數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)第1頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六概述主干基礎(chǔ)課以高數(shù)和普物為基礎(chǔ)，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課做準(zhǔn)備承上啟下。課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述物理問(wèn)題的能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，提高運(yùn)算能力。課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論、積分變換及應(yīng)用、偏微分方程的定解問(wèn)題、特殊函數(shù)、近似解法.第2頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六教材及指導(dǎo)書(shū)

一、教材：管平等編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，高等教育出版社，2010年4月

二、主要的參考書(shū)：梁昆淼編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月。胡嗣柱、倪光炯編，《數(shù)學(xué)物理方法》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社郭敦仁編，《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：人民教育出版社。陸全康編，《數(shù)學(xué)物理方法自學(xué)輔導(dǎo)》，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社。第3頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六要求和考核基本要求：1、課前預(yù)習(xí)2、按時(shí)、準(zhǔn)時(shí)上課，不遲到、早退和缺席3、上課認(rèn)真聽(tīng)講，做好筆記4、課后復(fù)習(xí)，整理筆記，獨(dú)立完成作業(yè)成績(jī)組成和考試方式：1、平時(shí)成績(jī)（出勤、聽(tīng)課、作業(yè)、筆記)占20%，考試占80%2、考試方式：閉卷筆試第4頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一章復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容:§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)§1.2復(fù)變函數(shù)的積分§1.3復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)§1.4留數(shù)及其應(yīng)用§1.5分式線性變換。第5頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)§1.1.1復(fù)變函數(shù)z=x+iyx=Rez，y=Imzi為虛數(shù)單位，i2=-1復(fù)數(shù)的幾何意義一、復(fù)數(shù)的概念復(fù)平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸模幅角第6頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注：第7頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指數(shù)表示：z=rexp(i

θ)復(fù)數(shù)的運(yùn)算z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz1注：復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)相等第8頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六零點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面上特殊的點(diǎn):零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).(1)復(fù)數(shù)零的幅角沒(méi)有定義,模為0.(2)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模為∞,幅角不確定.包含“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面，該無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)借助測(cè)地投影法來(lái)定義。第9頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六測(cè)地投影法定義無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)AAA’第10頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算第11頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

第12頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、復(fù)變函數(shù)區(qū)域的基本概念鄰域平面上以z0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)所組成的集合，稱(chēng)為z0的δ-鄰域|z-z0|<δ0<|z-z0|<δz0δz0δ第13頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六開(kāi)集如果G內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱(chēng)G為開(kāi)集。Gz0內(nèi)點(diǎn)設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中任意一點(diǎn)，如果存在z0的一個(gè)鄰域，使該鄰域的所有點(diǎn)都屬于G，那么稱(chēng)z0為G的內(nèi)點(diǎn)。第14頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六區(qū)域平面點(diǎn)集D稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件：1.D是開(kāi)集；2.D是連通的。邊界點(diǎn)設(shè)D為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果點(diǎn)p不屬于D，但是在p的任何鄰域內(nèi)都包含有D中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)p稱(chēng)為D的邊界點(diǎn)。閉區(qū)域區(qū)域D連同它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為Dz1z2p邊界D的邊界點(diǎn)之全體稱(chēng)為D的邊界。第15頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六xyORxyORxyROrxyR-ROxOy1xOy第16頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六單連通域與多連通域設(shè)B為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一條簡(jiǎn)單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B，則稱(chēng)B為單連通區(qū)域，否則稱(chēng)為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域第17頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)D是復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域。如果有一個(gè)確定的法則f存在，使得對(duì)于D內(nèi)的的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為w=f(z)。說(shuō)明1如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)w值，那么我們稱(chēng)f(z)是單值函數(shù)；如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著多個(gè)w值，那么我們稱(chēng)f(z)是多值函數(shù)。值域：M={w|w=f(z),z∈D}第18頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六說(shuō)明2復(fù)變函數(shù)w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一個(gè)映射。復(fù)變函數(shù)w=f(z)可以寫(xiě)成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyw=f(z)z平面w平面第19頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六舉例求0<θ<π,0<r<1經(jīng)w=iz變換后在w平面上的圖形。z平面w平面第20頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六復(fù)變函數(shù)舉例—基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)z平面w平面第21頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六雙曲函數(shù)三角函數(shù)第22頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)第23頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性設(shè)A=u0+iv0第24頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.1.2解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)可微與導(dǎo)數(shù)的概念定義1第25頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第26頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)復(fù)變函數(shù)f在內(nèi)有定義,如果極限存在,則稱(chēng)函數(shù)f在處可導(dǎo),并稱(chēng)此極限值為f在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記為,即或記為

定義結(jié)論：可微等價(jià)于可導(dǎo)，且若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)在D內(nèi)可導(dǎo).第27頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1.求(為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).解：第28頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第29頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.從定義形式上看，復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)是完全一樣的，所以實(shí)變函數(shù)論中的相關(guān)規(guī)則往往可以適用于復(fù)變函數(shù)。2.復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)有更嚴(yán)格的要求實(shí)變函數(shù)Δx只能沿實(shí)軸逼近0，而復(fù)變函數(shù)Δz則可以沿任何曲線逼近于0。例如：注意：第30頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六首先看Δz則沿實(shí)軸逼近于0的情形：再看Δz沿虛軸逼近于0的情形：第31頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理1.1.1(可導(dǎo)的必要條件)Cauchy-Riemann條件第32頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5證明：第34頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第35頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理1.1.2（可微的充要條件）第36頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第37頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第38頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六導(dǎo)數(shù)f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲線經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角.w=f(z)Argf'(z0)導(dǎo)數(shù)f'(

z0)的模|f'(

z0)|是經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后通過(guò)z0的任何曲線在z0的伸縮率。Z平面w平面復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義（伸縮系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角）第39頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：第40頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、解析函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處解析；又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)解析，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說(shuō)明2.稱(chēng)函數(shù)的不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然第41頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由定理9.2即得：定理9.3（判斷解析的充要條件）第42頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：例7.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析第43頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解:第44頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解:第45頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六證明:第46頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、初等函數(shù)及性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：注意：第47頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.三角函數(shù)性質(zhì)：，

，

第48頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第49頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)函數(shù)說(shuō)明：第50頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)：第51頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解:第52頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.冪函數(shù)性質(zhì)：第53頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：第54頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第55頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第56頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第57頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第58頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作業(yè)

習(xí)題（P）1（1）（3）（5）；2第59頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第60頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第61頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第62頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第63頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第64頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第65頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第66頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第67頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第68頁(yè)，共73頁(yè)，2023年，2月20日，星期六.以z軸作實(shí)部,顏色作虛部在這個(gè)圖像中,為了把不同虛部表示出來(lái),我們將