2016屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡高考模擬卷（一）數(shù)學(xué)（理）試題

2016屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡高考模擬卷（一）數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-4B．-1C．1D．42.以下四個(gè)命題，正確的是（）①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在回歸直線方程中，當(dāng)變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量一定增加0.2單位；④對(duì)于兩分類變量與，求出其統(tǒng)計(jì)量，越小，我們認(rèn)為“與有關(guān)系”的把握程度越小.A．①④B．②③C．①③D．②④3.在如圖所示的程序框圖中，若輸出的值是3，則輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．4.某幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖（1），它的俯視圖的直觀圖是矩形如圖（2），其中，則該幾何體的側(cè)面積為（）A．64B．80C．96D．1285.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，有，則（）A．B．C．D．6.長(zhǎng)郡早上8點(diǎn)開始上課，若學(xué)生小典與小方均在早上7:40至8:00之間到校，且兩人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校都是等可能的，則小典比小方至少早5分鐘到校的概率為（）A．B．C．D．7.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的方程有且只有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則這6個(gè)根的和為（）A．B．6C．12D．8.在菱形中，，，將折起到的位置，若三棱錐的外接球的體積為，則二面角的正弦值為（）A．B．C．D．9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．10.已知點(diǎn)，平面區(qū)域由所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域，若區(qū)域的面積為8，則的最小值為（）A．B．2C．4D．811.已知數(shù)列滿足，是其前項(xiàng)和，若，且，則的最小值為（）A．B．3C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知集合，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14.在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的公差，若對(duì)任意，都有，且，則的取值范圍為.15.設(shè)橢圓與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是.16.已知（，且）可以得到幾種重要的變式，如：，將賦給，就得到，…，進(jìn)一步能得到：.請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與結(jié)論，計(jì)算：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角的對(duì)邊為，已知，，求的面積.18.（本小題滿分12分）《環(huán)境空氣質(zhì)量指標(biāo)（）技術(shù)規(guī)定（試行）》如表1：表1：空氣質(zhì)量指標(biāo)分組表表2是長(zhǎng)沙市某氣象觀測(cè)點(diǎn)在某連續(xù)4天里的記錄，指數(shù)與當(dāng)天的空氣水平可見度的情況.表2：表3是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的長(zhǎng)沙市2016年1月1日至1月30日指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表.表3：（1）設(shè)，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；（2）小李在長(zhǎng)沙市開了一家小洗車店，經(jīng)小李統(tǒng)計(jì)：指數(shù)不高于200時(shí)，洗車店平均每天虧損約200元；指數(shù)在200至400時(shí)，洗車店平均每天收入約400元；指數(shù)大于400時(shí)，洗車店平均每天收入約700元.（?。┯?jì)算小李的洗車店在當(dāng)年1月份每天收入的數(shù)學(xué)期望.（ⅱ）若將頻率看成概率，求小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式，.）19.（本小題滿分12分）如圖所示，異面直線互相垂直，，，，，，截面分別與相交于點(diǎn)，且平面，平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20.（本小題滿分12分）如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，取垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)作圓心為的圓，使拋物線上其余點(diǎn)均在圓外，且.（1）求拋物線和圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，且直線與拋物線和圓依次交于，求的最小值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，是圓的直徑，弦交于，，，.（1）求圓的半徑；（2）求線段的長(zhǎng).23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角的值.24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講關(guān)于的不等式.（1）當(dāng)時(shí)，解此不等式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，恒成立？參考答案選擇題DDACDACCCCDB可求，，即，代入雙曲線可求，則.法二：由定義，，在中，，化簡(jiǎn)求得，則.法三：由雙曲線定義得，，設(shè)切點(diǎn)為，在中，，過(guò)作垂直直線于點(diǎn)，則，，∴，∴，即，則.10．【解析】由，知，設(shè)與的夾角為，則，所以，又由題意平面區(qū)域的面積，解得，∴，∴.選C.11．【解析】由已知：，則：，，，，…，，，則：，則：，∴，選D.12．【解析】因?yàn)槭欠匠痰母沂侵馗?，則，即得，由，則，又由，則，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，選擇B.填空題13.14.15.16.【解析】由，得，，所以.三、解答題17.令，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，，又，，因此，解得：.由正弦定理：，得，又由，可得，故.18．【解析】：（1），，，，所以，，所以關(guān)于的回歸方程是.（2）由表3知不高于200的頻率為0.1，指數(shù)在200至400的頻率為0.2，指數(shù)大于400的頻率為0.7.設(shè)“洗車店每天虧損約200元”為事件A，“洗車店每天收入約400元”為事件B，“洗車店每天收入約700元”為事件C，則，，，（?。┰O(shè)洗車店每天收入為元，則的分布列為則的數(shù)學(xué)期望為（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元包含五種情況”，則“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元”的概率：.19．【解析】（1）∵平面，又∵平面，平面平面，∴，同理，∵，∴，∴，同理，∴，同理，又∵是平面內(nèi)的兩相交直線，∴平面.（2）由（1）及異面直線互相垂直知，直線兩兩垂直，作，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，∵軸平面，∴平面的一個(gè)法向量可設(shè)為，∵，∴，得：，即，又∵軸平面，∴平面的一個(gè)法向量可設(shè)為，∴，得，即，設(shè)二面角的大小為，那么，∴，∴二面角的正弦值為.20．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為.由拋物線和圓的對(duì)稱性，可設(shè)圓，∵，∴是等腰直角三角形，則，∴，代入拋物線方程有.由題可知在處圓和拋物線相切，對(duì)拋物線求導(dǎo)得，所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為.由，知，所以，代入，解得.所以圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，且，圓心到直線的距離為，∴，由，得，設(shè)，則，由拋物線定義知，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值.21.要證時(shí)，，只需證明.記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以.要證時(shí)，，只需證明，記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設(shè)，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，于是，從而，所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，.記，則，當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù).于是在上的值域?yàn)?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以存在，使得此時(shí)，即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（解法二）先證當(dāng)時(shí)，.記，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，從而在上是增函數(shù)，因此.所以當(dāng)時(shí)，.同理可證，當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，因?yàn)?所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范