數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)

數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)引言一、什么是數(shù)字濾波器顧名思義：其作用是對輸入信號起到濾波的作用；即DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時間系統(tǒng)。功能：把輸入序列通過一定的運算變換成輸出序列。不同的運算處理方法決定了濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)字濾波器的工作原理設(shè)：x(n)是系統(tǒng)的輸入，X(ej)是其傅立葉變換；

y(n)是系統(tǒng)的輸出，Y(ej)是其傅立葉變換；則：h(n)x(n)y(n)LTI系統(tǒng)的輸出為：第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六三、數(shù)字濾波器表示方法表示方法：方框圖表示法、流圖表示法三種運算：相加、乘以常數(shù)、延時基本運算單元：加法器、單位延時、乘常數(shù)的乘法器。第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六1、方框圖、流圖表示法方框圖表示法信號流圖表示法相加乘常數(shù)延時z-1z-1aa第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六例：二階數(shù)字濾波器：其方框圖及流圖結(jié)構(gòu)如下：z-1z-1x(n)y(n)b0a1a2說明：可通過流圖或方框圖看出系統(tǒng)的運算步驟和運算結(jié)構(gòu)。以后我們用流圖來分析數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。x(n)y(n)b0a1a2z-1z-1第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六四、數(shù)字濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。1、從功能上分；低通、帶通、高通、帶阻。2、從實現(xiàn)方法上分：FIR、IIR3、從設(shè)計方法上來分：Butterworth（巴特沃斯）、Chebyshev(切比雪夫）、

Ellips（橢圓）等。4、從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六有用無用|X(ej)|c|Y(ej)|c1、經(jīng)典濾波器假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當x(n)經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除。如果信號和噪聲的頻譜相互重疊，那么經(jīng)典濾波器將無能為力，此時可以設(shè)計現(xiàn)代濾波器來解決。

c|H(ej)|第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六2、現(xiàn)代濾波器它主要研究內(nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。一旦信號被估計出，那么估計出的信號將比原信號會有高的信噪比。現(xiàn)代濾波器把信號和噪聲都視為隨機信號，利用它們的統(tǒng)計特征（如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳估值算法，然后用硬件或軟件予以實現(xiàn)。現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測器、自適應(yīng)濾波器。注：本課程主要講經(jīng)典濾波器第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六3、模擬濾波器和數(shù)字濾波器經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：1、低通濾波器（LPAF/LPDF)

(Lowpassanalogfilter/Lowpassdigitalfilter)2、高通濾波器（HPAF/HPDF)

(Highpassanalogfilter/Highpassdigitalfilter)3、帶通濾波器（BPAF/BPDF)

(Bandpassanalogfilter/Bandpassdigitalfilter)4、帶阻濾波器（BSAF/BSDF)

(Bandstopanalogfilter/Bandstop

digitalfilter)第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六4、模擬濾波器的理想幅頻特性LPAFHPAFBPAFBSAF第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六5、數(shù)字濾波器的理想幅頻特性………………LPAF………………HPAF………………BPAF………………BPAF第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六五、研究數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)意義

濾波器的基本特性（如有限長沖激響應(yīng)FIR與無限長沖激響應(yīng)IIR）決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點。不同結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運算速度。有限精度（有限字長）實現(xiàn)情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實現(xiàn)，便于時分復(fù)用。第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)IIRDF的基本結(jié)構(gòu)一、IIRDF特點1、單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的：n→∞2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限長z平面（0<|z|<∞)有極點存在。3、結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反饋，也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。4、因果穩(wěn)定的IIR濾波器其全部極點一定在單位圓內(nèi)。第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六二、IIRDF基本結(jié)構(gòu)IIRDF類型有：直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型。直接型結(jié)構(gòu)：直接I型、直接II型（正準型、典范型）第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六1、IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程一個N階IIRDF有理的系統(tǒng)函數(shù)可能表示為：則這一系統(tǒng)差分方程為：注：以下我們討論M<=N情況。第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六x(n)b0b1b2z-1z-1y(n)a1a2z-1z-1bMz-1aN-1aNz-1z-12、直接I型直接I型流圖IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計算公式，用流圖表現(xiàn)出來的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu)(即由差分方程直接實現(xiàn))。第一部分是一個對輸入x(n)的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)。即每個延時抽頭后加權(quán)相加，即是一個橫向網(wǎng)絡(luò)第二部分是一個N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。不過它是對y(n)延時，因而是個反饋網(wǎng)絡(luò)第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六直接I型DF結(jié)構(gòu)的特點1、兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)：第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點。2、共需(N+M)級延時單元。3、系數(shù)ai、bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。4、極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系統(tǒng)變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。注：直接型結(jié)構(gòu)多用于低階（2~3階）濾波器。第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六3、直接II型（正準型/典范型）直接II型原理一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：（1）交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序。（2）合并兩個具有相同輸入的延時支路。第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六x(n)b0b1b2z-1z-1y(n)a1a2z-1z-1bMz-1aN-1aNz-1z-1第一部分第二部分對調(diào)x(n)y(n)a1a2z-1z-1aN-1aNz-1z-1b0b1b2z-1z-1bMz-1對調(diào)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖：過程1--對調(diào)第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六直接II型的結(jié)構(gòu)流圖：過程2—合并x(n)y(n)a1a2z-1z-1aN-1aNz-1z-1b0b1b2z-1z-1bMz-1x(n)a1a2z-1z-1aN-1aNz-1z-1b0b1b2bMy(n)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六(3)同直接I型一樣，具有直接型實現(xiàn)的一般缺點。直接II型特點(1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點；第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點。(2)實現(xiàn)N階濾波器只需N級(N>=M)延時單元，所需延時單元最少。故稱典范型。第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六例：已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。必須將H(z)代為z-1的有理式第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反饋部分系數(shù)符號直接I型直接II型第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點來表示,即系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母進行因式分解：4、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)因式分解第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)分析若將每一對共軛因子合并起來構(gòu)成一個實系數(shù)的二階因子，則：第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六基本二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六濾波器的基本二階節(jié)濾波器可以用若干個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成。這每一個二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的基本二階節(jié)（即濾波器的二階節(jié)）。一個基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為：一般用直接II型（正準型、典范型表示）x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng)整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯(lián)：x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六例：設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為，畫出其級聯(lián)結(jié)構(gòu)圖：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六級聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點說明：DF級聯(lián)結(jié)構(gòu)的每一個基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對極點和一對零點。調(diào)整β1i、β2i只單獨調(diào)整濾波器第i對零點，而不影響其它零點。同樣，調(diào)整a1i、a2i只單獨調(diào)整濾波器第i對極點，而不影響其它極點。1、每個二階節(jié)系數(shù)單獨控制一對零點或一對極點，

有利于控制頻率響應(yīng)，濾波器調(diào)整方便。2、極點和零點的配對方式及二階節(jié)的級聯(lián)順序有許多種排列組合，具有很大的靈活性。特點：3、有限字長效應(yīng)的影響小。第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六5、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式：第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六基本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式：分子比分母小一階:x(n)z-1z-1y(n)第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六并聯(lián)型特點1、可以單獨調(diào)整極點位置，但不能象級聯(lián)那樣直接控制零點(因為只為各二階節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點，并非整個系統(tǒng)函數(shù)的零點)。2、誤差最小。因為并聯(lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響，所以比級聯(lián)誤差還少。若某一支路a1誤差為1％，但總系統(tǒng)的誤差仍可達到少1％。(因為分成a1,a2…...支路).第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六例：第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)FIRDF的基本結(jié)構(gòu)一、FIRDF的特點1、系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個n值處不為零。即h(n)是個有限長序列。2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處(即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng))3、結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入反饋。但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六二、FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程長度為N的單位沖激響應(yīng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)為：它實際是系統(tǒng)函數(shù)H(z)中ai=0的無反饋情況：差分方程為：第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六三、FIR濾波器實現(xiàn)基本結(jié)構(gòu)1、FIR的橫截型結(jié)構(gòu)（直接型）2、FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)3、FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)4、FIR的快速卷積型結(jié)構(gòu)5、FIR的線性型結(jié)構(gòu)第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六1、FIR直接型結(jié)構(gòu)（卷積型、橫截型）流圖特點：（1）簡單直觀，運算速度快；（2）系數(shù)即為脈沖響應(yīng)h(n)的序列值；（3）不能直接控制零點。第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六2、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實系數(shù)因子的形成：上式可由多個二階節(jié)級聯(lián)實現(xiàn)：x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/2第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點1、由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多，因而所需乘法運算也比直接型多。2、由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點，因而常在需要控制傳輸零點時用。第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六3、頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入回憶：頻率采樣定理M點單位圓上取N點（頻域采樣）序列傅立葉變換=？離散傅立葉反變換N點N≥M第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六由N個諧振器組成的諧振柜梳狀濾波器用H(k)表示H(z)的方法，利用內(nèi)插公式：頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu)它是由兩部分級聯(lián)而成：第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六梳狀濾波器可見，極點集中在z=0處(N階)，零點在單位圓上均勻分布(N個)。第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六諧振柜諧振柜：是由N個諧振器并聯(lián)而成的。H1(z)中的每一個零點與H2(z)中的某一個Hk(z)的極點相抵消。第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六特點1、可直接根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的采樣值構(gòu)造濾波器。2、適用于窄帶濾波器(僅有少數(shù)H(k)不為0)。3、由于系數(shù)的有限字長，易使系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。4、諧振器柜中的每個一階網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)均為復(fù)數(shù)。第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六兩個主要缺點1、所有的相乘系數(shù)及H(k)都是復(fù)數(shù)，應(yīng)將它們先化成二階的實數(shù)，這樣乘起來較復(fù)雜，增加乘法次數(shù)，存儲量。2、所有諧振器的極點都是在單位園上,由WN-k決定考慮到系數(shù)量化的影響，當系數(shù)量化時，極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消，而這可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六修正為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點，將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點修正。即將所有零極點都移到單位圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為r(r≤1)的圓上，同時梳狀濾波器的零點也移到r圓上。（即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑r的圓上）1）原理第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六2）修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)則諧振器的各個根H(z)在極點為：第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六頻率抽樣結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍如果多數(shù)頻率特性的采樣值H(k)為零，例如窄帶低通情況下，諧振器中剩下少數(shù)幾個所需要的諧振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存儲器還是比直接型多用一些。2)可以共同使用多個并列的濾波器。例：信號頻譜分析中，要求同時將信號的各種頻率分量分別濾出來，這時可采用頻率采樣結(jié)構(gòu)的濾波器，大家共用一個梳狀濾波器及諧振柜，只是將各諧振器的輸出適當加權(quán)組合就能組成各所需的濾波器。這樣結(jié)構(gòu)具有很大的經(jīng)濟性。3)常用于窄帶濾波，不適于寬帶濾波。第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六4、快速卷積結(jié)構(gòu)原理1）設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h(n)的非零值長度為M，輸入x(n)的非零值長度為N。則輸出y(n)=x(n)*h(n),且長度L=N+M-1。2）若將x(n)補零加長至L，補L-N個零點，將h(n)補零加長至L，補L-M個零點。這樣進行L點圓周卷積，可代替線性卷積。L第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六結(jié)構(gòu)框圖補L-N1個零x(n)L點DFT補L-N2個零h(n)L點DFTL點IDFTy(n)=x(n)*h(n)L=N1+N2-1X(k)H(k)Y(k)第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)格型濾波器在數(shù)字信號處理中，格型(Lattice)網(wǎng)絡(luò)起著重要的作用。事實證明：（1）由于它的模塊化結(jié)構(gòu)便于實現(xiàn)高速并行處理；（2）一個m階格型濾波器可以產(chǎn)生從1階到m階的m個橫向濾波器的輸出性能；（3）它對有限字長的舍入誤差不靈敏。由于這些優(yōu)點，使得它在現(xiàn)代譜估計、語音處理、自適應(yīng)濾波、線性預(yù)測和逆濾波等方面已得到廣泛應(yīng)用。第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六全零點(FIR)格型濾波器全極點（IIR）格型濾波器零、極點（IIR）的格型濾波器本節(jié)討論：第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六1、全零點系統(tǒng)（FIR

系統(tǒng)）的格型結(jié)構(gòu)一個M階的FIR

濾波器的橫向結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)表示M階FIR系統(tǒng)的第i個系數(shù)第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六2M次乘法，M次延遲橫向結(jié)構(gòu)：M個參數(shù)bi(M)，或h(i)，i=1,2,…M格型結(jié)構(gòu)：M個參數(shù)ki，稱反射系數(shù)。M次乘法，M次延遲第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六定義：、分別是輸入端到第m個基本傳輸單元上、下端所對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)：第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六1)z變換，得對基本單元反過來第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六 (3)代入(1)得(4)(4)代入(3)得：第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六由(1)、(2)第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六代入(1)、(4)得：第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六代入(5)代入(6)2)i=1,2,…m；m=1,2,…,M第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期六3)已知，求：(1)(3)重復(fù)(2)求出全部(2)由，，，求的系數(shù)，，或由式