2009級概率論期中考試試卷答案

廈門大學概率統(tǒng)計課程期中試卷＿＿＿＿學院＿＿＿系＿＿＿年級＿＿＿專業(yè)廈門大學概率統(tǒng)計課程期中試卷＿＿＿＿學院＿＿＿系＿＿＿年級＿＿＿專業(yè)考試時間2010.11.201.（6分）設都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等,且,求.解由題設條件得 --------4分故。 --------2分2.（6分）設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解 以表示事件“透鏡第次落下打破”,表示事件“透鏡落下三次而未打破”.為故有--------2分--------4分3.（8分）人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化,往往會去分析影響股票價格的基本因素,比如利率的變化.現(xiàn)假設人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗,人們估計,在利率下調(diào)的情況下,該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.解 記為事件“利率下調(diào)”,那么即為“利率不變”,記為事件“股票價格上漲”.依題設知--------2分于是--------6分4.（12分）一條自動生產(chǎn)線上的產(chǎn)品,次品率為4%,求解以下兩個問題:(1)從中任取10件,求至少有兩件次品的概率;(2)一次取1件,無放回地抽取,求當取到第二件次品時,之前已取到8件正品的概率.解 (1)由于一條自動生產(chǎn)線上的產(chǎn)品很多,當抽取的件數(shù)相對較少時,可將無放回抽取近似看成是有放回抽取,每抽1件產(chǎn)品看成是一次試驗,抽10件產(chǎn)品相當于做10次重復獨立試驗,且每次試驗只有“次品”或“正品”兩種可能結果,所以可以看成10重伯努利試驗.設表示“任取1件是次品”,則-------2分設表示“10件中至少有兩件次品”,由伯努利公式有--------4分(2)由題意,至第二次抽到次品時,共抽取了10次,前9次中抽得8件正品1件次品.設表示“前9次中抽到8件正品1件次品”,表示“第十次抽到次品”,則由獨立性和伯努利公式,所求的概率為--------4分--------2分5．（14分）設隨機變量X具有概率密度解 (1)由得--------2分解得于是的概率密度為--------2分(2)的分布函數(shù)為--------6分(3)或--------4分6．（12分）(1)求分布函數(shù)(2)求概率解 (1)------4分即有-------2分(2)將看作是平面上隨機點的坐標,即有其中為平面上直線及其下方的部分,于是--------4分------2分7．（12分）設店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為，當日銷售量為假定一天中不再往柜臺上補充貨物，于是.根據(jù)歷史資料，的概率密度函數(shù)為即服從直角三角形區(qū)域上的均勻分布,見右圖.求(1)給定條件下,的條件分布.(2)假定某日開門時,件,求這天顧客買走件的概率.如果件呢?解 (1)的邊緣概率密度為--------3分于是,當時,有------3分該結果表明:對給定的的條件分布是上的均勻分布.(2)因為-----1分所求概率------2分即開門營業(yè)時有10件貨物,當日賣出不超過5件的概率為1/2.又因為-------1分于是-----2分即開門營業(yè)時有20件貨物,當日賣出不超過5件的概率僅為1/4.這表明貨物銷售量的概率與現(xiàn)有貨物數(shù)量的關系很密切.8．（10分）某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.記使用壽命為(以年計),規(guī)定: 設壽命服從指數(shù)分布,概率密度為試求該類家用電器一臺收費的數(shù)學期望.解 先求出壽命落在各個時間區(qū)間的概率,即有-----------------------------1分--------------------------1分--------------------------1分-------------------------------------1分則的分布律為------------------3分得即平均一臺收費元.-------------------3分9．（20分）設隨機變量的概率密度為(1)求與的邊際概率密度,并判斷與是否相互獨立;(2)求在的條件下,的條件概率密度;(3)求概率解 (1)當時，當時，所以------4分類似可得-------2分由于當時,,故與不相互獨立.-----3分(2)由(1)知,當時,所以,在的條件下,的條件概率密度為