時間序列分解法和趨勢外推法

時間序列分解法和趨勢外推法第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.1時間序列分解法一、時間序列的分解

經濟時間序列的變化受到長期趨勢、季節(jié)變動、周期變動和不規(guī)則變動這四個因素的影響。其中：（1）長期趨勢因素（T）反映了經濟現象在一個較長時間內的發(fā)展方向，它可以在一個相當長的時間內表現為一種近似直線的持續(xù)向上或持續(xù)向下或平穩(wěn)的趨勢?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（2）季節(jié)變動因素（S）是經濟現象受季節(jié)變動影響所形成的一種長度和幅度固定的周期波動。（3）周期變動因素（C）周期變動因素也稱循環(huán)變動因素，它是受各種經濟因素影響形成的上下起伏不定的波動。（4）不規(guī)則變動因素（I）不規(guī)則變動又稱隨機變動，它是受各種偶然因素影響所形成的不規(guī)則變動?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、時間序列分解模型

時間序列y可以表示為以上四個因素的函數，即：

時間序列分解的方法有很多，較常用的模型有加法模型和乘法模型?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六加法模型為：

乘法模型為：回總目錄回本章目錄第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六三、時間序列的分解方法（1）運用移動平均法剔除長期趨勢和周期變化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季節(jié)指數S。（2）做散點圖，選擇適合的曲線模型擬合序列的長期趨勢，得到長期趨勢T?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

（3）計算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期變動因素C。（4）將時間序列的T、S、C分解出來后，剩余的即為不規(guī)則變動，即：y回總目錄回本章目錄第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.2趨勢外推法概述一、趨勢外推法概念和假定條件趨勢外推法概念：當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節(jié)波動，且能找到一個合適的函數曲線反映這種變化趨勢時，就可以用趨勢外推法進行預測。

回總目錄回本章目錄第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六趨勢外推法的兩個假定：（1）假設事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化；（2）假定事物的發(fā)展因素也決定事物未來的發(fā)展，其條件是不變或變化不大。

回總目錄回本章目錄第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、趨勢模型的種類多項式曲線外推模型：一次（線性）預測模型：二次（二次拋物線）預測模型：三次（三次拋物線）預測模型：一般形式：回總目錄回本章目錄第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六指數曲線預測模型：一般形式：

修正的指數曲線預測模型：回總目錄回本章目錄第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六對數曲線預測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預測模型：龔珀茲曲線預測模型：

回總目錄回本章目錄第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六

三、趨勢模型的選擇

圖形識別法：

這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數據繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六差分法：利用差分法把數據修勻，使非平穩(wěn)序列達到平穩(wěn)序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

回總目錄回本章目錄第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二次（拋物線）模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=b0+b1t+b2t2一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六差分法識別標準：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數曲線模型回總目錄回本章目錄第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.3多項式曲線趨勢外推法一、二次多項式曲線模型及其應用二次多項式曲線預測模型為：回總目錄回本章目錄第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六設有一組統(tǒng)計數據，，…，，令即：解這個三元一次方程就可求得參數?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例題

?例1

下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7回總目錄回本章目錄第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（1）對數據畫折線圖分析，以社會商品零售總額為

y軸，年份為x軸。回總目錄回本章目錄第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進行參數擬合。

適用的二次曲線模型為：

適用的指數曲線模型為：回總目錄回本章目錄第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（3）進行二次曲線擬合。首先產生序列，然后運用普通最小二乘法對模型各參數進行估計。得到估計模型為：其中調整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為151.7。

回總目錄回本章目錄第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(4)進行指數曲線模型擬合。對模型：兩邊取對數：

產生序列，之后進行普通最小二乘估計該模型。最終得到估計模型為：回總目錄回本章目錄第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六其中調整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現采用

二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運用方程：

進行預測將會取得較好的效果?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、三次多項式曲線預測模型及其應用

1.三次多項式曲線預測模型為：注：選擇三次多項式曲線模型進行預測，時間序列各數值的三階差分必須相等或大致相等?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.參數求解設有一組統(tǒng)計數據，，…，，令即：解這個四元一次方程就可求得參數?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.應用實例例某市2001～2007年棉布產量時間序列如表所示，試預測2009年的棉布產量。年份2001200220032004200520062007棉布產量（億米）252340374379375385430第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(1)模型選擇年份2001200220032004200520062007棉布產量（億米）252340374379375385430一階差分—88345-41045二階差分——-54-29-91435三階差分———25202321棉產量歷史數據的三階差分基本近似一個常數，其波動范圍在20-25之間，因此可以配以三次多項式曲線模型進行預測。第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（2）參數計算年份時序(t)yit^2t^3t^4t^6tyt^2yt^3yyi預測(yi-yi預測)^22001-32529-2781729-7562268-6804252.170.02892002-23404-81664-6801360-2720339.530.22092003-13741-111-374374-374374.450.2025200403790000000378.950.0025200513751111375375375375.050.00252006238548166477015403080384.770.052920073430927817291290387011610430.130.0169合計02535280196158862597875167-0.5271第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.參數計算預測2009年棉產量，須令t=5,得在90%概率保證度下，預測的置信區(qū)間為～4.模型及預測第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.4指數曲線趨勢外推法一、指數曲線模型及其應用

指數曲線預測模型為：如果時間序列各期數值的一階差比率大致相等，就可以配以指數曲線模型進行預測?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六對函數模型做線性變換得：令，則這樣，就把指數曲線模型轉化為直線模型了。

回總目錄回本章目錄第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例題年份199920002001200220032004200520062007總需求量165270450740122020103120546090001.選擇模型（1）散點圖第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六（2）一階差比率年份199920002001200220032004200520062007總需求量16527045074012202010312054609000一階差比率-1.641.671.641.651.651.551.751.652求解模型參數年份199920002001200220032004200520062007總需求量16527045074012202010312054609000時序123456789Yt=lnyt5.115.606.116.617.117.618.058.619.10第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六年份時序tYtt^2Y^2tY199915.11126.075.11200025.60431.3411.20200136.11937.3218.33200246.611643.6526.43200357.112550.5035.53200467.613657.8545.64200578.054964.7356.32200688.616474.0568.84200799.108182.9081.94合計4563.89285468.42349.33第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.模型及預測預測2008年需求量，令t=10(萬件)第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、修正指數曲線模型及其應用修正指數曲線預測模型為：

序列數值的一階差的一階比率大致相等，可以選用修正指數曲線模型進行預測。回總目錄回本章目錄ab>00<c<1b<00<c<1yxO第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六參數求解修正指數曲線模型中的a,b,c三個參數求解，可用分組分解法，即把整個時間序列分成相等項數的三組，以三個組的變量總數聯系起來求得。注：n為每組數值的項數第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例題年份199920002001200220032004200520062007銷售量50606869.671.171.772.372.873.21.模型選擇第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六某商品銷售量的一階差的一階比率年份199920002001200220032004200520062007銷售量50606869.671.171.772.372.873.2一階差分-1081.61.50.60.60.50.4一階差的一階比率--0.800.200.940.401.000.830.80第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.參數的計算年份時序(t)銷售量(yi)199905020001602001268∑Iy-1782002369.62003471.12004571.7∑IIy-212.42005672.32006772.82007873.2∑IIIy-218.3所求模型：3.進行預測第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.5生長曲線趨勢外推法指數曲線預測不能預測接近極限值時的特性值，因為當趨近極限值時，特性值已不按指數規(guī)律增長。如果考慮極限值的影響，就會發(fā)現事物經歷發(fā)生、發(fā)展到成熟的過程，因為這條曲線形狀近似于S，所以又稱S曲線。

龔珀茲曲線和皮爾曲線均屬于生長曲線回歸預測法。

回總目錄回本章目錄第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一、龔珀茲曲線模型及其應用

1.龔珀茲曲線預測模型為：

對函數模型做線性變換得：

2.在選擇應用龔珀茲曲線時，應考察歷史數據對數一階差的一階比率是否大致相等。龔珀茲曲線是預測各種商品市場容量的最佳擬合線。回總目錄回本章目錄第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(1)lga<00<b<1(2)lga<0b>1(3)lga>00<b<1(4)lga>0b>1kkkk回總目錄回本章目錄3.龔珀茲曲線對應于不同的lga與b的不同取值范圍而具有間斷點。曲線形式如下圖所示。第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(1)lga<00<b<1k漸進線（k）意味著市場對某類產品的需求

已逐漸接近飽和狀態(tài)。回總目錄回本章目錄第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(2)lga<0b>1k漸進線（k）意味著市場對某類產品的需求已由飽和狀態(tài)開始下降?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(3)lga>00<b<1k漸進線（k）意味著市場對某類產品的需求下降迅速，已接近最低水平k?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六(4)lga>0b>1k漸進線（k）意味著市場對某類產品的需求從最低水平k迅速上升?；乜偰夸浕乇菊履夸浀?6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六4.參數計算求解模型參數k,a,b

需將時序數據分為相等的三組，對時序值求常用對數，并將各組時序數據按所得對數值求和，并置t1=0,然后運用下列式子求解參數然后再查反對數表。第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例如年份時序(t)銷售量(yi)lgy199904.940.6937200016.210.7931200127.180.8561∑Ilgy--2.3429200237.740.8887200348.380.9232200458.450.9269∑IIlgy--2.7388200568.750.9420200679.420.97412007810.241.0103∑IIIlgy--2.9264模型及預測查反對數表市場飽和點的需求量是k=10.73萬元，由數據可知產品處于生命周期的成熟階段最高峰，銷售量已無增長前景，并可能在某一時刻轉入下降趨勢。第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、皮爾曲線模型及其應用皮爾曲線預測模型為：

皮爾曲線多用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計，也適用于對產品生命周期做出分析，尤其適用于對處在成熟期的商品的市場需求飽和量（或稱市場最大潛力）進行分析和預測。回總目錄回本章目錄第59頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六參數求解第60頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六時序(t)銷售量(yt)1/yt1/yt+1(1/yt)(1/yt+1)(1/yt)^2150.870.0200.0190.0003780.0003864252.030.0190.0190.0003600.0003694353.330.0190.0190.0003510.0003516453.350.0190.0180.00