不等式基礎(chǔ)水平必備

n2nnn121nnnnnnnnnn2nnn121nnnnnnnnn一、基不等式的公1均值定理：AH（當(dāng)且當(dāng)a...a時(shí)取等號）注解：平方平均值：

a...

；A算術(shù)平值：A

an

；幾何平均值：Ga；H調(diào)和平值：H

n11n

，即：

...Ha1n其中，a,0例如：a1，a，、、G、H，并比較它的大小.解：Q

1252

1.；

15；24；

H

2112

241.232可見：H從大到的順序是：方算術(shù)幾何調(diào)和2指數(shù)不等式e1x（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）注解：于要求等式右邊x0故：1記憶方見函數(shù)圖

ye

曲線在R區(qū)都處在線yx的上方僅在x處切.即：e1x，當(dāng)且僅x時(shí)取等號.例如：1時(shí)，邊e2.右邊1

yxO

y12221nn1212n12n22222212121122n22y12221nn1212n12n22222212121122n22212n22222213對數(shù)不等式lnx1（當(dāng)且當(dāng)1時(shí)取號）注解：于0和負(fù)數(shù)有對數(shù)所以：x0記憶方見函數(shù)圖

y1曲線ln在x區(qū)間都在直線y的下方僅在x1處相切即：lnx1當(dāng)且僅1時(shí)取等號

O

y也可以得：兩邊取數(shù)：yln，：xx1例如：xe時(shí)左邊lnlne1，右邊x1e1，故：lnx14柯西不等式(aa...a)(bb...b)(ab...b)

（當(dāng)且當(dāng)

aaa...時(shí)取等號b12注解：向量A(,)向量B(b，則Aa，b，Aab...a由向量式：AcosB得：兩邊自得：(A)將上面結(jié)果代入得

(aa...a)(b...b)abb...ab)例如：a1，a，，則：，4(aa)5；，，b25；(aa)(bb)5；2

2222222ab3，b(abab)1212222222故：(a)(b)(aa)5琴生不等式注解：⑴設(shè)在x[b]區(qū)間f(x)為上凸數(shù)，如

即f(x)的二次導(dǎo)數(shù)f''(x)，

A則：

f(afb)f()

①

B圖中，A點(diǎn)均值的函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)的值.

O

a

b即對于上函數(shù)函數(shù)的均值大于均的函數(shù)值.⑵設(shè)在x[b]區(qū)間f(x)為下凸數(shù)，如即f(x)的二次導(dǎo)數(shù)f''(x)，B則：

f(afb)f()

②

A圖中，A點(diǎn)均值的函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)的值.

O

a

b即對于下函數(shù)函數(shù)的均值小于均的函數(shù)值.上面的②式，稱為生不等.例如：于函數(shù)f(sinx，在[,

間為上函數(shù)，因?yàn)閒)cos，''()x（x[,]）

A故：f()x在x[,

間為上函數(shù)此時(shí)，b

，則

b2

O

B

f(a)f(00，()f

)，即：

f(a)f()0；而

bf(a)f())f().故：f()3O

2

21212212122n02nnnn2n例如：次函數(shù)(x)x121212212122n02nnnn2n因?yàn)閒x)2x，f''(x)20所以f(x)下凸函數(shù).在[2]區(qū)間有：f(0，f)，f1)0即：故：

f()f()02，f()ff(0)f()f)2其實(shí)，x間，都滿足⑶推廣一般形式

f()fabf()對于x(,的上函數(shù)，''(x)，有：f()f)f(x)xf(nn

)

（x,,...,x(,)）對于x(,的下函數(shù)，''(x)，有：f()f)f(x)xf(nn

)

（x,,...,x(,)）這就是生不式.注意不號的方向與次導(dǎo)數(shù)方向一致.6伯努利不等：()1nx（x注解：二項(xiàng)式理得：(1x)Cxg(x在x時(shí)，g(x0即：(1)（僅當(dāng)時(shí)取等號例如：x，2，左邊1x))4，右邊1nx1213故：x)17向量不等式⑴向量角形：和⑵bb4

⑶向量乘：注解：⑴由，，ab構(gòu)成的三形，由角形兩邊之大于第邊得.⑵由，，ab構(gòu)成三角形，由角形兩之差小于第邊得；⑶由向積的公式得abcosaab，即：；⑷若a(a)，(b,b)，則：abaa123132233上面這種基本不等的簡單憶方法：均值定四兄弟，對指數(shù)倆侶；柯西琴伯努利，向三角點(diǎn)積.上述不式的解法統(tǒng)“公式法”.解證不式，首先考用上述不等式，能用的盡量用.能直接使用，但經(jīng)過變后能使的，要盡量用，即盡一可能使上述不式.二、求等式的基本法1作差法：將較的兩象相減后，差與0較大小方法.注解：常用的構(gòu)建函數(shù)法例如證明(x則構(gòu)建()fx)x)2作商法：將較的兩數(shù)對象相比，其商較大小方法.注解：如，fx)0()0，證明()g(x).將其變形為

fx)()

與1比小.3公式法：用面不等的公式得到果的方.注解：均值定、柯西不等等.4單調(diào)性法：用函數(shù)某區(qū)間的單性得出小的方法.注解：如，函fx)在間x[]單調(diào)增，則：f()f()，f(x)f()5、放法：等式的一經(jīng)過放或縮將等式為不等式；者大者得更大，小者變得??；從而使題得到?jīng)Q的方法.注解：如，，原本n2，將右邊減小為(n)①式就放縮法的結(jié)

①6、判式法：如果個二次數(shù)過點(diǎn)，即零點(diǎn)存在二方程的，那么二次程有解的件是：判別式.這里自然出現(xiàn)了等式.5

nn注解：方法用處理二次函時(shí)，包二次函數(shù)的式nn7換元法：將個整式分式或根式體看做個量進(jìn)行處的方法主要簡化.注解：別是三角換法.因?yàn)槿菙?shù)本身界，所以自就有不式此法要求常用的三恒等式必須悉.8、裂相消法一項(xiàng)式子分成兩項(xiàng)多項(xiàng)，在求過程中部分項(xiàng)相互消，從而得到明結(jié)果的方.注解：如，在縮法中的①，進(jìn)一得：

11n2nn1這樣，果是求和

k

1k

，則可結(jié)果：n1111111()()kkk1knnk1k其中的

1是裂項(xiàng).nn在求和程中，好多相互抵k

(

11111)()()()1k1k239倒序相加法一個多項(xiàng)求的式子一個正序列一個倒列按序相加方法.注解：如，求S3n.其倒序?yàn)椋簄(n1)...1.nn這兩個子按序相加得：(n)(1)...n)n其中，個圓括號內(nèi)值都是()，有n故結(jié)果：n(n)，：n

n1)10極值法（值法：出函數(shù)f(x)在個區(qū)間極值加上邊值找出最值那么函數(shù)的值就是出現(xiàn)等式的法.注解：數(shù)(x在xR區(qū)間的大值是8則有fx)11、分法：分實(shí)際上是和，是化求運(yùn)算的種方法.如果函數(shù)是調(diào)的，數(shù)的每小區(qū)間內(nèi)就出現(xiàn)不號，求和后然存在等號6

注解：分法最要畫出簡明，可以出單調(diào)性和等的量.上面這種求不等式基本方簡單記憶：作差與0大小，商與比高下套用公得結(jié)果，單放縮有大；二次函過零點(diǎn)，判式與換法；倒序相來求和，裂相消去化；極值最亦可得，單積分號法.[題]已知,0N

*

，n2，求證：

a

n

na()2

n證明：用均值定：n

nan(

abnbnanbn)()...(nan()...(22n1n1

)即：

(n

a

nbnb)n()n1na(22

n)

①同理：

n

(n1

abnbnn1)nb()2

②由①②式相加得：(abn)(1b)nab)(

a

nnn)2即：2n(

a

n

abnbnn)2n(