高等數(shù)學(xué)定積分重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)大綱例題講解

第五章定積分

一、基本要求：

1.理解定積分的概念、幾何意義、物理意義及定積分的性質(zhì).

2.理解積分上限的函數(shù)，并掌握其求導(dǎo)法則.

3.掌握牛頓一一萊布尼茲公式.

4.掌握定積分的換元法和分布積分法.

5.理解反常積分（廣義積分）的概念，會(huì)計(jì)算反常積分，了解反常

積分的審斂法.

6.了解定積分的近似計(jì)算方法.

二、主要內(nèi)容

I.定積分概念：

1.定積分定義：設(shè)/(X)在區(qū)間口,切上有界，在值句中任意插入若

干個(gè)分點(diǎn)a^xu<xi<x2<<xn_,<xn=Z?.把［a,b］分成〃個(gè)小區(qū)間

［七_(dá)］,改］,(=1,2,n,,小區(qū)間的長度記為Ax’=%-專1，(，=1,2,,〃)，

在%1，%］上任意取一點(diǎn)。，作,若

/=1

1i%/占?如(4=mAx,x存在.就稱該極限為/(x)在［a向上的

Z->0TT1</<?

1=1

定積分.記為￡f(x)dx=lim)1Ax,.

*/=1

當(dāng)上述極限存在時(shí)，稱/(x)在［a向上可積.

2.若f(x)在［a向上連續(xù),則/(x)在［a向上可積。

3.若/(x)在［a向上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則/(x)在［a,句上

可積.

II.定積分的幾何意義

定積分，/0心在幾何上表不:由曲線y=/(x),直線x=a和x=A以

及X軸所圍圖形面積的代數(shù)和(龍軸上方的面積取正，X軸下方的面積

取負(fù))

in.定積分的性質(zhì)

1.補(bǔ)充規(guī)定：(1)當(dāng)a=b時(shí),「/(Xa=0

Ja

(2)當(dāng)〃>。時(shí),J/(%)公=—f{x}dx

2.性質(zhì)：

(1)1"(X)+g(x)a=/(x)公+，g(x)dx

Ja-Ja-Ja

(2)fkf(x)dx=k「/(x)辦,(左為常數(shù))

JaJa

(3)［f(x)dx+Cf(x)dx

(4)Jdx=h-a

(5)若在［a刈上，f(x)>0,貝ljJ：/(x心20,(〃〈加

推論1:若在［。向上，/(x)Wg(x),則/Jaf(x)dx<J［ag{x］dx.(a<b).

推論2：『/(x心卜/.

(6)若在［a,切上，m<f(x)<M,Pl!jm(h-a)<J［af(x)dx<M(h-a)X^<b)

(7)(定積分中值定理)：若/(x)在［a向上連續(xù)，則在［a,句上至少存

在小使J：心=f0(b-a),(a<^<b).

3.連續(xù)函數(shù)/(x)在［a,句上的平均值，y=-^—\hf(xylx

b-aJa

IV.積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

1.若對(duì)任意jy(/功存在，則稱①(x)=J：/(r汕為積分上限

的函數(shù).

2.若/(尤)在出,句上可積，則/(x)在［a,切上有界.且積分上限函數(shù)

①(X)=￡'/W在［a,b］上連續(xù).

3.設(shè)/(%)在［a向上連續(xù)，則①(x)=JafWt在出刈上可導(dǎo)，且

①(x)==「fWt=f(x),(a<x<b).

cbcJa

4.設(shè)f(x)連續(xù)，0(x)可導(dǎo)，則①’(尤)=&「",,.='［0(尤)］”(幻.

dxJa

5.設(shè)/(x)連續(xù)，0⑴，e(x)可導(dǎo)，則

①力=/S(x)］”(x)—/［。(*)］夕(x).

axJ?")

V.牛頓一一萊布尼茲公式.(微積分基本定理)

設(shè)/(x)在［a,句上連續(xù)，F(xiàn)(x)為/(x)在［a,句上的一個(gè)原函數(shù)，則

J=F-

Jaf(x)dx(<h)F(a).

VI.定積分的換元法

設(shè)/(x)在［a］］上連續(xù)，x=0⑺滿足：

⑴。(a)=a,0(0=。.

(2)0⑺在［a,0(或*a］)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且尤=西)的值域不越出

h

［a向的范圍，則有［f{x)dx=1./IOQ)］。'(t)dt.

JaJa

注：當(dāng)。⑺的值域4=［AB］越出［a,b］的范圍，但滿足其余條件時(shí)，

只要/(x)在［A切上連續(xù)，則換元法的結(jié)論仍然成立.

vn.定積分的分部積分法

設(shè)“(X)與u(x)在［a向上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

Ju(x)dv(x)=H(X)V(%)|*-Jv(x)du(x)

vm.幾類特殊的積分公式

1.設(shè)/V)在Hz,a］上連續(xù)，則有J"j(xH=J："(x)+/(-x)］〃.

V4》\2［'f(x)dx當(dāng)/'(x)為［-4,0上連續(xù)的偶函數(shù)時(shí)

」f{x)ax=<Jo

一"［0當(dāng)/Xx)為-a,a］上連續(xù)的奇函數(shù)時(shí)

2.設(shè)/(x)是以/為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)”，

有￡+，/(Xa=J；/(%心?

3.設(shè)/(X)在［0,1］上連續(xù)，則

nn

/(sinx)dx=jj/(cosx)dx

J；叭sinxybc=/(sinx^dx

n

￡/(sinx)dx=2/(sinx)dx

n-\n-2317C

〃為正偶數(shù)

nn-3422

2H二2ZT〃一1〃一242

4.fsinAzZr^fcosxt￡r^^--1〃為大于1的正奇整數(shù)

JoJ。nn-353

1〃=1

IX.反常積分(廣義積分)

1.無窮限的反常積分

(1)設(shè)/(X)在出,+8)上連續(xù),「/(幻心=lim//(X心

(2)設(shè)/(x)在(-00,封上連續(xù),，f(x)dx=lim\bf(x)dx

J-oo?—Ja

(3)設(shè)/(X)在(-oo,+co)上連續(xù)，

廣8fO「8「0pb

ff(x)dx=[/(尤世+[f(x)dx=lim|f(x)dx+lim|f(x)dx

JeJJyJ\/Jo)^+ooJo,

若上述各式右端的極限存在，則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂，否則稱該

反常積分發(fā)散.

注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才

有「八幻辦收斂.只要有一個(gè)極限不存在，心就發(fā)散.

J-OOJ-00

2.無界函數(shù)的反常積分

⑴設(shè)/(%)在(a向上連續(xù)，點(diǎn)、a為/(%)的瑕點(diǎn)，

((

J*bf(x)dx=limj*bf(x)dx

(2)設(shè)/(x)在[a,h)上連續(xù)，點(diǎn)、b為f(x)的瑕點(diǎn)，

[f(x)dx=lim「f(x)dx

J"iTtrJa

(3)設(shè)/(x)在[a向上除點(diǎn)c(a<c<。)外連續(xù)，點(diǎn)c為f(x)的瑕點(diǎn)，

[rbf(x)dx=p[cf\x)dx-\-[f(x)dx=\\m[rtf(x)dx+limr[hf(x)dx

Ja?J(iJct—>c~Ja1—>c"J，°

若上述各式右端的極限存在，則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂，否則稱該

反常積分發(fā)散.

注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才

有「小心收斂.只要有一個(gè)極限不存在，「/(x心就發(fā)散.

JaJa

3.反常積分的審斂法

(1)(比較審斂法1)設(shè)/(X)在[a,+oo)(a>0)上連續(xù)，且F(x)20.若存

在常數(shù)M>()及”1,使得/(x)4號(hào)(a?x<+oo),則反常積分

X1

「"(x心收斂；若存在常數(shù)N〉()，使得(aWx<+oo),

則反常積分J：f(x)dx發(fā)散.

(2)(極限審斂法1)設(shè)/(x)在[a,+8)上連續(xù)，且/(xRO.若存在常

數(shù)P>1，使得limx"(x)存在，則反常積分「"心收斂；若

XTOOJa

hxnxf(x)=d>09

XTOO

(或limV(x)=+8)則反常積分「"(x)公發(fā)散.

XT8Ja

(3)(比較審斂法2)設(shè)f(x)在(a㈤上連續(xù),且〃x)NO.x=a為了⑴

的瑕點(diǎn).若存在常數(shù)M〉0及q<l,使得/(x)V—竺7(a<xV"),

(x-a)'

則反常積分收斂；若存在常數(shù)N>0,使得

f(x)>—^―(a<x<b),則反常積分右發(fā)散.

X-aJa

(4)(極限審斂法2)設(shè)/(九)在(a向上連續(xù)，且/(X)20.x=a為/(x)

的瑕點(diǎn).若存在常數(shù)0<”1,使得lim(x-a"(x)存在，貝1J反常

x->a+

積分廠/(X)心收斂；若lim(x-a)/(x)=d>0,(或lim(x-?)/(x)=+oo)

J〃x-^a+XTQ+

則反常積分J：f(x)dx發(fā)散.

三、重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).

2.牛頓一一萊布尼茲公式.

3.定積分的換元法和分部積分法.

四、例題

1.求■+—++,〃,)

力”+1〃~+2n+n

分析：由定積分定義知Jf(x)dx=Jimf(^,)-?可見求右端

5T8)i=l

的極限也可通過求左端的定積分值而得到.解決此類問題的關(guān)

鍵是把和式歸結(jié)為某個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的積分和式.

i

解：原式=limY=limy————=limY,Ax,.

…廣f￡]+(與2〃"f8￡i+q-

n

-[—^-^dx--[—r</(l+x2)=—ln(l+x2)|'=—ln2

Joi+f2J(H+x22%2

2.下列解法是否正確

邙sec2x.

(1).|--------『dx==0

02+tan-x

?1]

即=dx=0

⑵工急"斗"T占此-11+x2

解：這兩題的解法都不正確.

⑴被積函數(shù)八?MW公在積分區(qū)間。列內(nèi)”殘?zhí)幉粷M

足，，牛頓——萊布尼茲，，公式的條件，故不能直接應(yīng)用公式.

⑵代換X」在上不連續(xù)，故在上不可導(dǎo)，不符合換元

t

法的條件.

3.求下列定積分

(1)￡vsinx-sin3xdx(2)「min{|x|,X2}dx

⑶d濯?、菾：

角牟:「Vsinx-sin3xdx=￡Vsinxcos2xdx式Vsinx|cosdx

n_____￡_____

=『Jsmxcosxdx-仁Jsinxcosxdx

"~~2

3衛(wèi)」

2-22-

—sin2x——sin2x

3°3工

2

224

—i—=—

注：帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的積分，需先脫掉絕對(duì)值符號(hào)，如在積

分區(qū)間上脫掉絕對(duì)值符號(hào)后為分段函數(shù),則轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的積分.

2

X-1<X<1

⑵min{Md}='

X1<x<2

min{|x|,x2}tZx=jxdx=-^-

.1717171

=arcsin———+—

x4612

(4),x^lx-^dx=j]Xyll—(x—l)2dx

令x-l=sint,則cbc=costdt

nnK

原式=Jj(sint+l)cos2tdt--￡2cos2tdcost+jjcos2tdt

n

132\Ji1Ji

=——COSt+---=-+—

302234

4.設(shè)/(x)連續(xù)，g(x)=xj"⑺力，求g'(0)

解：g'(x)=4(x)+J；/Q)力(1)

g'(0)=0

.p(x)—g(0)xf(x)+J/(t)dt

g(0)=lim&UW=lim-------------

jr->0*JC-?Ox

[f(x\

=limf(x)+——?=/(0)+lim—=2/(0)

x->0xXTOI

注：此題沒有/(x)可導(dǎo)的條件，故“對(duì)(1)式兩邊在對(duì)X求導(dǎo).得

g(x)=/(x)+xf(x)+/(x)=2/(x)+V(x)=g.(0)=2/(0)"這種解

法是錯(cuò)誤的.

5.計(jì)算下列極限

jln(l+f)力

(l)lim」()_____________________(2)lim

,sinx3x

sin2tdtxe

Jo

r2x

ln(l+r)力..ln(l+2x)-2..4x

(l)limJ0________________lim--------------=lim------

解:/?sinx

sin2tdt2。sin(2sinx)cosx…sin2x

Jo

lx

[te[{f(u)du]dtxef7f(u)du—ff(u)du

(2)lim--------------=lim——-------=limJo*-------

a。xex…(3x+x)e*…3x+d

=]im—/K>2x=力2X=°

A->03+2x3

6.設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，且arcta底，"1)=1,求

1/(X)心.

解：2xj/(t)dt-jtfit)dt=arctanx2

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

f2xX

2\+2x[2/(2x)-/(x)]-[4V(2x)-xf(x)]=-~

L1+Xr

整理后，有「/⑺力=：[「]+山切

Jx2l+x

令尤=1,即得j"(xMv=gg+/⑴]=[

7.設(shè)/(x)在(f+oo)內(nèi)連續(xù)，且R(x)=](；-)/")力

JO2

證明：(1)若/(X)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù).

(2)若/(x)為單減函數(shù)，則F(x)也是單增函

數(shù)..

證明：⑴/(一幻=『(一力=-]；(-1+“)/(-“)"〃"=-")

rxX

=]o(--u)f(u)du=F(x)

即尸(x)為偶函數(shù)

⑵/(x)=蒜人)山」，⑺力

F(x)=1⑺力+|/(x)-W)=1[[/(t)dt-xf(x)]

由/(x)單減，當(dāng)0<f<x時(shí)，/(Z)-/(x)>0

nk(x)=1￡'[/(/)-f(x)]dt>0(x>0時(shí))

當(dāng)x<f<0時(shí)，/(/)-/(%)<0.

=F(x)=1J；"(f)-f(x)]dt>0=1￡[/?-f^)]dt

(x<OU\t)

即在(-8,+00)上,F(x)為單增函數(shù).

8.計(jì)算下列各題:

共

⑴上(x5+sin2x)cos2x6tr(2)『xln(l+ex)2dx(a>0)

2

(1)解：0cos2%為奇函數(shù),sin2xcos2x為偶函數(shù).

原式=JJcos2xdx+^sin2xcos2xdx=j^sin2xcos2xdx

~2~2~2

n7t_￡

=2,sin2x(l-sin2x)dx=2jjsin2sin4xdx

?1兀31萬、71

=2(—x--------x—)=—

224228

(2)分析：此題的積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，而對(duì)稱區(qū)間上的定積分有

公式J：/(x)dx=[："(x)+/(-幻心，若/(x)+/(-X)在[0,0上容易積分，該

公式就可利用了.

解：￡xln(l+ex)2dx=￡[xln(1+e')2-xln(l+

i1+ex,.ex(1+ex).

=2xln--------dx=2xln------------dx

Jo1+/Joev+l

=—a3

o3

9.計(jì)算[71-sin2xdx(k為正整數(shù))

角軍：原式=J；J(sinx-cosx)2dx=卜inx-cosxjdx

[Jsinx-cos^^+『1ssiinx-c：osRdx+…+廣Issimx一。OSApX

1J(i"

同|sinx-cosx|Jx

(cosx-sinx)dx+J(sinx-cosx)dx]

*4

7C

=Z[(sinx+cosx)H-(cosx+sinx)|^]

4

=2a

注：|sinx-cos^是周期為乃的周期函數(shù).

10.求「皿1+；)山

J°1+x2

解：令x=tanZ,

原式=pIn，+產(chǎn)叫sec?td，=Pln(l+tanz)6?r

J°sec2rJ°

n

設(shè)I=「ln(l+tant)dt

I=￡4ln(l+竟—m=￡4ln(cos^+sinIncostdt

“K

=j^lnV2cos(^--r)Jr-j^lncos^(1)

nn

=j^ln叵du+『Incosudu代入(1)式

得I=PIn41du+[4Incosudu-卜Incostdt

JoJoJo

=p\n42du=—In2

Jo8

所以[g*=；]n2

dx

U11,求小JogSinx-+--&-CO-S-X

兀,sinxCQCOS/兀cosx

—dx=-[-------dx-戶-----------------：—dx

解：I=P------7[

Joe，nx+e0OSXcosr,sin/Jocosx.sin.r

2匕十&&十&

-Si而.coxsR?

于是21=p------^—dx=\2dx=-

Jo,洲04+6$5Jo2

ncWnx?

=I=1dx^-

一sinx^---co-sx-

Joe+e4

12,求1)e~rdt]dx.

解：『二"為x的函數(shù)，令/(%)=『一公

2

原式=￡xf(x)dx=￡f(x)d%*-1(x)dx

-￡與[e~x42x]dx

o

-￡x""4dx=e~x4d(-x4)

-1)

4

13.設(shè)函數(shù)①(%)=jJsin/依

(1)當(dāng)〃為正整數(shù)，且叫Kx<(〃+1)萬時(shí),證明2〃<①⑴<2(〃+1)

⑵求lim酗

解：(1)Et]|sin/|>0,JL<%<(n+1)^

n「卜int\dt<①(x)<“口sint\dt

有由卜in?|是周期為%的周期函數(shù).

J)|sint\dt<|sint\dt=sintdt=2n

同理『)[sinW=2(〃+l)

因止匕，當(dāng)Y171<%<(〃+1)乃時(shí).，有2〃<①(X)<2(〃+1)

(2)由(1)知當(dāng)n7V<X<(〃+1)7T即----<—<」一

(〃+1)%xn7i

后2n①(x)2(〃+1)A后

有-----<----<------,令1—8，Wn—>oo

(〃+1)%x幾兀

而lim-^=2,加迎生=2

〃f0(n+1)乃71n7t7i

-①⑴2

=>lrim----=—

?—X7T

14.設(shè)/(x)在四]上連續(xù)，且單調(diào)遞減，證明對(duì)Vaw(O,l),有

^f{x}dx>a^f(x)dx

證法一￡f(x)dx=￡f(x}dx+Jf(x)dx

于是［f(x)dx-a^f(x)dx=￡f(x)dx-a［^/(x)rfx+jf(x)dx\

=(1-cr)￡/(x)^x-ajf(x)dx

由積分中值定理rf(x)dx=af(^)O<^<a

JO

￡/(xMx=(l-?W2)a<^2<l

因此「/(x)dx-f(x)dx=(1-a)af(《)-a(l-?)f&)

=(l-?)?［/(^,)-/(^)］(0<^,<?<^<l)

因一(X)單減，則有/Cl)“?)，SP￡/f(x)dx>f(x)dx.

證法二：設(shè)F(a)=,「/(x)公-］：/(x)dr(0<a<1)

f(a)a-［f(x)dxaf(a\-af(^

尸(a)=--------萼------=⑷⑷了"0<^<a

a~a~

=")—-0

a

即F(a)在(0,1］上單調(diào)不增，

即F(a)>F(l)=0,即有「f(x)dxNa^f{x}dx.

注：此題還可以用積分換元法加以證明.

15.設(shè)/(幻在［0,1］上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足/⑴=2］；尤2/(回公.

證明在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)J使/鉆)=-4/《).

證：設(shè)F(x)=，/(x),由積分中值定理，

x2f(x)dx=F(x)dx(04卷<-)

￡J

即F&)=x2f(x)dx,而F(l)=//⑴=x2f(x)dx

即"。)=1(1),由羅爾定理,存在4G4,1)u(0,1),使/4)=0

而F(x)=2xf(x)+x2f(x)，即有F⑹=2夕鄉(xiāng)+$f(J=0

9

也gp2/(。)+go=o,/o=--/(^).

16.計(jì)算下列反常積分.

⑴『號(hào)"公⑵『處半公*dx

解：⑴『野小=一『（1一1g）弓

l-ln2JIn2

-------+—=-------

2x22

arctanx''t

⑵令x=tanx,dx-f2——sec2tdt

7sec31

(1+//

二R，costdt-f2tdsint

JoJo

=￡,1

2°

(3)limln一二=oo,x=l為被積函數(shù)的瑕點(diǎn).

\-x

pl1p/1

JoIn-1------dx--Wm「J。In-(i--+-x-)-(-]---x-)dx

=limf-[InQ+x)+ln(l-x)]dx

/->rJo

+1)ln(l+x)+2x+(1-x)ln(l-x)]j

/->r

=l一im「[-(Z+1)ln(l+t)+2t+(l-t)In(l-f)]

=2(1-In2)

17.已知re-xldx=4^，rce-^xdx=\.求c的值.

J-00

x0<x<1e~xx>0

18.設(shè)y(x)=<其它')

0g"=0x<0

求函數(shù)h(t)=「'f(x)g(t-x)dx的表達(dá)式.

J-00

解：因?yàn)?(x)在(0,1)上為/(x)=x,在(0,1)之外都為零.

故/?(/)=J/(x)g(r—x)dx=Jxg{t—x)dx

e~(,~x)t-x>0

而g(f-x)=<

0其它

當(dāng)/<()時(shí)，由于積分變量xw[0,1],故總有

從而g(，—x)=。，h(t)=fxg(t-x)dx=0.

當(dāng)0<f<1時(shí)，〃⑺=1xg(J-x)dx=￡xg(t-x)dx+Jxg(t一x)dx

當(dāng)積分變量x在匕1]上變化時(shí)，-x?0，g(Z-%)=0,

所以‘xg"x)dx=0

從而〃⑺=j)xg(r_x)dx=￡xex~ldx=e~/^xexdx

-c1\xcx—exJQ—€1(/d-d+1)=1—1+e1

當(dāng)/■>1時(shí)、h(t)=￡xg(t-x)dx=￡xex~'dx=e"'￡xexdx=e~'.

0當(dāng)f<OB寸

綜上+t-\當(dāng)04xWl時(shí)

當(dāng)/>1時(shí)

注：本題是含參變量的反常積分，這是一類重要的積分，它在概率統(tǒng)

計(jì)以及積分變換中都會(huì)用到.

定積分自測(cè)題(A)

一.選擇題(每小題3分，共15分).

L)

dxJx

(A)e/(B)—J(C)——J(D)—2xe/

2./=/xyll-x2dx,則()

(A)化為/=」『(「馬54(1_工2)后計(jì)算

2Jo

(B)進(jìn)行代換》=sint后計(jì)算

(O進(jìn)行代換l-x2=r,/=-1L'f后計(jì)算

2J()2

(D)進(jìn)行代換％=357后計(jì)算

3.設(shè)/(x)連續(xù)且/(0)=2,F(x)=J-3—"0,若尸(x)在x=0處

cx=0

連續(xù)，則c=()

(A)c=0(B)c=1(C)c不存在(D)c=-1

4.設(shè)/(尤)在[-a,a]上連續(xù)，則「/(x)dx等于()

J-a

(A)2("(x)dx(B)0

(C)￡[/(%)+f(-x)]dx(D)￡[/(%)-f(-x)]dx

5.設(shè)/(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則/(x)的任一原函數(shù)()

(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)

(C)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

二.(7分)求lim[/1

H—7----------I=]

2"，4〃2―力2

三.計(jì)算下列各題(每題6分，共12分).

(卜”)2

1.lim

x->0(,e2rM2

2.設(shè)/(x)=1'"'arctanl+rW/,求./(())?

四.計(jì)算下列定積分(每題8分，共56分).

72.12|sinx-cos

3.J：X+l

dx

x2(x-1)MT5

4

6.x2yl4-x2dx

x<0i、Q

五.(10分)設(shè)/⑴=1-°，求J.f(x-2Wx.

定積分自測(cè)題(B)

一.選擇題(每小題3分，共15分).

1.設(shè)f/(xWx=O,且/⑴在[a,切連續(xù)，則()

(A)在[a向上，/(x)三0⑻必存在Jw口,切，使/?)=()

(C)存在唯一的Je[a,。],使f4)=0(D)不一定存在&e[a,b]，使f4)=0

2.設(shè)/[=『lnrdf,4=['(Inf)之力，(x>0),則()

(A)對(duì)一切xwe,有/—I?(B)僅當(dāng)x>e時(shí)，有/心右

(C)對(duì)一切xwe,有(D)僅當(dāng)x<e時(shí)，有/心右

3.當(dāng)x-?()時(shí)，/(x)=「hinC/與g(x)=/+/比較，是()

JO

(A)高階無窮小(B)低階無窮小

(C)同階但非等價(jià)無窮小(D)等價(jià)無窮小

4.函數(shù)~~力在區(qū)間［0』上的最小值為()

Jot-t+i

(A)i(B)i(C)i(D)0

234

?sin2x

ln(l+t)dt

J----------=()

a。1-cosx

(A)8(B)4(C)2(D)l

二.填空題(每小題3分，共15分).

1.設(shè)/(X)為連續(xù)函數(shù)，則「/"(X)-/(-幻妙=

2.lim(11--F—)=?

〃->8〃+］〃+22〃----------

3.若「與"天與公=」■「/(項(xiàng)我，貝！JQ=.

Jo2Jo----------

4.設(shè)/(x)=rY°?XW1,而以?=「/⑺力(0<x<2),則

1l<x<2Jl

"幻=.

5.J|x-l|rfx=.

三.計(jì)算下列各題(每題8分，共56分).

?2dx

2.

1x(l+x4)

3.(cos4^+sin3^)sin2OdO

4.-

~2J03+sinx

,n22gpln(l+%)

5.r7i-^'^dx

Jo.J。(l+x)2

7.已知/(O)=1J⑵=3J'(2)=5,求［M”(x)dx.

四.(8分)設(shè)八右胃30),試求小)+今

五.(6分)設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3j；/(x)dx=/(0).

3

證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)八使fc)=o.

定積分自測(cè)題(C)

一.選擇題(每小題3分，共18分).

1.設(shè)/(X)為連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)/(x)=(嚴(yán)明為()

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)

(C)非奇非偶函數(shù)(D)單調(diào)增加函數(shù)

2Ja.(2力4=()

(A)2[/(%)-/(?)](B)f(2x)-f(2a)

(C)2[f(2x)-f(2a)](D)1[/(2x)-/(2?)]

3.函數(shù)/(%)在閉區(qū)間[a向上連續(xù)是定積分￡/(工心存在的()

(A)必要條件(B)充分條件

(C)充要條件(D)無關(guān)條件

r1/sinx,ri,sinx_i

4.設(shè)型,^r2=14+e)dx,/=1(&ex)dx,

J-'l+x4*1+X3*1+X

則()

(A)I]<I2<I3(B)/,</3<I2

(A)I3<It<I2(A)I.<I2<7]

5.設(shè)八幻連續(xù)，則;]%(一一內(nèi)力=()

dx^

(A)xf(x2)(B)-xf(x2)

(C)2mx2)(D)-2xf(x2)

6.廣義積分收斂的是()

(A)r^-dx(B)r-^dx

JeXJexlnx

(0r⑻rq

Jex(lnx)JeXJinX

二.填空題(每小題3分，共12分).

1.；(1,e」n(l+〃)M=

dx*------

2.設(shè)/(x)在[0,4]上連續(xù)，且J；Tf(t)dt=X-B則/(2)=

3.設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，且/(x)=lnx-，/(xRx,則「〃理氏=

4.J：(X+J]—-)2公=.

三.計(jì)算下列各題(每題8分，共40分).

T：*