第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣

第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二方陣與行列式的區(qū)別方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的n

階方陣是所確定的一個(gè)數(shù)．要清楚兩者的含義數(shù)表.而

n

階行列式是按行列式的定義注：及記號(hào)的區(qū)別.2第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二2、方陣行列式的性質(zhì)（1）設(shè)

A，B均為n階方陣（2）（3）推廣：為同

階方陣,則特別地：3第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例1設(shè)解求4第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注：例2設(shè)其中是數(shù),

求及解一般地5第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二4、退化矩陣：設(shè)

A為n階方陣,若則稱

A是非若則稱

A是退化如：∵∴A是非退化矩陣。退化的或非奇異的；的或奇異的。6第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣一、逆矩陣的定義二、逆矩陣判斷及計(jì)算三、逆矩陣的性質(zhì)第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二一、逆矩陣的定義單位陣具有與數(shù)1在數(shù)的乘法中類似的性質(zhì).在矩陣乘法中，對(duì)于任意n階方陣A都有類似地,引入逆矩陣的概念而對(duì)于任意數(shù)，若,則存在使得8第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二對(duì)于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得成立，則矩陣A稱為可逆矩陣，B

稱為A

的定義：逆矩陣或逆陣。

的逆矩陣是.

由于所以是可逆矩陣,且例如,說明：零矩陣不是可逆矩陣。9第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

同樣,當(dāng)都不為零時(shí),由10第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二是其逆矩陣.知對(duì)角矩陣是可逆矩陣,且

一般地,若都不為零,則對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣的逆矩陣11第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例因?yàn)榧此訟為可逆矩陣，B

為A

的逆矩陣。同理A也是B

的逆矩陣,A、B

互為逆矩陣。12第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注：這是因?yàn)?如果方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.所以A的逆矩陣是唯一的.

今后將A的逆矩陣記作.

B、C都是A逆矩陣,則有即若AB=BA=E,則13第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注1并不是A的-1次方，不能寫成的形式。問題是否所有的方陣都可逆呢？否則，如何判別矩陣是否可逆？若A為可逆矩陣，如何求14第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二二.矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法方陣可逆的必要條件：命題：設(shè)A可逆,則它有逆矩陣使得從而若A可逆,則證：所以15第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二伴隨矩陣:稱為矩陣A

的伴隨矩陣.設(shè)行列式的各所構(gòu)成的如下矩陣個(gè)元素的代數(shù)余子式注：中第i行第j列處的元素是而不是問題：上述必要條件是不是充分的？即若,A一定可逆嗎？16第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例1.設(shè)求A

的伴隨矩陣.解:17第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二18第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例2:設(shè)A

為n階方陣,是A

的伴隨矩陣,計(jì)算19第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二所以

同理故有當(dāng)時(shí)，我們有從而A可逆,且20第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

這樣我們得到下述定理：說明：定理:

n階方陣A是可逆的充分必要條件是即A是非退化的,而且

該定理給出了判斷一個(gè)矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，稱之為伴隨矩陣法。21第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例3：設(shè)判斷A是否可逆？若可逆，求出解：因?yàn)樗訟可逆，且22第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二因?yàn)樗?3第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二下面給出判別矩陣可逆的更簡(jiǎn)便的方法：命題：設(shè)A、

B為n階方陣，若則，A、B

都可逆，且因?yàn)樗砸虼擞泄蔄、

B

都可逆,則有證：24第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二說明：

該命題給出了判斷一個(gè)方陣是否可逆的一種方法，同時(shí)又可以立即寫出可逆矩陣的逆矩陣問題：可逆矩陣有哪些性質(zhì)？25第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若A可逆，則也可逆，且性質(zhì)1：性質(zhì)2：若A可逆，則也可逆，且因?yàn)樗宰C：三.性質(zhì)26第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若A可逆，數(shù)

則kA可逆,且若A、

B

都可逆，則AB

也可逆，且因?yàn)?/p>

所以證：性質(zhì)3：性質(zhì)4：27第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若n階方陣可逆，則若A可逆，則因?yàn)锳可逆，所以推廣：證：性質(zhì)5：28第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例4:設(shè)方陣A

滿足

A

和A+2E

都可逆，并求它們的逆矩陣。試證解：由再由29第29頁，共31頁，2023年，2月20日，