空間問題解答

空間問題解答第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.1按位移求解空間問題

按位移求解空間問題，是取位移分量為基本未函數(shù)。

將幾何方程代入物理方程得：(6-1)第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一將式(6-1)代入空間問題平衡微分方程得§6.1按應(yīng)力求解空間問題XYZ(6-2)對于軸對稱問題，同樣可以得到：(6-3)第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.2半空間體受重力及均布壓力由于對稱，任一鉛直面均為對稱面，則：由此知基本微分方程6-2前兩式自動滿足，第三式成為：問題描述：設(shè)一半空間體，容重為p=ρg，在水平邊界上受均布壓力q，如右圖所示，體力分量為X=0，Y=0，Z=ρg。(a)第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一整理上式并積分得：(b)將上式代入6-1得：(c)由邊界條件可得ρgA=q,則：又有位移邊界條件：由此解出B代入得：§6.2半空間體受重力和均布壓力第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.3半空間體受法向集中力問題描述：

設(shè)有半空間體，體力不計，在水平面上受法向集中力P。由于是軸對稱問題，則平衡方程簡化成如下形式：應(yīng)力邊界條件為：由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)化來的平衡方程為：第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一解上面平衡方程和邊界條件得：由此得水平邊界上任一點的沉降為：特征：(1)R無窮大時，各應(yīng)力分量均趨近為0，R趨近為0時，各應(yīng)力分量為無窮大(2)水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。(3)水平截面的全應(yīng)力均指向作用點?！?.3半空間體受集中力作用第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一6.4按應(yīng)力求解空間問題按照應(yīng)力求解問題，是取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。對幾何方程求2次導(dǎo)可得：以上為一組相容方程，同樣的方法可以得到另外一組相容方程：第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一將物理方程代入上述相容方程得：§6.4按應(yīng)力求解空間問題第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一將平衡方程簡化上式得：§6.4按應(yīng)力求解空間問題第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一同時得到：§6.4按應(yīng)力求解空間問題滿足上述兩個相容方程，并滿足平衡方程即可求解空間問題的應(yīng)力解。第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)柱體扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲自由扭轉(zhuǎn)——翹曲不受限制約束扭轉(zhuǎn)——翹曲受到限制彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn)第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一柱體自由扭轉(zhuǎn)計算模型自由扭轉(zhuǎn)假設(shè)1.剛截面假設(shè)2.翹曲假設(shè)位移解法基本方程§6.5等截面直桿扭轉(zhuǎn)單位長度相對扭轉(zhuǎn)角

調(diào)和方程第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一柱體扭轉(zhuǎn)邊界條件側(cè)面邊界條件翹曲函數(shù)表達(dá)端面邊界條件困難端面邊界條件T=GDj§6.5等截面直桿扭轉(zhuǎn)第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一柱體扭轉(zhuǎn)應(yīng)力解法扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)

§6.5等截面直桿扭轉(zhuǎn)yc=const

邊界條件側(cè)面端面單連域取為0第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.6薄膜比擬德國力學(xué)家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均勻壓力的薄膜與柱體扭轉(zhuǎn)有著相似的微分方程和邊界條件通過測試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉(zhuǎn)時橫截面的應(yīng)力分布

薄膜比擬第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一薄膜邊界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所圍的體積調(diào)整薄膜的高度，使2V=T，則 Z=y

薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式y(tǒng)c=0

§6.6薄膜比擬第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

薄膜曲面可以形象地描述柱體橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布薄膜的等高線

§6.6薄膜比擬切應(yīng)力方向沿薄膜等高線切線切應(yīng)力與等高線法線方向?qū)?shù)成正比切應(yīng)力與等高線相切切應(yīng)力線

ts第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.7橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一最大切應(yīng)力橫截面翹曲§6.7橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一§6.8矩形截面桿件扭轉(zhuǎn)矩形截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)構(gòu)造困難應(yīng)力解法基本方程為泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一個特解，都可以化成拉普拉斯方程。第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一協(xié)調(diào)方程

特解

協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊界條件§6.8矩形截面桿件第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊界條件設(shè)§6.8矩形截面桿件第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)薄膜比擬，應(yīng)力函數(shù)為x和y的偶函數(shù)，所以協(xié)調(diào)方程的特解線性迭加就是方程通解

根據(jù)邊界條件所以§6.8矩形截面桿件第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)邊界條件則兩邊同時乘以并在（-b，b）區(qū)間積分，可得應(yīng)力函數(shù)§6.8矩形截面桿件第25頁，共27頁，