數(shù)值分析課件賴(lài)志柱

數(shù)值分析課件賴(lài)志柱1第1頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis第二章插值法

2.1引言2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.3均差與牛頓插值多項(xiàng)式2.4Runge現(xiàn)象與插值多項(xiàng)式的收斂性2.5Hermite插值2.6分段插值2.7反插值2第2頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1引言2.1.1插值問(wèn)題的提出2.1.2多項(xiàng)式插值2.1.3插值問(wèn)題的一般提法3第3頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.1插值問(wèn)題的提出插值法是一個(gè)古老而實(shí)用的數(shù)值方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐。我國(guó)隋唐時(shí)期制定歷法時(shí)就應(yīng)用了二次插值，隋朝劉焯（公元6世紀(jì)）將等距二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。17世紀(jì)，牛頓(Newton)和格雷哥里(Gregory)建立了等距節(jié)點(diǎn)上的一般插值公式。18世紀(jì)，拉格朗日給出了更一般的非等距節(jié)點(diǎn)上的插值公式。4第4頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis近半世紀(jì)由于計(jì)算機(jī)的廣泛使用和造船、航空、精密機(jī)械加工等實(shí)際問(wèn)題的需要，使插值法在理論上和實(shí)踐上都得到了進(jìn)一步的發(fā)展，尤其是20世紀(jì)40年代后期發(fā)展起來(lái)的樣條函數(shù)(spline)插值，更獲得了廣泛應(yīng)用，成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)。實(shí)際問(wèn)題中遇到的函數(shù)f(x)是多種多樣的，有的表達(dá)式很復(fù)雜，有的甚至沒(méi)有給出表達(dá)式，只提供了一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。5第5頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis例如，給定了函數(shù)在中互異的個(gè)點(diǎn)的值，或者給出了函數(shù)的一個(gè)表，我們的任務(wù)是根據(jù)這個(gè)表，尋求一個(gè)函數(shù)來(lái)逼近。6第6頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis7第7頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis對(duì)插值問(wèn)題的思考第一步是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類(lèi)；第二步是具體構(gòu)造的表達(dá)式。當(dāng)然還得考慮插值問(wèn)題是否可解，如果有解，解是否唯一；插值函數(shù)逼近于的誤差如何估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)；進(jìn)一步，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無(wú)限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于，即插值收斂問(wèn)題。8第8頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.2多項(xiàng)式插值9第9頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis求插值函數(shù)的方法稱(chēng)為插值法，插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的叫內(nèi)插值，否則稱(chēng)為外插值。10第10頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis若為分段的多項(xiàng)式，就稱(chēng)為分段插值。若為三角多項(xiàng)式，就稱(chēng)為三角插值。若為有理分式(函數(shù))，就稱(chēng)為有理插值。設(shè)或表示次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體。11第11頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis定理2.1

滿(mǎn)足插值條件（2.1）的次代數(shù)插值問(wèn)題的解是存在且唯一的。提示：采用待定系數(shù)法和Vandermonde行列式直接證明。12第12頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.3插值問(wèn)題的一般提法

13第13頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis14第14頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis定理2.2

滿(mǎn)足插值條件（2.4）的次插值多項(xiàng)式存在且唯一。15第15頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis16第16頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis17第17頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis18第18頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.2.1Lagrange插值多項(xiàng)式2.2.2插值余項(xiàng)及估計(jì)2.2.3線性插值和拋物線插值2.2.4截?cái)嗾`差的事后估計(jì)法19第19頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.1Lagrange插值多項(xiàng)式20第20頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis21第21頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis22第22頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis23第23頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis24第24頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis我們稱(chēng)（2.7）式所表示的多項(xiàng)式為次Lagrange插值多項(xiàng)式（或插值多項(xiàng)式的Lagrange形式），有時(shí)也稱(chēng)（2.7）式為次Lagrange插值公式。一般情況下，次Lagrange插值多項(xiàng)式是次數(shù)為的多項(xiàng)式，特殊情況下其次數(shù)也可能小于。25第25頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis26第26頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis27第27頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis28第28頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.2插值余項(xiàng)及估計(jì)29第29頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis30第30頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis31第31頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis32第32頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis33第33頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.3線性插值和拋物線插值34第34頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis35第35頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis36第36頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis37第37頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis38第38頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.4截?cái)嗾`差的事后估計(jì)法39第39頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis40第40頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3均差與牛頓插值多項(xiàng)式2.3.1插值多項(xiàng)式的逐次生成2.3.2均差及其性質(zhì)2.3.3Newton插值多項(xiàng)式2.3.4差分形式的牛頓插值公式41第41頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.1插值多項(xiàng)式的逐次生成拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊，在理論分析中比較方便，在數(shù)值積分和常微分方程數(shù)值方法中經(jīng)常使用，但當(dāng)實(shí)際應(yīng)用中增加或減少插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造插值多項(xiàng)式的基函數(shù)需要重新構(gòu)造。42第42頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis拉格朗日插值零次式為拉格朗日插值一次式為上式可看成是零次式的修正，即43第43頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis考察有三個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的二次插值，它滿(mǎn)足插值條件將表示為顯然它滿(mǎn)足44第44頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis上式中，令，得45第45頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis46第46頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.2均差及其性質(zhì)定義2.2

設(shè)函數(shù)在個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值，稱(chēng)為函數(shù)在上的零階均差(差商)，稱(chēng)為在上的一階均差(差商)，稱(chēng)47第47頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis為在上的二階均差(差商)。一般地，稱(chēng)

(2.16)為在上的階均差(差商)，即函數(shù)的階差商的差商稱(chēng)為階差商。48第48頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis在實(shí)際計(jì)算中，常常采用表2.1所示差商表計(jì)算各階差商。49第49頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis差商是微商的離散形式，且差商有下列幾個(gè)主要性質(zhì)：50第50頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis51第51頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis52第52頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.3Newton插值多項(xiàng)式53第53頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis54第54頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis55第55頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysisNewton插值公式中各項(xiàng)系數(shù)即為的各階差商，且Newton插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足下述遞推關(guān)系式（2.21）56第56頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis例2.6已知處的函數(shù)值為作4次Newton插值多項(xiàng)式。解：首先作差商表如下57第57頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis從而4次Newton插值多項(xiàng)式為58第58頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.4差分形式的牛頓插值公式59第59頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis60第60頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis性質(zhì)1

常數(shù)的向前差分為0。性質(zhì)2

差分算子為線性算子。61第61頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis62第62頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis性質(zhì)6

函數(shù)值與向前差分可以相互線性表出。63第63頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis在牛頓插值公式（2.19）中，利用性質(zhì)7的差分代替均差。當(dāng)接近節(jié)點(diǎn)頭時(shí)，令則此時(shí)（2.23）

64第64頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis（2.24）

65第65頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis而余項(xiàng)為我們稱(chēng)（2.24）式為牛頓（Newton）向前差分插值公式。（2.25）

66第66頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis67第67頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis68第68頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis69第69頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis70第70頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.4Runge現(xiàn)象與插值多項(xiàng)式的收斂性

71第71頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis72第72頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis73第73頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis74第74頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis75第75頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis幾點(diǎn)啟示（1）節(jié)點(diǎn)的加密并不能保證在兩點(diǎn)間插值函數(shù)很好地逼近。在實(shí)際應(yīng)用中，高次插值很少被采用。（2）考慮尋求新的函數(shù)類(lèi)作插值函數(shù)。對(duì)Runge引例來(lái)說(shuō)，是一個(gè)有理分式，可考慮用有理分式作插值函數(shù)，這就是有理分式插值問(wèn)題。76第76頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis（3）既然導(dǎo)數(shù)發(fā)生激烈變化，則可考慮修改插值條件，對(duì)插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行限制，這就是Hermite型插值問(wèn)題。（4）在整個(gè)大區(qū)間上進(jìn)行插值會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，可考慮將大區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間，再在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值，這就是分段插值的思想。77第77頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis（5）能否在整個(gè)區(qū)間上尋找一個(gè)新的函數(shù)，它不是插值函數(shù)，但卻仍然是簡(jiǎn)單函數(shù)，該函數(shù)不要求在節(jié)點(diǎn)處的值等于，但要求它對(duì)于大區(qū)間中每一點(diǎn)的誤差都在允許范圍內(nèi)？這種逼近思想將提出一致逼近的問(wèn)題。至于插值多項(xiàng)式的收斂性，F(xiàn)aber證明了下面的結(jié)論。78第78頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis79第79頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis80第80頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis81第81頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.5Hermite插值在對(duì)進(jìn)行插值時(shí)，有時(shí)不僅要求插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處等于被插函數(shù)在這些點(diǎn)處的值，還要求插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)處的值等于的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)處的值，即帶指定導(dǎo)數(shù)的插值，這便是Hermite插值。82第82頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis83第83頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis84第84頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis85第85頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis86第86頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis87第87頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis88第88頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis89第89頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6分段插值分段低次插值是指將區(qū)間劃分為若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上采用低次插值多項(xiàng)式逼近被插值函數(shù)。常用的分段插值是分段線性插值、分段二次插值和分段三次Hermite插值。2.6.1分段線性插值2.6.2分段三次Hermite插值90第90頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6.1分段線性插值91第91頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis92第92頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis93第93頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis94第94頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis95第95頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis96第96頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6.2分段三次Hermite插值97第97頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis98第98頁(yè)，共111頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值分析NumericalAnalysis由Hermite插值多項(xiàng)式可知，當(dāng)