一元二次方程有關(guān)的競賽題求解的若干方法

一元二次方程有關(guān)的競賽題求解的若干方法一元二次方程是初中教材的重點內(nèi)容，也是競賽題的特點，在掌握常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，注意一些特殊的、靈活的解法，往往能收到事半功倍的效果。

一、換元

例1方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是()

A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”競賽題)解：原方程為(x-1)2-5|x-1|+6=0

即|x-1|2-5|x-1|+6=0

令|x-1|=A，則方程變?yōu)?/p>

A2-5A+6=0

∴A1=2，A2=3

由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；

由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。

x1+x2+x3+x4=4

故選D。

二、降次

例2已知α、β是方程x2-x-1=0的兩個實數(shù)根，不解方程，求a4+3β的值。(96年江蘇省競賽題)解：∵α是方程x2-x-1=0的根，

∴α2-α-1=0，α2=α+1(二次轉(zhuǎn)化為1次)

α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次轉(zhuǎn)化為一次)

∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5

三、整體代入

例3設(shè)二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，記S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，…，Sn=x+1993x，則aS1993+bS1992+cS1991=。(93年希望杯競賽試題)

解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，

∴ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。

aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)=x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。

四、配偶

例4已知α、β是方程x2-7x+8=0的兩根且α＞β，不解方程，利用韋達(dá)定理求+3β2的值。(第八屆“祖沖之”杯競賽試題)解：由韋達(dá)定理，得

α+β=7，αβ=8

∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33，

(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17

∵α＞β，∴α-β=

設(shè)A=+3β2，

B=+3α2(A的配偶)

則A+B=+3(α2+β2)=+3×33=

A-B=-+3β2-3α2

=-3(α+β)(α-β)

=

∴2A=

A=

五、反客為主

例5求所有正實數(shù)a，使得方程x2-ax+4a=0僅有整數(shù)根。(98年香港初中數(shù)學(xué)競賽試題)解：設(shè)方程兩整數(shù)根為α、β，則α+β=a。

由此可知a必為整數(shù)

將方程x2-ax+4a=0中的x視為常數(shù)，a視為未知數(shù)，方程可變?yōu)?/p>

(x-4)a=x2

∴a==x+4+

∵a為正整數(shù)

∴x=5,6,8,12,20。

此時對應(yīng)的a值為a=25,18,16,18,25。

∴所有正實數(shù)a的值為25，18，16。

六、構(gòu)造新方程

例6已知兩數(shù)a、b，ab≠1，且

2a2+1234567890a+3=0(1)

3b2+1234567890b+2=0(2)

則=。(91年“希望杯”競賽試題)(97年山東省數(shù)學(xué)競賽試題)證明：若三個方程都有兩個相等的實數(shù)根，

則

三式相加，得

4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0，

a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

∴a=b=c

這與已知a、b、c為互不相等的實數(shù)相矛盾。

故題中三個方程不可能都有兩個相等的實數(shù)根。

八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解

例8求滿足如下條件的所有k值：使關(guān)于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整數(shù)。(98年江蘇省競賽試題)解：當(dāng)k=0時，原方程化為x-1=0，x=1，符合題意。

當(dāng)k≠0時，設(shè)原方程的兩個整數(shù)根為α、β，不妨設(shè)α≥β。由韋達(dá)定理，得

α+β=-=-1-，(1)

αβ==1-。(2)

(2)-(1)，得αβ-α-β=2

∴αβ-α-β+1=3，(α-1)(β-1)=3

∵α、β是整數(shù)，∴α-1、β-1也是整數(shù)，又α≥β，

∴

∴

于是α+β=6或α+β=-2

分別代入(1)，得k=-或k=1

∴當(dāng)k=0，-，1時，原方程的根都是整數(shù)。

九、整體變形

例9設(shè)a、b、c、d＞0，證明在方程

x2+

x2+

x2+

x2+

中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根。(92年“希望杯”競賽試題)證明：設(shè)這四個方程的判別式分別為△1、△2、△3、△4，則

△1=2a+b-2(1)

△2=2b+c-2(2)

△3=2c+d-2(3)

△4=2d+a-2(4)

∴△1+△3=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b＞0(5)

△2+△4=(b+c-2)+(d+a-2)+b+d=()2+()2+b+d＞0(6)

若△1≤0，△3≤0，則△1+△3≤0，與(5)矛盾。故△1、△3中至少有一個大于0。

同理，△2、△4中也至少有一個大于0。

∴所給的四個方程中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根

十、分類討論

例10已知三個關(guān)于x的方程：

x2-x+m=0(1)

(m-1)x2+2x+1=0(2)

(m-2)x2+2x-1=0(3)

其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)m的取值范圍是()

A、m≤2B、m≤或1≤m≤2

C、m≥1D、≤m≤1(98年山東省競賽試題)解：(1)有實根的條件是1-4m≥0，m≤，無實根的條件是m＞。

(2)有實根的條件是m-1=0或，即m=1或m≤2且m≠1，無實根的條件是m＞2。

(3)有實根的條件是m-2=0或，即m=2或m≥1且m≠2，無實根的條件是m＜1。

①若(1)(2)有實根，(3)無實根，則

，解得m≤。

②若(1)(3)有實根，(2)無實根，則

，不等式組無解。

③若(2)(3)有實根，(1)無實根，則

，解得1≤m≤2。

④若(1)(2)(3)均有實根，則

，不等式組無解。

∴當(dāng)m≤或1≤m≤2時，至少有兩個方程有實根。

故應(yīng)選B。

十一、數(shù)形結(jié)合

一元二次方程問題常與對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象聯(lián)系起來考慮，由圖象“形”的特征轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來解決。

例11是否存在這樣的實數(shù)k，使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間？若有，試確定k的取值范圍；若沒有，簡述理由。(2000年數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)解：設(shè)f(x)=x2+(2k-1)x-(3k+2)，則其圖象為開口向上的拋物線。根據(jù)題意若方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間，則拋物線與x軸應(yīng)有兩個交點或一個交點，且交點都在2與4之間(如圖)。符合條件的k值應(yīng)滿足下列條件：

(1)即4(k+1)2+5≥0，k可取任何實數(shù)。

(2)的解是k＞0。

(3)的解是k＞-2。

(4)的解是-＜k＜-。

∴這個不等式組無解。

故符合條件的k值不存在。設(shè)x2-px+q=0的兩根為a，b，1、求以a3,b3為二根的一元二次方程2、若a3,b3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有這樣的一元二次方程解：（如果是初中競賽題）首先必須要說明兩個都是實數(shù)根這個要交代下(1)x^2-px+q=0a+b=pa*b=q令a^3=A,b^3=BA+B=a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]=p*(p^2-3q)A*B=a^3*b^3=(ab)^3=q^3則以a3,b3為二根的一元二次方程：Y^2-[p*(p^2-3q)]Y+q^3=0化簡Y^2-[p^3-3pq]Y+q^3=0(2)由a3,b3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0則p^3-3pq=pp^3-（3q+1)p=0p[p^2-(3q+1)]=0q^3=q即當(dāng)q=0時p=0或1或-1當(dāng)q=1時p=0或2或-2當(dāng)q=-1時p=0則所有條件的方程：當(dāng)q=0時（1）x^2=0(2)x^2+1=0（3）x^2-1=0當(dāng)q=1時（4）x^2+1=0（5）x^2+2x+1=0(6)x^2-2x+1=0當(dāng)q=-