因式分解的16種方法

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因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則

1分解要完全2最終結(jié)果只有小括號(hào)

3最終結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：?3x2?x??x?3x?1?）分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧把握：

①等式左邊必需是多項(xiàng)式；②分解因式的結(jié)果必需是以乘積的形式表示；③每個(gè)因式必需是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必需低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；

④分解因式必需分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。基本方法⑴提公因式法

各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

假使一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的一致的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取一致的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。

假使多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出“-〞號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-〞號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；

（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：

①第一步找公因式可依照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；

②其次步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的

一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致。

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+

11變成2(a2+)不叫提公因式24⑵公式法

假使把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：a2?b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝?a?b?2

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必需是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的

平方和的形式，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式：a3?b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3?b3=(a--b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)2．

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)單的方法，我們來學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。

能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。譬如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分派律，兩兩相配，馬上解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分派律輕松解出。

2.x3-x2+x-1

解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。3.x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。⑷十字相乘法

這種方法有兩種狀況。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

假使有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

圖示如下：

ad例如：由于1-3××

cd72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口訣：首尾分解，交織相乘，求和湊中⑸裂項(xiàng)法

這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。這鐘方法的實(shí)質(zhì)是分組分解法。要注意，必需在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特別狀況。也要注意必需在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=?x?1.5?2??6.5?2=(x+8)(x-5)．⑺應(yīng)用因式定理

對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0，假使f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；

2、對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù)⑻換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的一致的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最終再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.

例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時(shí)，可以令y=x2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．⑼求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x，x3，??xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)??(x-xn)．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時(shí)，令2x^4+7x^3-2x2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．⑽圖象法

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,??xn，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)??(x-xn)．與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠確鑿。例如在分解x^3+2x2-5x-6時(shí)，可以令y=x^3;+2x2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2

則x^3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．⑾主元法

先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。⑿特別值法

將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例如在分解x^3+9x2+23x+15時(shí)，令x=2，則

x^3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，

將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7．

注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值，則x^3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。⒀待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

于是設(shè)x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

則x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來說明如何使用。

例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．

分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：

原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．雙十字相乘法其步驟為：

①先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；③再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則簡(jiǎn)單出錯(cuò)。

多項(xiàng)式因式分解的一般步驟

①假使多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

②假使各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；

③假使用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；④分解因式，必需進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要適合。〞

幾道例題

1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．

解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補(bǔ)項(xiàng)）

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）

=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：x5?3x4y?5x3y2?15x2y3?4xy4?12y5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x2y2+4y^4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

當(dāng)y=0時(shí)，原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不一致，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。

3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

證明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a＋2b＋c＞0．∴a－c＝0，

=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]

即a＝c，△ABC為等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．四個(gè)注意

初中的數(shù)學(xué)主要是分代數(shù)和幾何兩大部分，兩者在中考