關(guān)于高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點-2023修改整理

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學(xué)問點

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高中數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計

求等可能性大事、互斥大事和互相自立大事的概率解此類題目常應(yīng)用以下學(xué)問:

(1)等可能性大事(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm

;

等可能大事概率的計算步驟：計算一次實驗的基本領(lǐng)件總數(shù)n;

設(shè)所求大事A，并計算大事A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)m;依公式

()m

PAn=

求值;

答，即給問題一個明確的答復(fù).

(2)互斥大事有一個發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對立大事的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.(3)互相自立大事同時發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：自立重復(fù)實驗的概率：Pn(k)＝

k

nkknppC--)1(.其中P為大事A在一次實驗中發(fā)生

的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n綻開的第k+1項.(4)解決概率問題要注重“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：

第一步，確定大事性質(zhì)??

??

???等可能大事互斥大事自立大事n次自立重復(fù)實驗

即所給的問題歸結(jié)為四類大事中的某一種.其次步，推斷大事的運算

??

?和大事積大事

即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分離運用相加或相乘大事.

第三步，運用公式()()()()()()()()(1)

kknknnmPAn

PABPAPBPABPAPBPkCpp-?

=???+=+?

??=??=-??等可能大事:互斥大事：自立大事：n次自立重復(fù)實驗:求解

第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).

例1．在五個數(shù)字12345，，

，，中，。例2．若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是

（結(jié)果用數(shù)值表示）．

[解答過程]提醒:13

35C33.

54C10

2P===?

例2．一個總體含有100個個體，以容易隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的

樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為．

[解答過程]1

.

20提醒:

51.10020P==例3.接種某疫苗后，浮現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人浮現(xiàn)發(fā)

熱反應(yīng)的概率為__________.（精確到）

[考查目的]本題主要考查運用組合、概率的基本學(xué)問和分類計數(shù)原理解決問題的能力，以及推理和運算能力.

[解答提醒]至少有3人浮現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為

33244555550.800.200.800.200.800.94

CCC??+??+?=.

故填.

離散型隨機變量的分布列1.隨機變量及相關(guān)概念

①隨機實驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母ξ、η等表示.

②隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做延續(xù)型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列

①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)

普通地，設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為1x，2x，……，i

x，……，ξ取每一個值

i

x（=i1，2，……）的概率P（ix=ξ）=iP，則稱下表.機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.為隨

由概

率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的

分布列都具有下述兩共性質(zhì)：

（1）0≥iP，=i1，2，…;（2）++21PP…=1.②常見的離散型隨機變量的分布列：（1）二項分布

n次自立重復(fù)實驗中，大事A發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量，其全部可能的取值為0，

1，2，…n，并且k

nkk

nkqpCkPP-===)(ξ，其中nk≤≤0，pq-=1，隨機變量ξ的分布列如下：

稱這樣隨機變量ξ聽從二項分布，記作),(~pnBξ

，其中n、p為參數(shù)，并記：

)

,;(pnkbqpCknkkn=-

.

（2）幾何分布

在自立重復(fù)實驗中，某大事第一次發(fā)生時所作的實驗的次數(shù)ξ是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“kξ=”表示在第k次自立重復(fù)實驗時大事第一次發(fā)生.隨機變量ξ的概率分布為：

例1．

廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以打算是否接收這批產(chǎn)品.

（Ⅰ）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為,從中隨意取出4件舉行檢驗,求至少有1件是合格的概率；

（Ⅱ）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都舉行檢驗,惟獨2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ的分布列及期望ξE,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

[解答過程]（Ⅰ）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為大事A用對立大事A來算，有

()()

4110.20.9984

PAPA=-=-=

（Ⅱ）ξ可能的取值為0,1,2．

()217220226

0190CPCξ===

，()1131722051

1190CCPCξ===

，

136513301219019019010Eξ=?

+?+

?=．

記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為大事B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

()13627

1119095PPB=-=-

=

．

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為27

95．

例12．

某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分離為5

4

、53

、5

2,且各

輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率;

（Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）

[解答過程]解法一：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的大事為(123)

iAi=，，，

則

14()5PA=

，23()5PA=，32

()5PA=，

∴該選手被淘汰的概率

142433101

555555125=+?+??=

．

（Ⅱ）ξ的可能值為123，

，，11

(1)()5PPAξ===

，

1212428

(2)()()()5525PPAAPAPAξ====?=

，12124312

(3)()()()5525PPAAPAPAξ====?=

．

ξ∴的分布列為

181235252525Eξ∴=?+?+?=

．

解法二：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的大事為(123)

iAi=，，，則

14

()5PA=

，

23()5PA=

，32

()5PA=．

∴該選手被淘汰的概率1231231()1()()()

PPAAAPAPAPA=-=-432101

1555125=-??=

．（Ⅱ）同解法一．

（3）離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差

(1)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：++=2211pxpxEξ…；期望反映隨機變量取值的平

均水平.

⑵離散型隨機變量的方差：+-+-=222121)()(pExpExDξξξ

…+-+nnpEx2

)(ξ…；

方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.

⑶基本性質(zhì)：baEbaE+=+ξξ)(；

ξξDabaD2

)(=+.

(4)若ξ～B(n，p)，則npE=ξ;Dξ=npq（這里

q=1-p）;

假如隨機變量ξ聽從幾何分布，),()(pkgkP==ξ，則p

E1=

ξ，Dξ=2

pq其中q=1-p.

例1．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人天天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分離

思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動狀況，即方差值的大小.

解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分離為：

7.0103

210111060=?+?+?

=εE，

891.0103

)7.02(101)7.01(106)7.00(222=?-+?-+?

-=εD；

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分離為：

7

.0102

210311050=?+?+?

=ηE，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=?-+?-+?-=ηD

由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當，但Dε>Dη，可見乙的技術(shù)

比較穩(wěn)定.

小結(jié)：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.例2.

某商場經(jīng)銷某商品，按照以往資料統(tǒng)計，顧客采納的付款期數(shù)ξ的分布列為

250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．（Ⅰ）求大事A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采納1期付款”的概率

()PA；

（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

[解答過程]（Ⅰ）由A表示大事“購買該商品的3位顧客中至少有1位采納1期付款”．

知A表示大事“購買該商品的3位顧客中無人采納1期付款”

2()(10.4)0.216PA=-=，()1()10.2160.784PAPA=-=-=．

（Ⅱ）η的可能取值為200元，250元，300元．

(200)(1)0.4PPηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4PPPηξξ===+==+=，

(300)1(200)(250)10.40.40.2PPPηηη==-=-==--=．

η的分布列為

2000.42500.43000.2Eη=?+?+?240=（元）．

抽樣辦法與總體分布的估量抽樣辦法

1．容易隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N，假如通過逐個抽取的辦法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為容易隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.

2．系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后根據(jù)預(yù)先定出的規(guī)章，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）.

3．分層抽樣：當已知總體由差異顯然的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后根據(jù)各部分所占的比舉行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估量

因為總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估量總體的分布，普通地，樣本容量越大，這種估量就越精確.

總體分布：總體取值的概率分布邏輯通常稱為總體分布.

當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.

當總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限臨近于一條光潔曲線，即總體密度曲線.典型例題

例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣辦法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.

解答過程：A種型號的總體是2

10，則樣本容量

n=

10

16802?

=.

例2．一個總體中有100個個體，隨機編號0，1，2，…，99，依編號挨次平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣辦法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定假如在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與mk+的個位數(shù)字相同，若6m=，則在第7組中抽取的號碼是．

解答過程：第K組的號碼為(1)10