全國(guó)通用版講義第3章 基本初等函數(shù)Ⅰ3-4（Ⅱ）

§3.4函數(shù)的應(yīng)用(Ⅱ)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異.2.會(huì)根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇函數(shù)模型．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)模型一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．知識(shí)點(diǎn)二三種常見函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表.函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨n值而不同增長(zhǎng)速度ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，xn的增長(zhǎng)快于logax的增長(zhǎng)增長(zhǎng)后果總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有ax>xn>logax1．先有實(shí)際問題，后有模型．(√)2．一個(gè)好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預(yù)測(cè)．(√)3．增長(zhǎng)速度越來越快的一定是指數(shù)函數(shù)模型．(×)4．由于指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，所以對(duì)于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．(×)類型一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異例1(1)下列函數(shù)中，隨x的增大，增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝50xB．y＝x50C．y＝50xD．y＝log50x(x∈N＋)答案C解析四個(gè)函數(shù)中，增長(zhǎng)速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函數(shù)y＝2x－x2的大致圖象為()答案A解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝2x，y2＝x2的圖象(圖略)．易知在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，2x＞x2，即此時(shí)y＞0；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x＜x2，即y＜0；當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，2x＞x2，即y＞0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝2－1－1＜0.據(jù)此可知只有選項(xiàng)A中的圖象符合條件．反思與感悟在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)＝eq\f(lg|x|,x2)的大致圖象為()答案D解析f(x)為偶函數(shù)，排除A，B.當(dāng)x＞1時(shí)，y＝lg|x|＝lgx＞0，且增長(zhǎng)速度小于y＝x2，所以隨著x的逐漸增大，eq\f(lg|x|,x2)越來越接近0且函數(shù)值為正數(shù)，故選D.類型二函數(shù)模型應(yīng)用命題角度1選擇函數(shù)模型例2某大型超市為了滿足顧客對(duì)商品的購(gòu)物需求，對(duì)超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，隨著時(shí)間的推移，增長(zhǎng)速度越來越慢，如果建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤(rùn)y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用()A．一次函數(shù)B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù)D．對(duì)數(shù)型函數(shù)答案D解析四個(gè)函數(shù)中，A的增長(zhǎng)速度不變，B，C增長(zhǎng)速度越來越快，其中C增長(zhǎng)速度比B更快，D增長(zhǎng)速度越來越慢，故只有D能反映y與x的關(guān)系．反思與感悟根據(jù)實(shí)際問題提供的兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型．同時(shí)，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型．跟蹤訓(xùn)練2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快，后3年的年產(chǎn)量保持不變，將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則正確的是()答案A命題角度2用函數(shù)模型決策例3某公司預(yù)投資100萬(wàn)元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合計(jì)150(萬(wàn)元)；按乙，第一年本息合計(jì)100×1.09，第二年本息合計(jì)100×1.092，…，5年后本息合計(jì)100×1.095≈153.86(萬(wàn)元)．故按乙方案投資5年可多得利3.86萬(wàn)元，乙方案投資更有利．反思與感悟建立函數(shù)模型是為了預(yù)測(cè)和決策，預(yù)測(cè)準(zhǔn)不準(zhǔn)主要靠建立的函數(shù)模型與實(shí)際的擬合程度．而要獲得好的擬合度，就需要豐富、詳實(shí)的數(shù)據(jù)．跟蹤訓(xùn)練3一家庭(父親、母親和孩子們)去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠．”乙旅行社說：“家庭旅行為集體票，按原價(jià)eq\f(2,3)優(yōu)惠．”這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的．試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別建立表達(dá)式，計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠．解設(shè)家庭中孩子數(shù)為x(x≥1，x∈N＋)，旅游收費(fèi)為y，旅游原價(jià)為a.甲旅行社收費(fèi)：y＝a＋eq\f(a,2)(x＋1)＝eq\f(a,2)(x＋3)；乙旅行社收費(fèi)：y＝eq\f(2a,3)(x＋2)．∵eq\f(2a,3)(x＋2)－eq\f(a,2)(x＋3)＝eq\f(a,6)(x－1)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相等．當(dāng)x＞1時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠．1．下列函數(shù)中隨x的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x100D．y＝2x答案A2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(4，＋∞)答案D3．某物體一天中的溫度T(單位：℃)是時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，則下午3時(shí)溫度為()A．8℃B．78℃C．112℃D．18℃答案B4．下面選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是()A．y＝10×1.05xB．y＝20＋x1.5C．y＝30＋lg(x－1)D．y＝50答案A5．我們處在一個(gè)有聲的世界里，不同場(chǎng)合人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同的要求．音量大小的單位是分貝(dB)．對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)．設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C.倍D．lneq\f(7,6)倍答案B解析由題意，令70＝10lgeq\f(I1,I0)，則有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以eq\f(I1,I2)＝10.1．四類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長(zhǎng)速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長(zhǎng)的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型．(3)增長(zhǎng)速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．(4)增長(zhǎng)速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型．2．函數(shù)模型的應(yīng)用(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．一、選擇題1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度越來越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x答案B解析D增長(zhǎng)速度不變，A，C增長(zhǎng)速度越來越快，只有B符合題意．2．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快B．對(duì)任意的x＞0，xa＞logaxC．對(duì)任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax答案D解析對(duì)于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度分別受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長(zhǎng)速度不能比較；對(duì)于B，C，顯然不成立；對(duì)于D，當(dāng)a＞1時(shí)，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax，但若去掉限制條件“a＞1”，則結(jié)論不成立．3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．4．下面給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩(shī)句“紅豆生南國(guó)，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t2答案A解析由題干中的圖象可知，該函數(shù)模型應(yīng)為指數(shù)函數(shù)．5．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位：時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為：P＝P0e－kt(k，P0均為正的常數(shù))．若在前5個(gè)小時(shí)的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾的時(shí)間為()A.eq\f(1,2)小時(shí)B.eq\f(5,9)小時(shí)C．5小時(shí)D．10小時(shí)答案C解析由題意知前5個(gè)小時(shí)消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－eq\f(1,5)ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)ln0.1))t＝ln0.01，∴t＝10.∴至少還需要過濾5小時(shí)才可以排放．6．向高為H的水瓶?jī)?nèi)注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是()答案B解析水深h為自變量，隨著h增大，A中V增長(zhǎng)速度越來越快，C中先慢后快，D增長(zhǎng)速度不變，只有B中V增長(zhǎng)速度越來越慢．二、填空題7．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(雙)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每雙10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為________雙．答案800解析要使該廠不虧本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.8．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料質(zhì)量Mkg、火箭(除燃料外)質(zhì)量mkg的關(guān)系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.答案e6－1解析由題意2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000.∴l(xiāng)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，從而eq\f(M,m)＝e6－1.9．某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，則到第7年這種動(dòng)物發(fā)展到________只．答案300解析把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得a＝100，故函數(shù)關(guān)系式為y＝100log2(x＋1)，所以當(dāng)x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.所以到第7年這種動(dòng)物發(fā)展到300只．10．某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是________．答案y＝a(1＋r)x，x∈N＋解析已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和為y＝a(1＋r)3，…x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N＋.三、解答題11．在制造純凈水的過程中，如果每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)的20%，那么要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少要過濾幾次？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解設(shè)原有雜質(zhì)為a，經(jīng)過x次過濾后雜質(zhì)為y，則y＝a×(1－20%)x＝a0.8x.由題意得eq\f(y,a)<5%，即0.8x<5%，所以xlg0.8<lg0.05，即x>eq\f(lg0.05,lg0.8)≈13.4，因此至少需要經(jīng)過14次過濾才能使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下．12．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)知A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖(1)所示，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖(2)所示．(注：圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集10萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．問：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？解(1)設(shè)投資了x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元．由題意知f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝k2eq\r(x)(k2≠0)．由題圖可知f(2)＝1，所以k1＝eq\f(1,2)，由g(4)＝4，得k2＝2.故f(x)＝eq\f(1,2)x(x≥0)，g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入(10－x)萬(wàn)元．設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y＝f(x)＋g(10－x)＝eq\f(1,2)x＋2eq\r(10－x)(0≤x≤10)．令eq\r(10－x)＝t，則y＝eq\f(10－t2,2)＋2t＝－eq\f(1,2)(t－2)2＋7(0≤t≤eq\r(10))．當(dāng)t＝2時(shí)，ymax＝7，此時(shí)x＝10－4＝6.所以當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元時(shí)，該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元．13．某紀(jì)念章從2018年1月6日起開始上市．通過市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間x(單元：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天41036市場(chǎng)價(jià)y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．解(1)∵隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個(gè)函數(shù)中y＝ax＋b和y＝alogbx顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，∴函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系．(2)把點(diǎn)(4,90)，(10,51)，(36,90)分別代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1296a＋36b＋c＝90，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126，))∴y＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝eq\f(1,4)(x－20)2＋26.∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最小值26.故該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)為20天，最低的價(jià)格為26元．四、探究與拓展14．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營(yíng)業(yè)額相等，甲食堂的營(yíng)業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營(yíng)業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營(yíng)業(yè)額又相等，則本年5月份()A．甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高B．乙食堂的營(yíng)業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營(yíng)業(yè)額相同D．不能