第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣

第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二方陣與行列式的區(qū)別方陣與行列式是兩個不同的概念，n2個數(shù)按一定方式排成的n

階方陣是所確定的一個數(shù)．要清楚兩者的含義數(shù)表.而

n

階行列式是按行列式的定義注：及記號的區(qū)別.2第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二2、方陣行列式的性質（1）設

A，B均為n階方陣（2）（3）推廣：為同

階方陣,則特別地：3第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例1設解求4第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注：例2設其中是數(shù),

求及解一般地5第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二4、退化矩陣：設

A為n階方陣,若則稱

A是非若則稱

A是退化如：∵∴A是非退化矩陣。退化的或非奇異的；的或奇異的。6第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)可逆矩陣與逆矩陣一、逆矩陣的定義二、逆矩陣判斷及計算三、逆矩陣的性質第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二一、逆矩陣的定義單位陣具有與數(shù)1在數(shù)的乘法中類似的性質.在矩陣乘法中，對于任意n階方陣A都有類似地,引入逆矩陣的概念而對于任意數(shù)，若,則存在使得8第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得成立，則矩陣A稱為可逆矩陣，B

稱為A

的定義：逆矩陣或逆陣。

的逆矩陣是.

由于所以是可逆矩陣,且例如,說明：零矩陣不是可逆矩陣。9第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

同樣,當都不為零時,由10第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二是其逆矩陣.知對角矩陣是可逆矩陣,且

一般地,若都不為零,則對角矩陣是對角矩陣的逆矩陣11第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例因為即所以A為可逆矩陣，B

為A

的逆矩陣。同理A也是B

的逆矩陣,A、B

互為逆矩陣。12第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注：這是因為:如果方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.所以A的逆矩陣是唯一的.

今后將A的逆矩陣記作.

B、C都是A逆矩陣,則有即若AB=BA=E,則13第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二注1并不是A的-1次方，不能寫成的形式。問題是否所有的方陣都可逆呢？否則，如何判別矩陣是否可逆？若A為可逆矩陣，如何求14第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二二.矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法方陣可逆的必要條件：命題：設A可逆,則它有逆矩陣使得從而若A可逆,則證：所以15第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二伴隨矩陣:稱為矩陣A

的伴隨矩陣.設行列式的各所構成的如下矩陣個元素的代數(shù)余子式注：中第i行第j列處的元素是而不是問題：上述必要條件是不是充分的？即若,A一定可逆嗎？16第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例1.設求A

的伴隨矩陣.解:17第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二18第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例2:設A

為n階方陣,是A

的伴隨矩陣,計算19第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二所以

同理故有當時，我們有從而A可逆,且20第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二

這樣我們得到下述定理：說明：定理:

n階方陣A是可逆的充分必要條件是即A是非退化的,而且

該定理給出了判斷一個矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，稱之為伴隨矩陣法。21第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例3：設判斷A是否可逆？若可逆，求出解：因為所以A可逆，且22第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二因為所以23第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二下面給出判別矩陣可逆的更簡便的方法：命題：設A、

B為n階方陣，若則，A、B

都可逆，且因為所以因此有故A、

B

都可逆,則有證：24第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二說明：

該命題給出了判斷一個方陣是否可逆的一種方法，同時又可以立即寫出可逆矩陣的逆矩陣問題：可逆矩陣有哪些性質？25第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若A可逆，則也可逆，且性質1：性質2：若A可逆，則也可逆，且因為所以證：三.性質26第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若A可逆，數(shù)

則kA可逆,且若A、

B

都可逆，則AB

也可逆，且因為

所以證：性質3：性質4：27第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二若n階方陣可逆，則若A可逆，則因為A可逆，所以推廣：證：性質5：28第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期二例4:設方陣A

滿足

A

和A+2E

都可逆，并求它們的逆矩陣。試證解：由再由29第29頁，共31頁，2023年，2月20日，