2020高考數(shù)學(xué)解答題的解題策略

2020高考解題的解策略——北四中：呂寶在高考數(shù)學(xué)試題中，解答題的題量雖然比不上選擇題，但是其占分的比重最大，足見它在試卷中地位之重要．解答題也就是通常所說的主觀性試題，這種題型內(nèi)涵豐富，包含的試題模式靈活多變，其基本構(gòu)架是：先給出一定的題設(shè)(即已知條件)，然后提出一定的要求(即要達到的目標)，再讓考生解答，而且題設(shè)”和要求的模式多種多樣．考生解答時，應(yīng)把已知條件作為出發(fā)點，運用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，進行推理、演繹或計算，最后達到所要求的目標，同時要將整個解答過程的主要步驟和過程，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚．1．新課高考解答題有以下的特點：(1)從近幾年看，解答題的出處較穩(wěn)定，一般為數(shù)列、三角函數(shù)包括解三角形)、概率、立體幾何(與向量整合)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及不等式、解析幾何等．(2)解法靈活多樣，入口寬，得部分分易，得滿分難，幾乎每題都有坡度，層設(shè)關(guān)卡，能較好地區(qū)分考生的能力層次．(3)側(cè)重新增內(nèi)容與傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)學(xué)應(yīng)用的融合，如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)數(shù)列結(jié)合，向量與解析幾何內(nèi)容的結(jié)合等．(4)運算與推理互相滲透，推理證明與計算緊密結(jié)合，運算能力強弱對解題成敗有很大影響．在考查邏輯推理能力時，常常與運算能力結(jié)合考查，推導(dǎo)與證明問題的結(jié)論，往往要通過具體的運算；在計算題中，也較多地摻進了邏輯推理的成分，邊推理邊計算．(5)注重探究能力和創(chuàng)新能力的考查．探索性試題是考查這種能力的好素材因此在試卷中占有重要的作用；同時加強了對應(yīng)用性問題的考查．2．高考學(xué)解答題的本題型我們認真分析近幾年各省市高考數(shù)學(xué)試題，雖略有差別，但總體上高考五至六個解答題的模式基本不變，分別為三角函數(shù)、平面向量型解答題、立體幾何型解答題、排列組合、二項式定理及概率型解答題、函數(shù)與不等式型解答題、解析幾何型解答題、數(shù)列型解答題．這是高考數(shù)學(xué)的重頭戲，這部分內(nèi)容包含的知識容量大、解題方法多、綜合能力要求高，它們突出了中學(xué)數(shù)學(xué)的主要思想和方法，考查了考生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識．3．高考學(xué)解答題的題策略

(1)審題要慢，解答要快．審題是整個解題過程的基礎(chǔ)工程”題目本身是怎樣解題的信息源，必須充分搞清題意，綜合所有條件，提煉全部線索，形成整體認識．(2)確保運算準確，立足一次成功．(3)講究書寫規(guī)范，力爭既對又全．這就要求考生在面對試題時不但會而且對，對而且全，全而規(guī)范．(4)面對難題，講究策略，爭取得分．會做的題目當然要力求做對、做全、滿分，而對于不能全部完成的題目應(yīng)：①缺步解答；②跳步解答．解題過程卡在其一中間環(huán)節(jié)上時，可以承接中間結(jié)論，往下推，或直接利用前面的結(jié)論做下面的(2)、問．總之，對高三學(xué)子來說：準確、規(guī)范、速度，高考必勝；刻苦、韌、自信，必成功題型一

規(guī)范解問題立體幾何的考查，主要有兩類新題型，一是在考查對空間幾何體結(jié)構(gòu)認識的前提下，綜合性地考查對空間幾何體的體積、表面積的計算，考查空間線面位置關(guān)系，角與距離的計算，這類試題以“圖”引入，背景新穎，對考生的空間想象能力有較高要求；二是在考查立體幾何基本問題的前提下，將試題設(shè)計為“探索性”的類型，改變了給出明確結(jié)論讓考生證明的局面，這類試題由于結(jié)論不明確，對考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求．要想解決好如上所述的立體幾何新型試題，除了牢固掌握好立體幾何的基礎(chǔ)知識和基本方法外，還要在空間想象能力、數(shù)學(xué)思想方法等方面下一番工夫，只有這樣考生才能面對新題型得心應(yīng)手，將新題型轉(zhuǎn)化為所熟悉的常規(guī)題，以便順利解決問題．在解答方面，除推理證明，運用空間向量也是一種重要方法．這類題一定要注意解題規(guī)范，條件充分．例1.如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝＝a，點E是SD上的點，且DE＝(0<λ≤1)．(1)求證：對任意λ∈，都有AC⊥BE；(2)若二面CAE—D的大小為60°，求λ的值．解方法一：(1)證：連結(jié)BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.

AE＋1λ＋1λAE＋1λ＋1λ∵SD⊥平面ABCD,∴BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得AC⊥BE.(2)解SD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴SD⊥CD又底面ABCD是正方形，∴CDAD又SD∩＝D，∴CD⊥平面SAD.過點D在平面SAD內(nèi)作⊥AE于F，連結(jié)CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C——D的平面角，即∠CFD＝60°，在RtADE中，∵＝a，DE＝λaAE＝aλ＋1，ADDEλa于是，DF＝λ21DFλλ3在RtCDF中，由cot60°＝＝，得＝，CD223即3λ2

＋3＝3.2由λ∈(0,1]，解得λ＝.2方法二：(1)證明：D為原點向分別作為x，，z軸的正方向建立如圖(2)所示的空間直角坐標系，則D(0,0，，A(0,0)，(a，a,0)，(0，a,0)E(0,0，－λa，＝－a，a,0)，＝－a，－a，－λa)，＝a,0，－λa，＝(0，a，－λa)．∴＝(－a，a,0)·(－a，－a，)＝a

2

－a

2

＋0·λa＝，即對任意的λ∈，都有AC⊥.(2)解：＝，0)為平面ADE的個法向量．

12121212設(shè)平面ACE的一個法向量為n＝(，y，)，拓展提——闊思路

提煉方(1)利用向量證明線面關(guān)系，要注意建立坐標系，構(gòu)造向量．(2)利用向量研究角．如果兩個平面的法向量分別是、n，則這兩個平面所成的銳二面角或直二面角的余弦值等于|cos〈，n〉|，在立體幾何中建立空間直角坐標系求解二面角的大小時，使用向量的方法可以避免作二面角的平面角的麻煩．題型二

探究性題(1)未給出結(jié)論的通常稱為歸納型問題．解答這類問題思路：歸納猜想證明；(2)結(jié)論不確定的，通常稱之為存在型問題．解答思路：假設(shè)推理—定論；(3)條件不全，需探求補足條件的，通常稱為：條件探索型．解答思路：結(jié)條件．答案往往不唯一；(4)給定一些對象的某種關(guān)系，通過類比得到另一些對象的關(guān)系．解答思路透徹理解條件，轉(zhuǎn)換思維；(5)給出幾個論斷，選擇其中若干個論斷為條件，某一個或幾個)為論，通常稱為重組型．解答思路：組合條件，逐一驗證．xy22例2．如圖，已知橢圓＋＝1(b>0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右a2b22焦點F、F為頂點的三角形的周長為2＋1)一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和PF與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

12121211220010020000000120001211111112121111212122k＋1211112121211220010020000000120001211111112121111212122k＋121111(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；(2)設(shè)直線、PF的斜率分別為、k，證明：k·k＝1；(3)是否存在常λ，使得AB|＋|CD＝ABCD恒成立？若存在，求λ值；若不存在，請說明理由．(1)解：設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知：c2＝，2a＋2c＝2＋1)，a2所以a＝22，c＝又a2＝b22，因此＝2，x2y2故橢圓的標準方程為＋＝1.84xy2由題意設(shè)等軸雙曲線的標準方程為－＝1(m>0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦m2m2xy點，所以m＝2，因此雙曲線的標準方程為－＝44(2)證明：A(x，y)B(x，y)，Px，y)，則k＝因為點P在雙曲線2－y2＝4上，所以x2－2＝4，yyy2因此kk＝·＝＝1，x＋2x－2x2－即kk＝1.(3)解：由PF的方程為y＝k(＋2)，

yy，k＝.x＋2x－2將其代入橢圓方程得(2k＋1)x

＋8k

21

x＋8k

2－8＝0，－8k28k－8由韋達定理得x＋x＝，xx＝，2k＋12k2＋所以AB＝1＋k

x＋x

2

－4xx＝

1＋k2

k1

8k－8k＋1－4×＝42·.2k＋12k2＋1

224222＋122＋122＋＋＝＋1122＋224222＋122＋122＋＋＝＋1122＋k2＋1同理可得CD＝42·.2k2＋1111則＋＝·AB|CD|又kk＝1，所以

2k1＋12k2＋1k2＋k2＋1112k1＋k1AB|CD|42k2＋1k2

2＝8

2k1＋1k＋232k2＋k2＋8

.32故AB＋|CD＝ABCD|.832因此，存在λ＝，使AB＋|CD＝λ|AB|·|CD恒成立．8題型三

應(yīng)用性題解答應(yīng)用性問題的思路與方法：(1)審題：首先要認真仔細地分析題意，分成讀懂和深刻理解兩個層次，認問題的各項已知條件及所要解決的問題，分清題目中所涉及的量中哪些是變量，哪些是常量及它們間的相互聯(lián)系，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系．(2)建模：把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，然后建立恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型，實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，再用學(xué)過的學(xué)知識去解決問題，得到正確合理的答案．(4)檢驗：對結(jié)果進行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于實，做出解釋或預(yù)測．例3.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于點北偏東45°，B點北偏西60°的點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距203海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為海里/小時，該救援船到達點需要多長時間？解：由題意知AB＝5(33)(海里，∠DBA＝－60°＝30°，

12121212∠DAB＝－45°＝45°，∴∠ADB＝－(45°＋＝105°，在△DAB中，由正弦定理得

DBAB＝，sin∠DABsin∠ADB∴DB

AB·sin∠DABsin∠ADB＝

53＋3·sin45°sin105°53＋3·sin45°＝sin45°cos＋cos45°sin60°＝

533＋13＋1

＝103(海里，2又∠DBC＝∠DBA＋∠30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD＋2－2BD·BC·cos∠1＝300＋1200－2×103×203×＝900，230∴CD＝30(海里，則需要的時間t＝＝1(小時．30答：救援船到達D點需要1小時．拓展提—闊思路

提煉方本題是解三角形應(yīng)用題，解決這類問題的關(guān)鍵是正確建立三角模型，將實際問題中的量轉(zhuǎn)化為三角形中的邊、角關(guān)系，然后再解三角形．例4．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為，x，記ξ＝(x－3)2

＋(x－3)2

.(1)分別求ξ取得最大值和最小值時的概率；(2)求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)擲出點數(shù)可能是1,2,3,4，則x－3分別得－2，－1,0,1.

12121212121211212121212121于是(x－3)2

的所有取值分別為0,1,4.因此ξ的所有取值為0,1,2,4,5,8.因為是投擲兩次，因此基本事件(x，x)共16個．只有當基本事件是(1,1)，ξ＝(x－3)2(x－3)2可取得最大值8，1此時，P(＝8)＝；16只有當基本事件是(3,3)，ξ＝(x－3)2

＋x－3)2

可取得最小值0，1此時，P(＝0)＝.161(2)由知，ξ的所有取值為0,1,2,4,5,8.P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝；16當ξ＝1時，(，x的所有取值為(2,3)、(4,3)、、(3,4)