2017屆江西省贛州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2017屆江西省贛州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，則，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，故選A.2．已知集合，，，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得或，要使得，則，故選C.3．的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，故選B.4．設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，則的值為（）A.2B.-2C.D.【答案】A【解析】由，則，所以，又切線與直線垂直，即，所以，故選A.5．如圖，是以為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，是正方形的內(nèi)接正方形，且分別為的中點．將一枚針隨機擲到圓內(nèi)，用表示事件“針落在正方形內(nèi)”，表示事件“針落在正方形內(nèi)”，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得，圓的半徑為，所以內(nèi)接正方形的邊長為，則正方形的面積為，由分別為的中點，所以，所以正方形的面積為，所以，故選C.6．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選D.7．已知雙曲線的離心率為，則拋物線的焦點到雙曲線的距離是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得，拋物線的焦點坐標(biāo)為，又雙曲線的離心率為，即，又由，則，即雙曲線的方程為，在雙曲線的一條漸近線的方程為，則其焦點到雙曲線的漸近線的距離為，故選C.8．如圖，已知，，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由平面向量的三角形法則可知：，故選D.9．正方體的棱長為1，點分別是棱的中點，過作一平面，使得平面平面，則平面截正方體的表面所得平面圖形為（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形【答案】D【解析】由題意，在正方體中，分別為棱的中點，取的中點，可得正六邊形，此時平面平面，故選D.10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】執(zhí)行該程序框圖，可知第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；第5次循環(huán)：，此時成立，輸出結(jié)果，故選B.11．已知動點在直線上，動點在圓上，若，則的最大值為（）A.2B.4C.5D.6【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)點，圓心到直線的距離為，則，因為直線與圓有交點，所以，所以，解得，所以的最大值為，故選C.12．已知函數(shù)向左平移半個周期得的圖像，若在上的值域為，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得由，在上的值域為．即最小值為，最大值為，則，得．綜上的取值范圍是．二、填空題13．已知函數(shù)（且），若，則__________．【答案】【解析】由，則.14．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則為銳角的概率是__________．【答案】【解析】由題意得，連拋擲兩次骰子分別得到點數(shù)所組成的相鄰個個數(shù)共有種，由于相臨與向量的夾角銳角，所以，即，滿足題意的情況如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，共有種，故所求事件的概率為.15．某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體外接球的表面積為__________．【答案】【解析】根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐，正方體的棱長為為棱的中點，根據(jù)幾何體可以判斷，球心在過點的平行于底面的中截面上，設(shè)球心到截面的距離為，則到的距離為，所以，解得，所以多面體外接球的表面積為.16．如圖所示，為了測量處島嶼的距離，小明在處觀測，分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛40海里至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則兩處島嶼的距離為__________海里．【答案】【解析】由題意，可得，在等腰直角中，，則，在中，由正弦定理，在中，由余弦定理可得，所以，即兩點之間的距離為.三、解答題17．已知等差數(shù)列的公差不為0，前項和為成等比數(shù)列．（1）求與；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，化簡得，求得，即可得到數(shù)列的通項公式和前項和；（2）由（1）得，即可利用裂項求解數(shù)列的和，證明不等關(guān)系式.試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可得，得……①又成等比數(shù)列，且所以，整理得，因為，所以……②聯(lián)立①②，解得所以（2）由（1）得所以18．某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計結(jié)果如下圖：（1）記事件為：“從這批小龍蝦中任取一只，重量不超過35的小龍蝦”，求的估計值；（2）試估計這批小龍蝦的平均重量；（3）為適應(yīng)市場需求，制定促銷策略．該經(jīng)銷商又將這批小龍蝦分成三個等級，并制定出銷售單價，如下表：等級一等品二等品三等品重量（）單價（元/只）1.21.51.8試估算該經(jīng)銷商以每千克至多花多少元（取整數(shù)）收購這批小龍蝦，才能獲得利潤？【答案】（1）（2）（3）這批小龍蝦每千克至多元【解析】試題分析：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖得到重量不超過的小龍蝦有，即可求解相應(yīng)的概率；（2）從統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的計算公式，即可求解這批小龍蝦的平均重量；（3）根據(jù)樣本，由（2）知，小龍蝦中一等品、二等品、三等品的數(shù)量，列出關(guān)系式，即可得出結(jié)論.試題解析：（1）由于只小龍蝦中重量不超過的小龍蝦有（只）所以（2）從統(tǒng)計圖中可以估計這批小龍蝦的平均重量為（克）（3）設(shè)該經(jīng)銷商收購這批小龍蝦每千克至多元.根據(jù)樣本，由（2）知，這只小龍蝦中一等品、二等品、三等品各有只、只、只，約有所以，而故可以估計該經(jīng)銷商收購這批小龍蝦每千克至多元19．如圖，五面體中，四邊形是菱形，是邊長為2的正三角形，，．（1）證明：；（2）若在平面內(nèi)的正投影為，求點到平面的距離．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）取的中點，連，得到，進而得出，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即得到；（2）取的中點，連結(jié)，由（1）證得平面，所以點是在平面內(nèi)的正投影，設(shè)點到平面的距離為，在中，求解面積，在中，得，利用，即可得到結(jié)論.試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連因為是邊長為的正三角形，所以又四邊形是菱形，，所以是正三角形所以而，所以平面所以（2）取的中點，連結(jié)由（1）知，所以平面，所以平面⊥平面而平面⊥平面，平面與平面的交線為，所以平面，即點是在平面內(nèi)的正投影設(shè)點到平面的距離為，則點到平面距離為因為在中，，得在中，，得所以由得即解得，所以到平面的距離20．如圖，橢圓的離心率為，頂點為，且．（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點．設(shè)的斜率為，的斜率為，試問是否為定值？并說明理由．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）因為，所以，又，所以，即可求解的值，得出橢圓的方程；（2）由題意可知直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立方程組，求得點的坐標(biāo)，進而得到點的坐標(biāo)，在根據(jù)直線的方程與聯(lián)立，得到點的坐標(biāo)，即可表示的斜率，得出結(jié)論.試題解析：（1）因為，所以，由題意及圖可得，所以又，所以，所以所以所以橢圓的方程為：（2）證明：由題意可知，，，因為的斜率為，所以直線的方程為由得其中，所以，所以則直線的方程為（）令，則，即直線的方程為，由解得，所以所以的斜率所以（定值）21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）【解析】試題分析：（1）由，分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求得，設(shè)，則則分和兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求解實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）設(shè)則設(shè)，則①當(dāng)時，即時，對一切，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，符合題意②當(dāng)時，即時，存在，使得，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減故當(dāng)時，有，與題意矛盾，舍去綜上可知，實數(shù)的取值范圍為22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線（為參數(shù)，）與圓相交于點，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線與圓的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化以及直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可求解直線的極坐標(biāo)方程和圓的極坐標(biāo)方程；（2）把，代入圓的極坐標(biāo)方程中，得，進而得到，即可利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解其最大值.試題解析：（1）直線的極坐標(biāo)方程為圓的極坐標(biāo)方程為（2），代入，得顯然