數(shù)學(xué)物理方程及其定解問題

數(shù)學(xué)物理方程及其定解問題1第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六3.數(shù)學(xué)物理方程的分類若

,如果方程可以表為:1.基本概念a.二階偏微分方程:,即方程中偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是2次的,則稱為二階偏微分方程b.二階線性偏微分方程:若其中的系數(shù)只是自變量的函數(shù)，即只是的函數(shù)，則稱為是線性的方程2第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六c.齊次二階線性偏微分方程:若則稱方程是齊次的2.疊加原理當(dāng)泛定方程和定解條件都是線性的，可以把定解問題的解看作幾個部分的解的線性疊加.3第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六7.4達朗貝爾公式定解問題無限長的自由振動端點的反射

半無限長弦的自由振動半無限長桿的自由振動3.定解問題的整體性(除上述兩種類型外的數(shù)學(xué)物理方程)4.定解問題的適定性滿足達朗貝爾公式延拓,利用達朗貝爾公式4第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六一.無界弦的自由振動

1.無界弦的自由振動

(1)無界弦的含義：無界弦不是指無限長的弦，是指所關(guān)心的那一段弦遠離兩端，在所討論的時間內(nèi)，弦兩端的影響來不及傳到這段弦上，因而認為弦的兩端在無限遠，就不必給弦的兩端提出邊界條件。

定解問題初值問題

(2)自由振動：弦不受強迫力的作用，振動是自由的

方程是齊次的5第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六定解問題：

2.求無界弦的自由振動方程

⑴求偏微分方程的通解

分析范定方程的形式,為表示的簡化對稱做變量代換:得方程的通解通解的物理意義:正行波,

反行波

6第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六利用定解條件來確定函數(shù)⑵由初始條件得解得——達朗貝爾公式7第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例一.求解初值問題8第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六討論：達朗貝爾解的物理意義

I.只有初始位移時:代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負向傳播的波II.只有初始速度時：令,則結(jié)論：達朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波的疊加。9第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí):初位移10第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六二.端點的反射

1.半無界弦的自由振動半無界的弦只有一個端點,設(shè)端點在坐標原點定解問題:分析:端點固定。不能直接應(yīng)用達朗貝爾公式，擴大定義，考慮端點固定，作奇延拓11第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六由達朗貝爾公式得到解，其中x≥0的部分即所討論問題的解。12第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六在初速為0的情況下，如右圖所示右半邊實線:左右兩方向移動的波左半邊細線:其奇延拓端點的影響表現(xiàn)為反射波反射波的相位跟入射波相反,形成半波損失13第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六

2.半無限長桿的自由振動

桿的端點自由定解問題:分析:端點自由。不能直接應(yīng)用達朗貝爾公式，擴大定義，考慮端點自由，作偶延拓14第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六由達朗貝爾公式得到解，其中x≥0的部分即所討論問題的解。15第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六三.一般情況下的數(shù)學(xué)物理方程一般情況下，無法像對無限長弦那樣，先求通解，然后用定解條件求特解。定解問題的整體性物理問題數(shù)學(xué)問題定解問題是一個整體四.定解問題的適定性如定解問題滿足(1)有解(2)解是唯一的(3)解是穩(wěn)定的