福建省廈門市同安第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

福建省廈門市同安第六中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，則b等于（）A．4 B． C．4 D．參考答案：A【考點】正弦定理．【分析】先求得A，進而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故選A．2.設(shè)三數(shù)成等比數(shù)列，而分別為和的等差中項，則（

）A．

C．

D．不確定參考答案：B略3.設(shè)，則

(

) A． B．0 C． D．參考答案：A略4.已知函數(shù)，則該函數(shù)是（）A．非奇非偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減參考答案：C【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由題意，根據(jù)題設(shè)條件及選項可判斷出，可先由定義判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷出函數(shù)是一個增函數(shù)，由此可以判斷出正確選項【解答】解：此函數(shù)的定義域是R當(dāng)x≥0時，有f（x）+f（﹣x）=1﹣2﹣x+2﹣x﹣1=0當(dāng)x＜0時，有f（﹣x）+f（x）=1﹣2x+2x﹣1=0由上證知，此函數(shù)是一個奇函數(shù)，又x≥0時，函數(shù)1﹣2﹣x是一個增函數(shù)，最小值是0；x≤0時，函數(shù)2x﹣1是一個增函數(shù)，最大值為0，所以函數(shù)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)綜上，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)故選C5.若m,n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是()A．若α∥β，m⊥α，則m⊥β

B．C．若m∥α，m⊥β，則α⊥β

D．若m∥n，m⊥α，則n⊥α參考答案：B略6.設(shè)m、n為實數(shù)，若m+n=2，則3m+3n的最小值為（）A．18 B．6 C．2 D．9參考答案：B【考點】基本不等式．【專題】不等式．【分析】根據(jù)基本不等式和指數(shù)冪的運算即可得到答案．【解答】解：∵m+n=2，∴3m+3n≥2=2×=6，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號．故選：B．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵．7.袋中有10個大小相同但編號不同的球，6個紅球和4個白球，無放回地依次摸出2個球，在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D試題分析：先求出“第一次摸到紅球”的概率為：，設(shè)“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球”的概率是，再求“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率為，根據(jù)條件概率公式，得：,故選D.考點：條件概率與獨立事件.【易錯點晴】本題考查了概率的計算方法，主要是考查了條件概率與獨立事件的理解.利用定義，分別求和，得.注意：事件與事件有時是相互獨立事件，有時不是相互獨立事件，要弄清的求法．屬于中檔題，看準(zhǔn)確事件之間的聯(lián)系，正確運用公式，是解決本題的關(guān)鍵.8.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B9.甲組有5名男生，3名女生，乙組有6名男生，2名女生，若從甲乙兩組中各選2人，則選出的4人中恰有1名女生的不同選法種數(shù)為

（）A.150

B.180

C.300

D.345參考答案：D10.已知|2x－log2x|<2x+|log2x|成立的一個必要但不充分條件是A．1<x<2

B．x>1

C．x>0

D．x>2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的離心率是，過橢圓上一點作直線交橢圓于兩點，且斜率分別為，若點關(guān)于原點對稱，則的值為

。參考答案：12.在長方體中，已知，為的中點，則直線與平面的距離是___________．參考答案：9略13.如圖是某次考試試卷評閱賦分程序框圖，，，為三個評閱人對同一道題的獨立評分，p為該題的最終得分，當(dāng)，，時，等于______．參考答案：8【分析】根據(jù)框圖，分別討論和兩種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行框圖如下：輸入，，，不滿足，輸入，若則，令，則，所以滿足題意；若，則，令，則，所以不滿足題意；綜上，.故答案為8【點睛】本題主要考查程序框圖，分析框圖的作用，逐步執(zhí)行即可，屬于?？碱}型.14.參考答案：略15.已知a、b、c均為正數(shù)，若，則的最小值為______.參考答案：9【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為9，故答案為：9.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵就是對代數(shù)式進行合理配湊，并充分利用定值條件，考查計算能力，屬于中等題.16.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF=，則下列結(jié)論中正確的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱錐A﹣BEF的體積為定值：（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．參考答案：（2）（3）【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．【解答】解：對于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；對于（2），由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，故正確；對于（3），由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故正確；對于（4），由圖知，當(dāng)F與B1重合時，與當(dāng)E與D1重合時，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯誤．∴正確命題的序號是（2）（3）．故答案為（2）（3）．【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對其中的點線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．17.如圖，在△ABC中，,,，則

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一次考試結(jié)束后，隨機抽查了某校高三（1）班5名同學(xué)的數(shù)學(xué)與物理成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)8991939597物理8789899293（Ⅰ）分別求這5名同學(xué)數(shù)學(xué)與物理成績的平均分與方差，并估計該班數(shù)學(xué)與物理成績那科更穩(wěn)定；（Ⅱ）從以上5名同學(xué)中選2人參加一項活動，求選中的學(xué)生中至少有一個物理成績高于90分的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】（Ⅰ）結(jié)合圖表，由平均值和方差的定義可得答案；（Ⅱ）列舉可得5名學(xué)生中選2人包含基本事件有共10個，事件A包含基本事件有7個，由古典概型的公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）5名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分為：5名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為：5名學(xué)生物理成績的平均分為：5名學(xué)生物理成績的方差為：因為樣本的數(shù)學(xué)成績方差比物理成績方差大，所以，估計高三（1）班總體物理成績比數(shù)學(xué)成績穩(wěn)定．（Ⅱ）設(shè)選中的學(xué)生中至少有一個物理成績高于90分為事件A，5名學(xué)生中選2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10個．事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7個.所以，5名學(xué)生中選2人，選中的學(xué)生中至少有一個物理成績高于90分的概率為．19.（12分）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部為底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺。上部為一個底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等矩形的四棱柱。（1）證明：直線平面。（2）現(xiàn)需要對該零件表面進行防腐處理，已知（單位：厘米）每平方厘米的加工處理費為元，需加工處理費多少元？參考答案：解：（1）略

（2），，

處理費為：元略20.如圖，已知橢圓的中心在原點，左焦點為,右頂點為，設(shè)點.

⑴求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

⑵過點A的直線l交橢圓于MN兩點，點A為MN的中點，求直線l的方程；⑶過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值．

參考答案：解析：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

又橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)設(shè)M(x1,y1)，N（x2，y2）由，∵A為MN的中點，

∴∴

即斜率∴直線l的方程是：

即x+2y-2=0.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時，BC=2，因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時，設(shè)該直線方程為y=kx，代入，解得B(,),C(－,－)，則，又點A到直線BC的距離d=，∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=

當(dāng)k=0時，S=1；時，∵

且

則且∴S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.∴S△ABC的最大值是.

21.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.參考答案：（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機變量X的分布列為X0123P

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．22.（12分）已知橢圓G：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為，過點M（0，1）且與x軸平行的直線被橢圓G截得的線段長為．（I）求橢圓G的方程；（II）設(shè)動點P在橢圓G上（P不是頂點），若直線FP的斜率大于，求直線OP（O是坐標(biāo)原點）的斜率的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由已知點在橢圓G上，離心率為，列出方程組求出a，b，能求出橢圓G的方程．（II）點F的坐標(biāo)為（﹣1，0），設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0），直線FP的方程為y=k（x+1），從而得．設(shè)直線OP的方程為y=mx．得．由此能求出直線OP（O是坐標(biāo)原點）的斜率的取值范圍．【解答】解：（I）∵橢圓的左焦點為F，離心率為，過點M（0，1）且與x軸平行的直線被橢圓G截得的線段長為．∴點在橢圓G上，又離心率為，∴，解得∴橢圓G的方程為．（II）由（I）可知，橢圓G的方程為．∴點F的坐標(biāo)為（﹣1，0）．設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0）（x