中考數(shù)學(xué)深度復(fù)習(xí)講義圖形的相似無(wú)憂資源

中考數(shù)學(xué)深度復(fù)義——圖形的相掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫(xiě)出它的A”“X用相似三角形的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，識(shí)別或作出相似用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)描述物體的位置，用坐標(biāo)的方法來(lái)研究圖形的運(yùn)動(dòng)變換，是較為常見(jiàn)的考法，要注意 ，對(duì)應(yīng) 四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．如a：b=c：d或a：d=b：c，則a，b，c，d叫 b，b，c成比例，即a：b=b：c，則稱b是a和c的 相等的兩個(gè)三角形相似 相似三角形對(duì)應(yīng)邊 ，對(duì)應(yīng) 等 ABPAPPB

0.618…… 的相似叫位似．作位似圖形的方法是先確定位似中心和每個(gè)頂點(diǎn)之間的直．條件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B條件：AB∥DE CD是斜邊AB上的 5（1）6（1）比例相等（2）相似比（3）7．8．相交于一點(diǎn)例1（，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線與邊AC或BC相交于E．點(diǎn) 段AP上，點(diǎn) 段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12AB2AB2

502∵S=1ABCP=1ACBC,∴CP=ACBC=4030502 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=12 ∴

12∴CM=13CP=1324

由△APE∽△ACBPEAPPEx，∴PE=3x Rt△MPE，∵sin∠EMP=12PE12．∴EM13PE133x13x ME2ME2x x

5

∴y=21x50△AME∽△ENB，AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNBAP=x，由（2）EM13x，AM=xPM x5x11x，NB=21x50 13

∴

x

解得x1=22，x2=0（舍去）．根據(jù)外角定理，△ACE∽△EPM，∴ACEP12．∴CE=5AC50 AP=xBE5(50x，∴CE=305(50x．∴305(50x50 x=42AP=42．∴AP225．其中正確的結(jié)論是（。A．①③B．③C．①D．①②解析∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，△ABC≌△CDA（全等是相似的特例 ∴①是錯(cuò)的

，∴②EF：ED=1：2 答案共底三角形的面積之比等于高之比拓展變式點(diǎn)E是ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)G，則圖中相似三角形共有 A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) 答案C例3如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對(duì)角線BD，AC把梯形分成了四個(gè)角形列出從這四個(gè)角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概解析（1）其中有兩組（①③，②④）1P=3 ∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB． 在△DABC與△CBA中， A構(gòu)成．點(diǎn)B，C分別是兩個(gè)半圓的圓心，⊙A分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，BC長(zhǎng)為8米，求EF的長(zhǎng)．

=

=4 4

，∴△AEF∽△ABC，

（米3AOA14米到B解析∵∠MAC=∠MOP=90°， 即20

8

同理，由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5，所以的身影變短了3.5米5ABCDAB=4，AD=10PAD（點(diǎn)PA，DCABE．我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽R(shí)t△DPC”成立．解析（1）在Rt△PCD中，由 ，得

4

33

3 3 3AP3

- 4

∴10

=2，解得 在路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（ 路路 光路2.（，9，4分）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，點(diǎn)P在四邊形ABCD3邊上．若P到BD的距離為2，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 【答案】 東莞，31,3分）將圖3中的箭頭縮小到原來(lái)的1，得到的圖形是 2（浙江省，6，3分）如圖4，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于（ A. D. 圖 圖 圖 D. 3333A、 B、 C、 D、 3333 EC＝32。若A＝50，則圖中1、2、3、4

B．2＝

C．1＞

D．2＝

【答案】 9（1OA′B′C′OABCOOA′B′COABC4 ）【答案】A（3，2） B（－2，－3） C2，3） D3，2圖 圖（，7，3分）下列命題中，正確的是 （20118，4）11(1)、(2)(2)中AB、CD交于O點(diǎn),對(duì)于各圖中的兩個(gè)的兩個(gè)三角形而言,下列說(shuō)法正確的是 A.都相 3A．1 B．1 C．3 D1 3（山東泰安，153）13FABCDCDBFADE，則下列結(jié)ED

DE

BC

BFA.

B.

D.

【答案】EA

BC

DE

BE△ABC；⑶△ADE的面積與△ABC的面積之比為1:4。其中正確的有 ）個(gè)A. C. 圖 圖 圖 圖④四個(gè)三角形．若OA∶OC=OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是 ) AC＝4，CE＝6，BD＝3，BF＝7B．7.5C．8D．8.5【答案】B18（湖南永州，12，3）下列說(shuō)法正確的是（）A．等腰梯形的對(duì)角線互相平分．B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．D．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．【答案】B′a，B（12

1DCEDCEGF

12

12

B．1 【答案】F，ADPCG， B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì) 已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是 圖 圖 圖 3 3 4（江西，25，10分）某數(shù)學(xué)小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把 依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使 如圖甲所示，從點(diǎn)A1開(kāi)始，依次向右擺放，使與在兩端點(diǎn)處互相垂直，A1A2為第1根（1）能無(wú)限擺下去嗎？答 （2）① ②若記A2n-1A2n的長(zhǎng)度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時(shí)a2，a3的值，并直接寫(xiě)出an（用含n的活動(dòng)二：如圖乙所示，從點(diǎn)A1開(kāi)始，用等長(zhǎng)的依次向右擺放，其中A1A2為第1根，且A1A2= ，則1 ，2 ，3 （用含的式子表示若擺放4 ，求的范圍（1） 22②方法一 ∵AA1=A1A2=A2A3=1， 2222∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=22

2222

22方法二 ∵AA1=A1A2=A2A3=1， 222 ,又2 22n 2，∴a3=222n

a

+1)n-

(3)12，23，3

6

，∴15°＜12

A、E，ABF（FCAB，AF、EFEF交弧DEG，AG，試猜想∠EAG1（1）2

＝1212(12512

52∴AE

52

（1△ABC＝90°，固定△ABC，將△EFDADFABDE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）BC（或它的延長(zhǎng)線）G、H（2）. CG＝x，BH＝y(tǒng)yx（2問(wèn)：當(dāng)x△AGH 1

y9 92

BC時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC， 又1此時(shí)，△AGH2

BC時(shí)，GBC，HC，△AGH9此時(shí)21

2，即x= 22

BC時(shí)，由（1）可知 9 2

2時(shí)，△AGH從這紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在(1)AMHG

（2（1 又 ∴

AMHG （2）由（1）AMHGHE=x，HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30- 30

，解得，x=12， 所以矩形EFGH的周長(zhǎng)為（，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線與邊AC或BC相交于E．點(diǎn) 段AP上，點(diǎn) 段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12若△AME∽△ENB（△AMEA、M、E△ENBE、N、BAP圖 圖 備用AB2AB2

502∵S=1ABCP=1ACBC ∴CP=ACBC=4030502 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=12 ∴CP12 ∴CM=13CP=1324 由△APE∽△ACBPEAPPEx，∴PE=3x Rt△MPE，∵sin∠EMP=12

12

ME2ME2x x

PE

x

∵AP+PN+NB=50，∴x+5x+y ∴y=21x50(0<x< △AME∽△ENB，AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNB AP=x，由（2）EM=13x，AM=xPMx5x11x，NB=21x5013

∴

x 即 根據(jù)外角定理，△ACE∽△EPM，∴ACEP12．∴CE=5AC50AP=x，BE5(50x CE=305(50x)．∴305(50x)=50．解得x=42．即 (1)若BD是AC的中線，如圖2，求的值 (2)若BD是∠ABC的角平分線，如圖3，求的值 (3)結(jié)合（1（2)，

的值的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明

3求出滿足條件的D點(diǎn)的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 EDEDDEDDED

【答案】(1AD=x,AB=2x,BD=5x,∵△ABD∽△CDE,BD

2,可得 BD

所以=CE（2）AD=xDC=2x，AB=2x+x 2 2BD=（4+22）x2

（1）DEPDPPE 如圖，在N 同理在△ACQ，EP/CQ＝AP/AQ．∴DP/BQ＝E 29（3）證明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG由（1）得 （河北，20，8）106×81，點(diǎn)O△ABC以O(shè)△A′B′C′和△ABC1︰ABABCABC2（2）四邊形AA′C′C2一、選擇題1（模擬26）在比例尺到的距離是15㎝，這兩地的實(shí)際距離 A．0.9 B.9 C.90D.900答案333時(shí)，第二次是陽(yáng)光與地面成30°時(shí)，第二次觀察到的比第一次長(zhǎng)( 3333 3

3

A 2 3 4 53（延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為

BC D 64（

；其中正確的有 A、3 B、2 C、1 答案5.（蕪湖2011模擬）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且 A．9B．12C．15 6.（市三模）為了弘揚(yáng)精神，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園內(nèi)建造一座高2m的雕像，向全體師生征集設(shè)計(jì)方案.小兵同學(xué)查閱了有關(guān)資料，了解到黃金分割數(shù)常用于雕像的設(shè)計(jì)中。如圖是小兵同學(xué)根據(jù)黃金分割數(shù)設(shè)計(jì)的雕像的方案，其中雕像下部的設(shè)計(jì)高度(精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：錯(cuò)誤！未找到源。≈1.414，錯(cuò)誤！未找到源。1.732，錯(cuò)誤！未找到源?！?.236)是（A.0.62mB.0.76mC.1.24mD.1.62m ）答案 8（1）如圖，AB//CD，AE//FD，AE、FDBCG、H，則圖中共有相似三角形（A.4B.5C.6對(duì)D.7答案8 9 A．平 B．旋 C．對(duì) D．相 答案 。答案1（EF．AB＝AC＝6，BC＝8，B′，F(xiàn)，C△ABCBF答案72 模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD2，AE3，BD4，則AC ．答A 2 3

（第4題 5 為CD，AB//CD,AB2,CD6m m。答案4（為EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是 答案75（34模已知三個(gè)邊長(zhǎng)分別為235的正三角形從左到右如圖排列則圖中陰影部分面積 3386（市中考模擬五）.如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13，與其相似的三角形的最長(zhǎng)的邊為39，那么較 33 ）2 與2 的比例中項(xiàng) 33答案8.（浙江杭州進(jìn)化2011一模）已知a:b3:2，且ab10，則b= 1（模擬26）已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，BE∥AC，BE=AD，AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，∠1=∠2。BF、FG、EF又GFBBFE,BFGEFB.BFFG BF2FGEFAAPPAC?！鰽BC∽△POA2若OB2OP7BC2EBE作EF⊥ABABF。BEAC解：(1)猜測(cè)BE和直線AC垂直 延長(zhǎng)EB交AC于G，設(shè)AC為2a，則BG=a，EB=3a33 4（3 3C（1） 以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓（2）證明 連結(jié)CPCPO∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BCO存在.∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°- Rt△ACDDC=ADsin30

33 33DDP1//OC，則△P1DB∽△COB,P1DBD 33331∵BO=BD+OD= ,∴PD=BD 33331 BO2CODDP⊥AB,則△BDPBCO,∴P2BO2CO

2∴PDBDOC 3

313

3 DP=BDsin30 3 2②當(dāng)△BDP2∽△BCOP2DB=∠OCB=90°.Rt△BP2DDP2BDtan3015（

，其中AOB90O

置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)CABDBA重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）B落在邊

OCyyxy（3）B落在邊BD∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C

答案：解（1）如圖①，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，mm0則BCOB .于是ACBC4m.在Rt△AOC中由勾股定理得AC2OC2OA2 02即4m2

，解得m .點(diǎn)的坐標(biāo)為B落在

B,則△BCD

.由題設(shè)OBx，OCyBCBCOBOC4y

BC2OC2OB2.4y2y2x21y1

B在邊

上，有0x2

y

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，y的取值范圍為3≤ 2B落在OABBD∥OB.則OCBCBD又CBDCBD，OCBCBD，有CB∥BA.Rt△COB O

，得OC2OB.在

中，設(shè)OB

x0，則OC2x01由（2）的結(jié)論，得2x1

x845x

8450

6（P 的值 PD

4 （1）2

2

2（2）過(guò)CCE∥OABDE，AD=x，AO=OB=4x12

OD=2

PDAD 5

23 2

x，

DE

2 2則 BCBD＝AB，BDABEAD，DE與△BDE相似的三角形有 （答案（1）圖如下，作出弧AD，作出BD的中垂線，連結(jié)AD，DE。△ADCABB8.已知abc0，a2b3bc2ca

c

的值（

a2b

3bc3

2c＝k，7

a2b5k3bc3k2ca7k 由①+③得

15k9 由②＋④，得4b=9k,∴b=k，分別代入①，④得，a=k

c

9k3 9（（D．（1）DBC（2）△BEC∽△ADC；又∵AB=AC，∴△ABC，∴DBC又

∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=1BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=1 即BC2 10.（蕪湖2011模擬（本題滿分12分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．(1)判斷△ABCDEF(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F(xiàn)DEF7735答案:解：(1)△ABC△DEF5

AB25，AC

252DE ，DF22，EF210252 ABACBC

(2)62△（10

ABG（1） （2）當(dāng)點(diǎn)FBCFEF∥CDADEAB6cm，EF4cm，求CD（1） ∴CDF ∴△CDF∽△BGF（2）由（1）△CDF∽△BGFFBCBF∴△CDF ，∴ CDEF∥CD，AB∥CDEFAG∴CDBG2cm

2EF

（14OABCBC∥OA，∠AOC=90°，ABMOCD．E，AD、BD、BE 直角梯形OABCO為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（2）yax22ax3a(a0A．B．D，且B xPPPN⊥xN，使得△PAN△OADP（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB②∵△OAD∽△CDB

DCCB ∴

a∴a23

∵a

∴ayx22x ③存在，設(shè)P（x，－x2+2x+3） ∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形 當(dāng)x<0（x<－1）時(shí)，－x+3=－(－x2+2x+3)，x=－2，x ∴P（－2，－5， PFAC，DFBEG，且∠EDF=∠ABE．（1）△DEF∽△BDE；（1）∵AB=C，∴∠ABC∠ACB．∵∥BC，∴ABC+∠BDE=10°，∠ACB∠CED=180（2）由△DEF∽△BDEDBDE．DE2DBEF．由△DEF∽△BDE，得 ∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴DGDE．∴DE2DGDF．∴DGDFDBEF （列要求畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形與ABC相似，并填空：在圖甲中畫(huà)ABC，使得ABC的周長(zhǎng)是ABC的周長(zhǎng)的2A1B111

11 （2）在圖乙中畫(huà)ABC，使得AB

的面積是ABC的面積的2A2B222A

22

圖 圖2（1）（2）215（AEED，DF1DCEFBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4△ABE∽△DEF4BGABCDAD

∵AE=ED,DF= ∴AE=ED=AB,DF=

∴△ABE

∴BEG

∴ABE∽

∴

∴BG

16（201AD，BCMN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，E，F(xiàn)． MEFNMEFN答案：⑴過(guò)C作CG⊥AB于 ∵AB=7,CD=1∴BG=7125252

2 ∵NF∥CG,∴BFN∽

BFNFNFx∴NF=4

∴y=4x（7-74

6⑶當(dāng)4x=7-2x時(shí)，即x=21，MEFN為正方 此時(shí)正方形邊長(zhǎng)為421 正方形面積為 ，，15ABCD在坡面上．已知鐵塔底座寬CD=12m，塔影長(zhǎng)DE=18m和的身高都是1.6m，同一時(shí)刻站在點(diǎn)E處在坡面上，站在平地上，也在平地上，兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m，那么塔高AB為（ ，，15ABCD數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（）答案：A和4及x，那么x的值 A.只有1 C.有2個(gè)以上，但有 答案頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的D點(diǎn)有（ C．4 D．5 5.（年市朝陽(yáng)區(qū)模擬）下列四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是 A90AFBEF①△AED≌△AEF；②△ABE∽△③BEDCDE；④BE2DC2

點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的D點(diǎn)有（ C．4 D．5 答案 答案 cm.答案

552.（年浙江永嘉）如圖，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個(gè)角55 ．答案1.（2）（1） 答案：（1）圓錐 （2）表面積S= rlr212416 （3）BD由條件得，∠BAB′=120°，CBB′BD=32.（年長(zhǎng)沙市中考模擬）在Rt△ABC中，ACB90，DABBD為直徑的⊙OACE

BCF；BC6，AD4，求⊙OA（1） 切⊙O于E，OE A又 即BC⊥AC，OE OEDF。又OD

，ODEF （2）設(shè)⊙Or，由OEBC得△AOE∽△ABCAOOE

r4r，r2r120 r4，r3（舍。2r

πr23.（年教育聯(lián)合體）PABCDBDCPADE，BAF．問(wèn)： 理由：∵四邊形ABCD菱形 證明 又猜想：PC2PE 理由 ∴APPE∴PA2PE ∴PA=PC∴PC2PE4.（年省模擬）如圖，G是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF過(guò)（1）圖中所有的相似三角形 AEA（1△AFHDCG,△DEA

EDAD

FG 4

5觀察△ABCABC解:（1）(2)如△ABC∽△

6.（年浙江杭州）提出問(wèn)題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（ABBCBCAC蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力 和決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都樣（1）很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出.請(qǐng)你幫在圖1中畫(huà)出這條“等分積周線，從（