第六章-套利定價(jià)理論(金融經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論,對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué))

第六章

套利定價(jià)模型ArbitragePricingTheory本章主要問題和學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解和掌握金融市場(chǎng)均衡的特殊機(jī)制－－無風(fēng)險(xiǎn)套利均衡機(jī)制掌握無套利均衡下的證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系第一節(jié)套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)第二節(jié)套利及套利的發(fā)生第三節(jié)套利定價(jià)理論的模型第一節(jié)套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)一、套利定價(jià)理論的假設(shè)條件分析二、套利定價(jià)理論的邏輯起點(diǎn)一．套利定價(jià)理論的假設(shè)條件分析我們把套利模型的假設(shè)條件和CAPM模型的假設(shè)條件作個(gè)比較，可以得到APT模型和CAPM模型共同擁有的以下假設(shè)：投資者有相同的投資理念存在著大量投資者，投資者是價(jià)格的接受者，單個(gè)投資者的交易行為對(duì)證券價(jià)格不發(fā)生影響。投資者追求效用最大化沒有交易成本。

而APT模型不需要以下的假設(shè)條件：?jiǎn)我煌顿Y期不存在稅的問題投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借入和貸出資金投資者以回報(bào)率的均值和方差選擇投資組合二．套利定價(jià)理論模型的邏輯起點(diǎn)――因素模型與充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合1.因素模型在套利定價(jià)理論中，我們將先從考察一個(gè)單因素模型入手，這個(gè)模型假設(shè)只有單個(gè)系統(tǒng)因素影響證券的收益。資產(chǎn)收益的不確定性來自兩個(gè)方面：共同或宏觀經(jīng)濟(jì)因素和廠商的特別風(fēng)險(xiǎn)

如果我們用F表示共同因素期望值的偏差，βi表示廠商i對(duì)該因素的敏感性，εi表示廠商特定的擾動(dòng)，則該單因素模型表明廠商的實(shí)際收益等于其初始期望收益加上一項(xiàng)由未預(yù)料的整個(gè)經(jīng)濟(jì)事件引起（零期望值）的隨機(jī)量，再加上另一項(xiàng)由廠商特定事件引起（零期望值）的隨機(jī)量。其公式為：ri=E(ri)+βiF

＋

εi條件是：為了使這個(gè)單因素模型更加具體，我們舉一個(gè)例子：假設(shè)宏觀因素F代表國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）的意外的百分比變化，而輿論認(rèn)為今年GNP將變化4%。我們還假定一種股票的β值為1.2。如果GNP只增長(zhǎng)了3%，則F值為-1%，表明在與期望增長(zhǎng)相比較時(shí)，實(shí)際增長(zhǎng)有1%的失望。給定該股票的β值，可將失望轉(zhuǎn)化為一項(xiàng)表示比先前的預(yù)測(cè)低1.2%的股票的收益。這項(xiàng)宏觀的意外加上廠商特定的擾動(dòng)，就決定了該股票的收益對(duì)其原始期望值的全部偏離程度。2.充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合假如一個(gè)投資組合是充分分散風(fēng)險(xiǎn)的，那它的廠商特定風(fēng)險(xiǎn)或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以被分散掉，保留下來的只有因素（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，即收益與風(fēng)險(xiǎn)為：

這里：我們把充分分散的投資組合定義為：滿足按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，而每種證券i的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方差被忽略掉。既然非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素可以被分散掉，那么只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)在市場(chǎng)均衡中控制證券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在充分分散的投資組合中，各個(gè)廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相互抵償，因此，在一個(gè)證券組合中，與其期望收益相關(guān)的就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)了。第二節(jié)套利及套利的發(fā)生一、具有相同貝塔值的套利二、具有不同貝塔值的套利三、多因素的套利一、具有相同β值的套利如果兩個(gè)充分分散化的投資組合有相同的β值，那它們?cè)谑袌?chǎng)中必定有相同的預(yù)期收益。

套利組合的構(gòu)成及套利過程(0.10+1.0×F)×100萬美元（在資產(chǎn)組合A上作多頭）－（0.08＋1.0×F）×100萬美元（在資產(chǎn)組合B上作空頭）__________________________________0.02×100萬美元＝20000美元（凈收益）已知分散化的投資組合的收益是：（單因素）

這樣，我們就獲得了一項(xiàng)無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。這項(xiàng)策略要求凈投資為零。我們應(yīng)繼續(xù)需求一個(gè)盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個(gè)組合間的收益差消失為止。具有相同β值的投資組合在市場(chǎng)均衡時(shí)一定具有相同的期望收益，否則將存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，通過套利使二者預(yù)期收益相等。二．具有不同β值的套利對(duì)于有不同β值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率中風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償必須正比于β值，不然也將發(fā)生無風(fēng)險(xiǎn)套利。參見圖5-2，假定無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf是=4%，有一充分分散化的投資組合C的β值為βc=O.5，具有預(yù)期收益率6%。在圖中，代表投資組合C的點(diǎn)位于連接無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和組合A的直線的下方。現(xiàn)在我們來看另一個(gè)投資組合D，這個(gè)組合一半由組合A另一半由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成。這樣，組合D的β值為βD=0.5×0+0.5×1.0=0.5，預(yù)期收益率是0.5×4％+0.5×l0％=7％。組合D和組合C的β值相等而預(yù)期收益率不等，如前所述，會(huì)發(fā)生套利。套利組合及套利過程（做D多頭）(0·5×0·04+0·5×0·1＋0·5F)100萬（做C空頭）－（0·06＋0·5F）100萬結(jié)果是：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。三、多因素的套利兩個(gè)宏觀因素的模型是這樣的ri＝E（ri）＋βi1F1＋βi2F2＋假設(shè)因素F1代表對(duì)GDP預(yù)期值的偏離，因素F2則代表末預(yù)期到的通貨膨脹率的變化，它們的預(yù)期值都等于零，因?yàn)樗鼈兇淼亩际菍?duì)預(yù)期值的偏離。同樣代表企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，也是對(duì)預(yù)期值的偏離，所以預(yù)期值也為零。引進(jìn)因素組合概念:因素組合是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)充分分散化或消除掉的組合，并且它對(duì)其中一個(gè)因素的值為1而對(duì)其他因素的值都為0，。

因素組合的作用在于：用因素組合作為基準(zhǔn)組合來定價(jià)（如同CAPM的市場(chǎng)組合作用一樣）?，F(xiàn)在來看任意一個(gè)充分分散化的投資組合A，它對(duì)兩個(gè)宏觀因素的值分別是βA1=0·5和βA2=0.75。將因素組合的期望收益記為，則因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償A的因素組合的期望收益分別為10％和12％。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益為4%，則A的預(yù)期收益一定為13％，否則有套利風(fēng)險(xiǎn)。βA1[

]+βA2[

]=0.5×6%十0.75×8%=9%于是，投資組合且的預(yù)期收益率就是無風(fēng)險(xiǎn)收益率加上總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，為13％。如果投資組合A的預(yù)期收益率不等于13％，例如是12％，則可以構(gòu)筑如下的組合頭寸:取權(quán)重為50％的因素組合1，權(quán)重為75％的因素組合2，再加上權(quán)重為-25％的無風(fēng)險(xiǎn)證券(權(quán)重是負(fù)數(shù)意味著以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入)，構(gòu)成一個(gè)新的組合。這個(gè)組合的預(yù)期收益率為0.5×lO％+0.75×12％-0.25×4％=13％。同時(shí)構(gòu)筑這個(gè)組合的多頭和組合A的空頭，就能套取無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。算式如下到期套利組合多頭的收益13%+0.5×F1+0.75×F2到期組合A空頭的支付

－（12%＋0.5%×F1+0.75×F2）—————————————————凈利潤(rùn)1%結(jié)果仍是：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們可以發(fā)現(xiàn)，套利組合是這樣構(gòu)筑的，對(duì)于任意一個(gè)暴露在F1和F2，這兩個(gè)宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)下的投資組合P，分別以其β值βP1，βP2為權(quán)重選取因素組合1和2，再加上權(quán)重為1-βP1-βP2，無風(fēng)險(xiǎn)證券(若1-βP1-βP2<0，表示無風(fēng)險(xiǎn)證券的賣空或以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金)。這一套利組合實(shí)際上復(fù)制了組合P，所以組合P可由此套利組合給出定價(jià)第三節(jié)套利定價(jià)模型一、套利機(jī)會(huì)的條件二、套利定價(jià)方程三、CAPM與APT比較一、套利機(jī)會(huì)存在的條件（或套利組合的建立）設(shè)市場(chǎng)有N種證券，Wi表示投資者對(duì)證券持有權(quán)數(shù)的變化根據(jù)套利的定義，套利有自融資功能，套利組合中買入證券所需資金由證券獲得。根據(jù)套利的定義，如果套利機(jī)會(huì)存在，套利組合不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)任何因素的敏感性為零，即，J=1,2,..KN需大于J，根據(jù)套利的定義，套利須獲得非負(fù)的收益。

W1β12+W2β22+W3β32+…+WNβN2=0········W1β11+W2β21+W3β31+…+WNβN1=0W1β1K+W2β2K+W3β3K+…+WNβNK=0第一個(gè)條件：第二個(gè)條件：即：這時(shí)滿足這兩個(gè)等式的任何一組解將成為潛在的套利組合，即滿足自融資和無風(fēng)險(xiǎn)套利條件。

因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，便存在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益的套利組合。第三個(gè)條件：二、套利定價(jià)方程當(dāng)套利機(jī)會(huì)不存在時(shí)，市場(chǎng)均衡。那么，當(dāng)各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，沒有套利機(jī)會(huì)呢？即各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在呢？且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在，即不存在套利機(jī)會(huì)，這時(shí)市場(chǎng)達(dá)到均衡。即有：E(ri)=λ0＋λ1βi1+λ2βi2+…..＋λKβikβik是第i個(gè)證券第k個(gè)因素的敏感度。如果市場(chǎng)有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，上式為E(ri)=rf＋λ1βi1+λ2βi2+…..＋λKβik

是因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：投資組合的總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)暮?。而每種宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因素的值乘以因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。因此，套利定價(jià)方程是：舉例：?jiǎn)我蛩靥桌M合假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性.這樣的預(yù)期回報(bào)率與因素敏感性是否代表一個(gè)均衡狀態(tài)？I預(yù)期收益率ri%敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8套利組合（0.1，0.075，-0.175）買賣行為導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)減少最終消失，如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)01,使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系?B單因素資產(chǎn)定價(jià)線A?舉例：多因素套利組合假定證券的回報(bào)率可由兩個(gè)因素模型產(chǎn)生：4種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性：ibi1%bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2套利組合(0.1,0.088,-0.108,-0.08)通過購買證券1和2,同時(shí)出售證券3和4,使得證券1和2價(jià)格上漲，3和4價(jià)格下跌,推動(dòng)市場(chǎng)均衡。即當(dāng)滿足前面三個(gè)等式的組合的預(yù)期回報(bào)率為0,均衡達(dá)到。如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)012,使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系三、APT與CAPM的聯(lián)系與比較單因子模型兩因子模型APT和CAPM的比較APT與CAPM最根本的區(qū)別在于，CAPM是典型的收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，APT特別強(qiáng)調(diào)的是無套利均衡原則。無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)建立市場(chǎng)均衡價(jià)格和收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡關(guān)系建立市場(chǎng)價(jià)格均衡關(guān)系有著本質(zhì)區(qū)別：收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡關(guān)系所主導(dǎo)的市場(chǎng)價(jià)格均衡，一旦價(jià)格失衡，就會(huì)有許多投資者調(diào)整自己的投資組合來重建市場(chǎng)均衡，但每個(gè)投資者只對(duì)自己的頭寸作有限范圍的調(diào)整。套利則不然，一旦出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，每一個(gè)套利者都會(huì)盡可能大的構(gòu)筑頭寸，因此從理論上來講，只需少數(shù)幾位（甚至只需一位）套利者就可以重建市場(chǎng)均衡。CAPM是典型的收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，每一位投資者都按照自己的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇有效組合邊界上的投資組合。如果市場(chǎng)組合中的某一項(xiàng)證券價(jià)格失衡，資本市場(chǎng)線就會(huì)發(fā)生移動(dòng)，所有投資者都會(huì)吸納價(jià)植被低估的證券而拋出價(jià)值被高估的證券。所以重建市場(chǎng)均衡的力量來自于許多投資者共同行為。APT不需要CAPM賴以成立的那些有關(guān)市場(chǎng)假設(shè)的條件。CAPM對(duì)證券回報(bào)率的分布以及個(gè)體的效用函數(shù)作出假設(shè)，APT假設(shè)證券的回報(bào)率是由因子模型產(chǎn)生在CAPM中，證券的價(jià)格依賴于市場(chǎng)組合的回報(bào)率，需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，而APT需要對(duì)因子回報(bào)率進(jìn)行估計(jì)。1、每一個(gè)成功者都有一個(gè)開始。勇于開始，才能找到成功的路。4月-234月-23Sunday,April16,20232、成功源于不懈的努力，人生最大的敵人是自己怯懦。23:11:2623:11:2623:114/16/202311:11:26PM3、每天只看目標(biāo)，別老想障礙。4月-2323:11:2623:11Apr-2316-Apr-234、寧愿辛苦一陣子，不要辛苦一輩子。23:11:2623:11:2623:11Sunday,April16,20235、積極向上的心態(tài)，是成功者的最基本要素。4月-234月-2323:11:2623:11:26April16,20236、生活總會(huì)給你另一個(gè)機(jī)會(huì)，這個(gè)機(jī)會(huì)叫明天。16四月202311:11:26下午23:11:264月-237、人生就像騎單車，想保持平衡就得往前走。四月2311:11下午4月-2323:11Ap