自考線性代數(shù)第六章實(shí)二次型

自考線性代數(shù)第六章實(shí)二次型第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二§6.1

實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二對應(yīng)投影變換例

2階方陣對應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j

角的旋轉(zhuǎn)變換例

2階方陣第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+bxy+cy2=0

通過選擇適當(dāng)?shù)牡男D(zhuǎn)變換使得mx'2+ny'2=0．第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定義：含有n

個(gè)變量x1,x2,…,xn

的二次齊次函數(shù)稱為二次型．第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二令aij=aji，則2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj

，于是第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二對稱陣第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二對稱陣

A的秩也叫做二次型

f的秩．線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.對稱陣的二次型二次型的矩陣第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二對于二次型，尋找可逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng)，即f=k1

y12+k2

y22+…+kn

yn2

定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）.如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)k1,k2,…,kn

只在?1,0,1三個(gè)數(shù)中取值,即 f=k1

y12+…+kp

yp2?kp+1

yp+12?…?kr

yr2

則上式稱為二次型的規(guī)范形．說明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍.簡記為x=Cy，于是

f=xTAx=

(Cy)TA(Cy)=yT

(CTAC)y第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二寫出二次型

對應(yīng)的對稱矩陣A。解：可根據(jù)所給的二次型的各個(gè)系數(shù)直接寫出對應(yīng)的對稱矩陣?yán)?第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二寫出由對稱矩陣

確定的二次型。解：可根據(jù)所給的對稱矩陣直接寫出對應(yīng)的二次型例2第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)109】三元二次型的矩陣為（）。A． B．

C．D．A第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)110】實(shí)對稱矩陣所對應(yīng)的二次型

______________________．第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)111】二次型的矩陣是______________________。第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)112】二次型的秩是______________________。2【解】

秩為2．

第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)113】實(shí)對稱矩陣所對應(yīng)的二次型是________________________________．第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)114】二次型的秩是().A．1 B．2 C．3 D．4C【解】

秩為3．

第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)115】二次型=的正慣性指數(shù)為

.1【解】只有的系數(shù)是正的。

第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣

P

滿足P?1AP=B，則稱矩陣A

和B相似．（P.121定義7）定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣

C

滿足CTAC=B，則稱矩陣A

和B合同．（P.129定義9）顯然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B

即若A

為對稱陣，則B

也為對稱陣．R(B)=R(A)．經(jīng)過可逆變換后，二次型f

的矩陣由A

變?yōu)榕cA

合同的矩陣CTAC，且二次型的秩不變．第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二若二次型f經(jīng)過可逆變換

x=Cy變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即問題：對于對稱陣A，尋找可逆矩陣C，使CTAC

為對角陣,（把對稱陣合同對角化）．第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，即

A?1=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡稱正交陣．定理：設(shè)

A為n階對稱陣，則必有正交陣P，使得P?1AP

=PTAP=L，其中L

是以A

的n

個(gè)特征值為對角元的對角陣（不唯一）.（P.124定理7）定理：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在正交變換

x=Py

，使f

化為標(biāo)準(zhǔn)形

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2

其中l(wèi)1,l2,…,ln

是f

的矩陣A

的特征值．推論：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二推論：任給二次型f(x)

=xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．證明：

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2若R(A)=r，不妨設(shè)l1,l2,…,lr

不等于零，lr+1=…=ln=0,令則K

可逆，變換y=Kz把f(Py)化為f(PKz)=(PKz)T

A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【例3】求一個(gè)正交變換x=Py

，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形．【解】二次型的矩陣根據(jù)P.125例12的結(jié)果，有正交陣使得于是正交變換x=Py

把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=－2y12+y22+y32第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二

在以下4個(gè)矩陣中，哪些是合同矩陣？哪些是不合同矩陣？【例4】【解】這4個(gè)方陣的秩都同為3，因?yàn)?，A與C的正慣性指數(shù)同為1，所以A與C合同。B與D的正慣性指數(shù)同為2，所以B與D合同。但A與B不合同，B與C不合同。第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)116】二次型=經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形

.解:用配方法第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)117】求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出是否為正定二次型解:二次型的矩陣

由

得的特征值為第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二對于，由

得特征向量

對于，由

得特征向量

第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二將單位化，得

令，則為正交矩陣，從而經(jīng)正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

由于的特征值都大于零，故正定.第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二§6.2

正定二次型和正定矩陣第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二1.正定矩陣具有對稱矩陣A的二次型如果對于任何，都有成立，則稱為正定二次型，矩陣A稱為正定矩陣。第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二2.半正定矩陣具有對稱矩陣A的二次型如果對于任何，都有成立，則稱為半正定二次型，矩陣A稱為半正定矩陣。第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二3.負(fù)定矩陣具有對稱矩陣A的二次型如果對于任何，都有成立，則稱為負(fù)定二次型，矩陣A稱為負(fù)定矩陣。第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二4.半負(fù)定矩陣具有對稱矩陣A的二次型如果對于任何，都有成立，則稱為半負(fù)定二次型，矩陣A稱為半負(fù)定矩陣。第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二5.不定二次型其他的實(shí)二次型稱為不定二次型，其他的實(shí)對稱陣稱為不定矩陣。第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二以n=3為例。

【例6】（1）正定二次型：對應(yīng)的矩陣（2）半正定二次型：對應(yīng)的矩陣（3）負(fù)定二次型：對應(yīng)的矩陣第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二（4）半負(fù)定二次型：對應(yīng)的矩陣（5）不定二次型：對應(yīng)的矩陣第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二

問

是不是正定二次型？【例7】解：因?yàn)樗鼘?yīng)的對稱矩陣中的對角元素，所以它不是正定二次型。第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定理：n階實(shí)對稱矩陣A=（aij）是正定矩陣A的n個(gè)順序主子式Dk>0,k=1,2,…，n。第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二判定是不是正定矩陣?！纠?】解：因?yàn)锳的三個(gè)順序主子式：所以，A是正定矩陣。第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二

問為何值時(shí)，以下三元二

次為正定二次型：【例9】解：它是標(biāo)準(zhǔn)二次型。它是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的所有系數(shù)都是正數(shù)，即得第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二

問為何值時(shí)，以下三元二次為正定二次型：【例10】解：寫出對應(yīng)的對稱矩陣得第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二定理：矩陣為正定矩陣的充分必要條件是.稱為的順序階主式，即

…第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)118】設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則

的取值范圍是_____________

．

【解】

第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)119】設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則

的取值范圍是_____________

．

【解】

第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期二【練習(xí)120】已知二次型