差分方程的解法_第1頁
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文檔簡介

第三節(jié)

差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、常系數(shù)線性差分方程的解

方程

（8）

其中為常數(shù)，稱方程（8）為常系數(shù)線性方程。

又稱方程

（9）

為方程（8）對應(yīng)的齊次方程。

如果（9）有形如的解，帶入方程中可得：

（10）

稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。

顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。

基本結(jié)果如下：（1）

若（10）有k個(gè)不同的實(shí)根，則（9）有通解：

，（2）

若（10）有m重根，則通解中有構(gòu)成項(xiàng)：

（3）若（10）有一對單復(fù)根

，令：，，則（9）的通解中有構(gòu)成項(xiàng)：

（4）若有m重復(fù)根：，，則（9）的通項(xiàng)中有成項(xiàng)：

綜上所述，由于方程（10）恰有k個(gè)根，從而構(gòu)成方程

（9）的通解中必有k個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。通解可記為：

如果能得到方程（8）的一個(gè)特解：，則（8）必有通解：

+

（11）

（1）

的特解可通過待定系數(shù)法來確定。

例如：如果為n的多項(xiàng)式，則當(dāng)b不是特征根時(shí)，可設(shè)成形如形式的特解，其中為m次多項(xiàng)式；如果b是r重根時(shí)，可設(shè)特解：，將其代入（8）中確定出系數(shù)即可。

所以，3、二階線性差分方程組設(shè)，，形成向量方程組

（12）則

（13）

（13）即為（12）的解。

為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數(shù)的方法計(jì)算。常用的方法有：

（1）如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對角矩陣，對角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：。

（2）將A分解成為列向量，則有

從而，（3）

或者將A相似于約旦標(biāo)準(zhǔn)形的形式，通過討論A的特征值的性態(tài)，找出的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進(jìn)而分析解

的變化規(guī)律，獲得它的基本性質(zhì)。4、關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)果（1）k階常系數(shù)線性差分方程（8）的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對應(yīng)的特征方程（10）所有的特征根滿足

（2）一階非線性差分方程

（14）

（14）的平衡點(diǎn)由方程決定，

將在點(diǎn)處展開為泰勒形式：

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