數(shù)值分析算講稿

數(shù)值分析算講稿第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解的理論和方法.對(duì)那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)又十分有效.第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過(guò)程實(shí)際問(wèn)題——〉數(shù)學(xué)模型——〉數(shù)值計(jì)算方法——〉程序設(shè)計(jì)——〉上機(jī)運(yùn)行求出解實(shí)際問(wèn)題——〉數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值計(jì)算方法——〉程序設(shè)計(jì)——〉計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最?。ㄒ簿褪怯?jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過(guò)實(shí)際計(jì)算，對(duì)比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.1數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法例示例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根。解第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.1數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法例示第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見(jiàn)下表:xnynyxnyny01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.73205………第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.2誤差概念和有效數(shù)在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對(duì)的,而誤差則是絕對(duì)的.我們從下面這個(gè)例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.例1.2.1試求擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)周期.

第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六誤差的分類模型誤差從實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測(cè)誤差一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干參數(shù),他們是通過(guò)觀測(cè)得到的,受觀測(cè)方式、儀器精度以及外部觀測(cè)條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來(lái)產(chǎn)生的誤差稱為觀測(cè)誤差。第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六截?cái)嗾`差在求解過(guò)程中，往往以近似替代，化繁為簡(jiǎn)，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。舍入誤差在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)受機(jī)器字長(zhǎng)的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六誤差和有效數(shù)字第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六誤差估計(jì)由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差常常是無(wú)法計(jì)算的，但有可能給出估計(jì)。誤差界就是用于誤差估計(jì)的。第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六誤差估計(jì)第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六mfa1a2

……an第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實(shí)際計(jì)算時(shí)最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時(shí)也就隱含了絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差界。第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六函數(shù)值的誤差估計(jì)引入微分符號(hào)第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)從截?cái)嗾`差觀點(diǎn)看,算法必須是截?cái)嗾`差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時(shí)少.從舍入誤差觀點(diǎn)看,舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.從實(shí)現(xiàn)算法的觀點(diǎn)看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實(shí)現(xiàn).第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則要有數(shù)值穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播.避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時(shí),防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例題第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計(jì)算,已獲得π的具有五位有效數(shù)字的近似值。第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108971750.84327600第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六顯然算法不穩(wěn)定，理論上成立的算法，在計(jì)算機(jī)上機(jī)算時(shí)，由于初值的誤差在計(jì)算過(guò)程中的傳播，而導(dǎo)致結(jié)果的失真，這是我們數(shù)值計(jì)算方法所要研究的。第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定算法第50頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六穩(wěn)定算法第51頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第52頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月2