成績70%題一二三四五六七八卷面平時課程號總分成績總成績：號分學數一．選擇題（每題2分，共10分）得分1．以下表達中不正確者為（D）級班（A）假如數列xn收斂，那么數列xn必定有界。（B）假如limnuna，則必定有l(wèi)imuna。n:（C）f(x)在點x0處可導的充要條件是f(x)在點x0處可微。名姓（D）假如函數yf(x)在點x0處導數為0，則必在該點處獲得極值。2．設在[0，1]上f''(x)0則以下不等式正確者為（B）（A）f'(1)f'(0)f(1)f(0)（B）f'(1)f(1)f(0)f（C）f(1)f(0)f'(1)f'(0)（D）f'(1)f(0)f(1)f

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(0)(0)3．若f(x)在a,b上可積，則以下表達中錯誤者為（D）x（A）f(t)dt連續(xù)（B）f(x)在a,b上可積a（C）f(x)在a,b上由界（D）f(x)在a,b上連續(xù)第1頁（共7頁）4．若F(x)A）cosB）cosC）cosD）cos15．lim(exn遵守（A）e考（C）e3試紀

xsin[(ysinsin3tdt)]dy，則F'(x)（D）a0xy3tdt)]dysin[(sina0xy3tdt)]dysin(y3tdt)3sin2xcosxsin[(sinsina00xy3tdt)]dysin(y3xdx)sin[(sinsina00xy3tdt)]dysin(y3tdt)sin[(sinsina00)（D）xB）e2D）e4律二．填空題（每題2分，共10分）得分注意lim10)的中斷點為：x1，其種類為：第一類中斷點。行1．yn(x1x為n規(guī)2．yx32的所有漸近線方程為：x1,yx-2。范(1x)3．擺線xa(tsint)在t處的切線方程為：xy1(4)a0。ya(1cost)2214．lim(n!)n2=：1。n5．設f(x)在1,上可導，f(1)0,f'(ex1)3e2x2，則f(x)=：x33x25x3第2頁（共7頁）三．計算以下各題：（每題4分，此題滿分20分）y得分1．若y2xex，求y'x?y2y'xy'xxy解：2lnylnx，xyx2則y'xy(xy)x(y2x)2．xcost，求y''?2xxytsint)解：y'xy'1cost4sint，y''xx2cost14costtx't1sint221t22sin222arctanxdx1xtant解：arctanxdxx1xtan2t

2tantsec2tdt2tantsectdtsect=2tdsect2tsect-2sectdt2tsect-2lnsecttantc=2arctanxx12ln(x1x)c1yexdx4．x11yexdxy1(x-y)exdx解：x(y-x)exdx11yy1(y-x)dexy(x-y)dex1(y-x)exyyxx11x1-1edx(x-y)eyedxy[(y-x)exex]yex]12ey(e1)y[(x-y)exy1e第3頁（共7頁）5.已知lim(xc)xc2tdt，求c?texxcxc1c1xxx2cc2tc2t解：limlim(()c)etedt2tdexxcx1xcc=1[te2t(c1)e2c，e2tdt224因此e2c(c1)e2c。故c5242四．解答以下各題：（每題5分，此題滿分10分）得分1.已知數列xn，xn1xn(2xn),nN，且x1a,0a1.求證：xn收斂，而且limxn?n證明：1)證xn有界由于x2a(2a),因此0x21。假定0xnxn-1(2xn-1)1，則0xn11。故xn有界。2）證xn單一由于xn1xnxn(2xn)xnxn(1xn)0，故xn為單一上漲數列。由1）和2）知道xn收斂。設limxnA，由xn1xn(2xn)，因此n有AA(2A)解得A0,A1。而xn0且為單一遞加數列，因此A0。故limxn1。n第4頁（共7頁）2．設0t，曲線ysinx與三條直線xt,x2t,y0所圍平面部分繞2x軸旋轉成的旋轉體的體積為V(t),t取何值時，V(t)最大？解：V(t)2t2tsin2xdxt2xdx，sin2xdx0sint0V'(t)sin2t(22cost1)(22cost1)由V'(t)0得，tarccos2。當arccos2t時，V'(t)0442故當tarccos2時，V(t)達到極大值，且為最大值。4五：證明以下各題：（1，2題各4分，3，4題各6分，此題滿分20分）得分1.證明方程xasinxb,a0,b0起碼有一個不超出ab的正根。證明：設f(x)xasinxb，明顯它在0,ab上連續(xù)。f(ab)abasin(ab)ba[1sin(ab)]0（i）若f(ab)0，則ab即為知足條件的根。（ii）若f(ab)0，則f(ab)0。而f(0)b0，由零點定理知存在(0,ab)，使得f()0。即為知足條件的根。第5頁（共7頁）122.設函數fC[0,1]且3f(u)du1，試證：[0,1]:f()01f(u)du1知道1f(u)du11u2)du0。證明：由30，因此0(f(u)03由于f(u)u2C[0,1]，故由積分中值定理知：[0,1]，使得1u2)duf()2(10)0，即[0,1]:f()2(f(u)。03.設f(x)在區(qū)間[a,b]上有二階導數。f'(a)f'(b)0，證明：在區(qū)間(a,b)內起碼存在一點，使f''()4f(b)f(a)(ba)2證明：將f(x)在xa與xb處展成一階泰勒公式f(x)f(a)f'(a)(xa)f''(1)(xa)2(1)2f(x)f(b)f'(b)(xb)f''(2)(xb)2(2)2令xab，注意到f'(a)f'(b)0，(1),(2)有2f(ab)f(a)f''(1)(ba)2(3)224f(ab)f(b)f''(2)(ba)2(4)224(4)-(3)得：0f(b)f(a)(ba)2''(1)f''(2))8(f因此：f(b)f(a)(ba)2f''(1)f''(2)(ba)2(f''(1)f''(2))88第6頁（共7頁）取max[f''(1),f''(2)]f''()，即有f''()f(b)f(a)4a)2。(b4.設f(x)在區(qū)間[0,1]11上連續(xù)，且f(x)dxxf(x)dx00證明：存在一個(0,1)使得0f(x)dx0證明：令F(x)x，明顯F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可(xt)f(t)dt0導，又F(0)0，