離中趨勢(shì)測(cè)量法

離中趨勢(shì)測(cè)量法第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一所謂離中趨勢(shì)，是指數(shù)列中各變量值之間的差距和離散程度。離勢(shì)小，平均數(shù)的代表性高；離勢(shì)大，平均數(shù)代表性低。

例如有A、B、C、D四組學(xué)生各5人的成績?nèi)缦拢?/p>

A組：60，60，60，60，60

B組：58，59，60，61，62

C組：40，50，60，70，80

D組：80，80，80，80，80

數(shù)據(jù)顯示，平均數(shù)相同，離勢(shì)可能不同；平均數(shù)不同，離勢(shì)可能相同。2023/4/14第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一變異指標(biāo)如按數(shù)量關(guān)系來分有以下兩類；凡用絕對(duì)數(shù)來表達(dá)的變異指標(biāo)，統(tǒng)稱絕對(duì)離勢(shì);凡用相對(duì)數(shù)來表達(dá)的變異指標(biāo)，統(tǒng)稱相對(duì)離勢(shì);主要有極差、平均差、四分位差、標(biāo)準(zhǔn)差等。主要有異眾比率、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)、平均差系數(shù)和一些常用的偏態(tài)系數(shù)。

變異指標(biāo)用以反映總體各單位標(biāo)志值的變動(dòng)范圍或參差程度，與平均指標(biāo)相對(duì)應(yīng)，從另一個(gè)側(cè)面反映了總體的特征。

2023/4/14第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)全距與四分位差1.全距(Range)

R=Xmax–Xmin

[例]求74，84，69，91，87，74，69這些數(shù)字的全距。

[解]把數(shù)字按順序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，顯然有

R=Xmax–Xmin

＝91—69＝22全距（R）：最大值和最小值之差。也叫極差。全距越大，表示變動(dòng)越大。2023/4/14第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一運(yùn)用上述方法計(jì)算左邊數(shù)列的全距對(duì)分組資料，不能確知最大值和最小值，求全距：（1）用組值最大組的組中值減去最小組的組中值（2）用組值最大組的上限減去最小組的下限（3）用組值最大組的組中值減去最小組的下限；或最大組的上限減去最小組的組中值2023/4/14第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、直觀。（1）受極端值影響大；（2）沒有量度中間各個(gè)單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息喪失嚴(yán)重；（3）受抽樣變動(dòng)影響大，大樣本全距比小樣本全距大。2023/4/14第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.四分位差(Quartiledeviation)

第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的半距。避免全距受極端值影響大的缺點(diǎn)。求下列兩組成績的四分位差：A:788082858987908679888481B:5568788899100989085838481請(qǐng)大家計(jì)算一下，看能否算對(duì)2023/4/14第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)平均差(Meanabsolutedeviation)要測(cè)定變量值的離中趨勢(shì)，尤其是要測(cè)定各變量值相對(duì)于平均數(shù)的差異情況，一個(gè)很自然的想法就是計(jì)算各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差。平均差是離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。（meandeviation)1.對(duì)于未分組資料

A·D=

2.對(duì)于分組資料A·D=3.平均差的性質(zhì)

在受抽樣變動(dòng)、極端值影響，處理不確定組距方面均同于算術(shù)平均數(shù)；不適于代數(shù)運(yùn)算，其理論意義不易闡述。2023/4/14第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

[例1]試分別以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求85，69，69，74，87，91，74這些數(shù)字的平均差。

[例2]試以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求下表所示數(shù)據(jù)的平均差。

計(jì)算左邊數(shù)列的平均差2023/4/14第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation)

各變量值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，均方差，又稱用S表示。

即克服平均差帶有絕對(duì)值的缺點(diǎn)，又保留其綜合平均的優(yōu)點(diǎn)。1.對(duì)于未分組資科

2023/4/14第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差。2023/4/14第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一2.對(duì)于分組資料

計(jì)算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差2023/4/14第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

計(jì)算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差

[例]調(diào)查大一男生60人的身高情況如下表所示，求他們身高的標(biāo)準(zhǔn)差。2023/4/14第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

[解]因?yàn)槭欠纸M資料，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差運(yùn)用加權(quán)式，并參見下表2023/4/14第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體各單位標(biāo)志值的離散狀況和差異程度的最佳測(cè)度。（1）以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差比以其他任何數(shù)值為基準(zhǔn)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差要小?！白钚《朔健毙再|(zhì)——各變量值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和，必定小于他們對(duì)任何其他數(shù)偏差的平方和。（2）它將總體中各單位標(biāo)志值的差異全包括在內(nèi)，受抽樣變動(dòng)影響小。但在受極端值影響以及處理不確定組距方面，缺點(diǎn)同算術(shù)平均數(shù)。值得注意的是，在推論統(tǒng)計(jì)中我們將發(fā)現(xiàn)，方差是比標(biāo)準(zhǔn)差更有理論價(jià)值的概念。所謂方差，即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，它直接寫成。也常被稱為變異數(shù)。3.標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)2023/4/14第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一4.標(biāo)準(zhǔn)分(standardscore)

以離差和標(biāo)準(zhǔn)差的比值來測(cè)定變量與的相對(duì)位置。使原來不能直接比較的離差標(biāo)準(zhǔn)化，可以相互比較，加、減、平均。

（1）Z是和X一一對(duì)應(yīng)的變量值；（2）Z分?jǐn)?shù)沒有單位，是一個(gè)不受原資料單位影響的相對(duì)數(shù)，所以可以用于不同單位資料的比較；（3）Z分?jǐn)?shù)實(shí)際表達(dá)了變量值距總體均值有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。2023/4/14第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

Z分?jǐn)?shù)也有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量之稱。按Z值大小編制出的正態(tài)分布表，其用途十分廣泛。

Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：Z分?jǐn)?shù)之和等于0Z分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)等于0Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于1，方差也等于12023/4/14第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)相對(duì)離勢(shì)上述各種反映離中趨勢(shì)的變異指標(biāo)，都具有和原資料相同的計(jì)算單位，稱絕對(duì)離勢(shì)。但欲比較具有不同單位的資料的參差程度，或比較單位雖相同而均值不相同的資料的參差程度，離勢(shì)的絕對(duì)指標(biāo)則很可能導(dǎo)致某些錯(cuò)誤結(jié)論。所以，我們還得了解和學(xué)習(xí)相對(duì)離勢(shì)。

1.變異系數(shù)

絕對(duì)離勢(shì)統(tǒng)計(jì)量與其算術(shù)平均數(shù)的比率，用V

表示。變異系數(shù)是最具有代表性的相對(duì)離勢(shì)。

2023/4/14第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一全距系數(shù)全距系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的全距與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計(jì)算公式是平均差系數(shù)平均差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的平均差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計(jì)算公式是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計(jì)算公式是2023/4/14第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

2.異眾比率

所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值，用V·R來表示

其中：為眾數(shù)的頻數(shù)；是總體單位數(shù)

異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。2023/4/14第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

例1：某項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今三口之家的家庭最多（32%），求異眾比率。某開發(fā)商根據(jù)這一報(bào)導(dǎo)，將房屋的戶型大部分都設(shè)計(jì)為適合三口之家居住的樣式和面積，你認(rèn)為如何呢？例2：設(shè)為測(cè)體重，得到成人組和嬰兒組各100人的兩個(gè)抽樣總體。成人組平均體重為65千克，全距為10千克；嬰兒組平均體重為4千克，全距為2.5千克。能否認(rèn)為成人組體重的離勢(shì)比嬰兒組體重的離勢(shì)大？

例3：對(duì)一個(gè)群體測(cè)量身高和體重，平均身高為170.2厘米，身高標(biāo)準(zhǔn)差為5.30厘米；平均體重為70千克，體重標(biāo)準(zhǔn)差為4.77千克。比較身高和體重的離散程度。2023/4/14第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一3.偏態(tài)系數(shù)我們?cè)谇懊嬗懻摻y(tǒng)計(jì)圖時(shí)已經(jīng)對(duì)頻數(shù)分布的正態(tài)和偏態(tài)有所認(rèn)識(shí)。我們又看到了算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)之間存在的關(guān)系：當(dāng)總體呈對(duì)稱分布時(shí)，、、三者完全相等；當(dāng)總體呈不對(duì)稱的偏態(tài)分布時(shí)，它們之間存在著數(shù)量(位置)的差異。因此，偏態(tài)可由與的差來表示，即

為了使不同數(shù)列的偏態(tài)值可比，同樣可計(jì)算偏態(tài)的相對(duì)數(shù)，即偏態(tài)系數(shù)，用