第七章微分方程課題二十六一階微分方程

第七章微分方程課題二十六一階微分方程第一頁，共44頁。解一、微分方程的基本概念第二頁，共44頁。解第三頁，共44頁。代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需第四頁，共44頁。凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例如

實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.1.微分方程的定義第五頁，共44頁。

微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).(1)按自變量個(gè)數(shù)分類:常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程(2)按階數(shù)分類:第六頁，共44頁。(3)按是否是線性分類:線性與非線性微分方程.(4)按方程個(gè)數(shù)分類:單個(gè)微分方程與微分方程組.第七頁，共44頁。

微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程解的分類：2.求微分方程的解

通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.第八頁，共44頁。特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.第九頁，共44頁。解第十頁，共44頁。所求特解為解微分方程:初等積分法.求解微分方程求積分第十一頁，共44頁。思考題思考題解答中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)小于此方程的階數(shù),故為該微分方程的特解.第十二頁，共44頁。二、可分離變量的微分方程稱為可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法1.定義第十三頁，共44頁。[例4]求微分方程解分離變量?jī)啥朔e分第十四頁，共44頁。方程為可分離變量微分方程，分離變量得解故所求通解為兩邊同時(shí)積分得第十五頁，共44頁。三、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義第十六頁，共44頁。第十七頁，共44頁。[例6]求解微分方程微分方程的通解為解第十八頁，共44頁。[例7]求解微分方程解第十九頁，共44頁。微分方程的解為第二十頁，共44頁。有的微分方程可利用變量代換求解.解代入原方程原方程的通解為第二十一頁，共44頁。(微分方程，微分方程的階，微分方程的解（通解、特解），初始條件）小結(jié)1.微分方程的基本概念2.可分離變量的微分方程3.齊次微分方程第二十二頁，共44頁。練習(xí)題32第二十三頁，共44頁。上方程稱為一階線性齊次微分方程.上方程稱為一階線性非齊次微分方程.四、一階線性微分方程例如線性的;非線性的.定義這樣的方程稱為一階線性微分方程.第二十四頁，共44頁。齊次方程的通解為1.一階線性齊次微分方程的解法分離變量法第二十五頁，共44頁。2.一階線性非齊次方程的解法分析兩邊積分非齊次方程通解與齊次方程通解相比:第二十六頁，共44頁。

象這種把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法.方法:設(shè)是一階線性非齊次微分方程的解.積分得第二十七頁，共44頁。一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程的通解該非齊次方程的特解第二十八頁，共44頁。解法一（常數(shù)變易法）[例1]第二十九頁，共44頁。第三十頁，共44頁。解法二（公式法）[例1]第三十一頁，共44頁。設(shè)所求曲線方程為，由題意得

解將代入上式得，.因此所求曲線的方程為.

第三十二頁，共44頁。兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第三十三頁，共44頁。所求曲線為第三十四頁，共44頁。伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.*五、伯努利方程解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第三十五頁，共44頁。求出通解后，將代入即得代入上式第三十六頁，共44頁。解*[例4]第三十七頁，共44頁。*[例5]

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第三十八頁，共44頁。解代入原式分離變量法得所求通解為*[例5]

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:第三十九頁，共44頁。另解所求通解為*[例5]

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:第四十頁，共44頁。思考題求微分方程的通解.思考題解答第四十一頁，共44頁。練習(xí)題第四十二頁，共44頁。通過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到：1．會(huì)求可分離變量的微分方程、一階齊次微分方程、一階線性微分方程的通